Физическая реальность векторного потенциала. Эффект Ааронова-Бома и монополь Дирака

Е.З. МЕЙЛИХОВ

ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ 
ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА

ЭФФЕКТ ААРОНОВА-БОМА И МОНОПОЛЬ ДИРАКА

Å.Ç. Ìåéëèõîâ
Ôèçè÷åñêàÿ ðåàëüíîñòü âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Ýôôåêò
Ààðîíîâà-Áîìà è ìîíîïîëü Äèðàêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Å.Ç. Ìåéëèõîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2015. – 64 ñ.

ISBN 978-5-91559-197-3

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî óãëóáë¸ííîìó
ðàññìîòðåíèþ ïîíÿòèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà è ñâÿçàííûõ ñ íèì íòåðôåðåíöèîííûõ ýôôåêòîâ âîëíîâîé ìåõàíèêè. Èçëîæåíèå îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè ïðîñòûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé è ïîçâîëÿåò, íå âûõîäÿ çà ðàìêè
îáùåé ôèçèêè, îïèñàòü ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü ðàçëè÷íûõ,
íî ïðèíöèïèàëüíî âàæíûõ ÿâëåíèé. Ñðåäè íèõ: äèôðàêöèÿ ýëåêòðîííûõ ïó÷êîâ íà «ñêðûòûõ» èñòî÷íèêàõ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îñöèëëÿöèè ïðîâîäèìîñòè êîëüöåâûõ
ñòðóêòóð, ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ íîñèòåëåé òîêà â ïðîâîäíèêàõ. Îñíîâíàÿ öåëü – ïîêàçàòü, ÷òî, âîïðåêè ïðèâû÷íûì
ïðåäñòàâëåíèÿì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, âïîëíå íàáëþäàåìûå ýôôåêòû â îòñóòñòâèå «èñòèííîãî» ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïðîèçâîäÿòñÿ åãî âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì.
  Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ ýëåêòðîäèíàìèêó è ôèçèêó òâåðäîãî òåëà.

© 2015, Å.Ç. Ìåéëèõîâ
© 2015, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-197-3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава 2. Вектор-потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 3. Градиентная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Глава 4. Обобщенный импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

Глава 5. Градиентное преобразование гамильтониана и волновой
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Глава 6. Эффект Ааронова–Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Глава 7. Квантование магнитного потока в сверхпроводнике . . .
32

Глава 8. Магнитный монополь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Краткая биография Дэвида Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Краткая биография Якира Ааронова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

Aharonov Y., Bohm D. Significance of Electromagnetic Potentials in the
Quantum Theory (Phys. Rev., 1959) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Aharonov Y., Casher A. Topological Quantum Effects for Neutral Particles
(Phys. Rev. Lett. 1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Г Л А В А
1

ВВЕДЕНИЕ

...вопреки выводам классической механики
потенциалы влияют на заряженные части-
цы даже в тех областях, где нет никаких
полей (а значит, нет и сил, действующих на
частицы).

Y. Aharonov, D. Bohm.
Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 485

...подобные вещи могут тридцать лет быть
на виду у всех, но из-за определенных предрассудков могут всеми игнорироваться.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс.
Фейнмановские лекции по физике.
Т. 6. М.: Мир, 1966. С. 24

Топологический эффект Ааронова–Бома — один из самых удивительных эффектов, предсказываемых квантовой механикой. Открытие этого
эффекта [1] опровергло фундаментальные представления о роли потенциалов в физике и привело к революции в нашем понимании природы.
Эффект Ааронова–Бома не соответствует никакому классическому
эффекту. В классической физике скалярный и векторный электромагнитные потенциалы вводятся только для математического удобства и
представляют собой всего лишь вспомогательные поля. Истинно физическими полями являются электрическое и магнитное поля, которые
локально воздействуют на частицы. В квантовой физике потенциалы —
более чем математическое удобство. Действительно, поскольку скалярный и векторный потенциалы входят в гамильтониан системы, они фигурируют и в уравнении Шредингера. Ааронов и Бом показали, что появление этих потенциалов приводит к удивительному следствию: электроны, двигающиеся в области, где нет электрического и магнитного

