Нелинейная механика сплошной среды

УДК 539.3
ББК 22.251
Д 46

Д и м и т р и е н к о
Ю. И.
Нелинейная
механика