Глава 1. Введение
5

полей, тем не менее «чувствуют» эти поля. Многие физики, включая
Н. Бора, были поражены этим предсказанием. Однако уже через год после публикации статьи Ааронова и Бома W. H. Furry и N. F. Ramsey [2]
предложили мысленный эксперимент, который демонстрировал, что эффект Ааронова–Бома необходим с точки зрения принципов неопределенности и дополнительности. С тех пор этот эффект неоднократно подтверждался в различных экспериментах, первый из которых был описан
в работе R. G. Chambers [3]. Подробный разбор других многочисленных
экспериментов см. в обзорах [4, 5].
В эксперименте по наблюдению эффекта Ааронова–Бома электроны
движутся в области, где нет ни электрического, ни магнитного полей.
Если же, однако, эти поля есть в какой-либо другой (даже недоступной
для частицы) области, то скалярный и векторный потенциалы в области
нахождения частицы не равны нулю. Тот факт, что электроны «чувствуют» эти удаленные поля, ведет к одному из двух выводов. Первый —
на электроны локальным образом действуют сами потенциалы, т. е.
они являются истинными физическими полями. Второй — удаленные
электрическое и магнитное поля влияют на электроны с помощью нелокального взаимодействия. Хотя любой из этих выводов противоречит
основным положениям классической физики, мы вынуждены принять
какой-либо из них. Второй вывод кажется более предпочтительным,
поскольку все измеряемые величины градиентно-инвариантны, а потенциалы таковыми не являются, а значит, и не могут быть физическими
полями.
Топологические эффекты типа эффекта Ааронова–Бома появляются
в самых разнообразных областях современной физики — в космологии,
физике элементарных частиц, физике твердого тела, химической и молекулярной физике и др. Эти эффекты лежат в основе теории сверхпроводимости, квантового эффекта Холла, джозефсоновских переходов,
квантования магнитного потока и многих эффектов мезоскопической
физики, в которой электрические цепи малых (но более чем микроскопических) размеров демонстрируют квантовые эффекты.

Г Л А В А
2

ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ

Опыт показывает, что между проводниками, по которым
протекает электрический ток, возникают механические силы взаимодействия, зависящие от силы этих токов и расположения проводников. Это означает, что во всем пространстве, окружающем произвольный ток, всегда существует поле сил вне зависимости от того, проявляется ли существование таких сил в воздействии их на какой-либо
другой ток. Это поле сил называется магнитным полем тока. Опыт
также показывает, что магнитное поле в каждой точке пространства
может быть исчерпывающим образом охарактеризовано некоторым вектором H, носящим название напряженности магнитного поля. Совокупность опытных фактов приводит к следующему выражению для
силы dF, действующей в поле, характеризуемом вектором H, на элемент
длины dl, по которому течет ток силы J:

dF = J

c[dl × H].
(1)

Эту формулу можно рассматривать как определение понятия напряженности магнитного поля.
Теперь надо выяснить, как зависит напряженность магнитного поля
в произвольной точке пространства от характеристик тока, возбуждающего это поле (положение и форма контура тока, его сила и т. д.).
Этот вопрос можно свести к вопросу о поле, возбуждаемом отдельным
элементом тока, и рассматривать поле произвольной системы токов
как наложение (суперпозицию) полей отдельных элементов этих токов.
Опыт показывает, что напряженность поля, создаваемого двумя токами,
равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих токов
в отдельности. Закон, определяющий магнитное поле элемента тока и

Глава 2. Вектор-потенциал
7

также проистекающий из опыта, носит название закона Био–Савара и
может быть записан в виде

dH =
J
cr3 [dl × r],
(2)

где r — расстояние от элемента тока J dl, возбуждающего поле, до той
точки наблюдения, в которой определяется напряженность dH этого
поля.
Формулу (2) можно обобщить для проводника с током, имеющего
конечную площадь S поперечного сечения. В этом случае ток можно
разложить на совокупность бесконечно тонких нитей тока и применить
формулу (2) к элементам этих нитей. По отдельной нити протекает ток

dJ = j dS,

где j — плотность тока, dS — перпендикулярное к оси сечение нити.
Стало быть, фигурирующее в (2) произведение J dl для отрезка такой
нити может быть записано в виде

dJ dl = j dV,

где dV = dS|dl| — объем бесконечно малого отрезка нити и учтена
параллельность векторов dl и j (так как ось нити совпадает с линией
тока). Согласно (2) этот элемент объема создает поле

dH = dJ

cr3 [dl × r] = [j × r]

cr3
dV.
(3)

Поэтому магнитное поле любой системы токов есть

H = 1

c

[j × r]

r3
dV,
(4)

где интегрирование производится по всему объему тока, т. е. по объему
всех проводников, по которым течет ток.
С помощью формул векторной алгебры последнее уравнение можно
преобразовать к более удобному для вычислений виду.

1. Заметим, что

grad
1

r

=
»∂(1/r)

∂r

–
grad r,

и учтем, что grad r = r/r (последнее соотношение легко получить непосредственным вычислением в декартовых координатах). Таким образом,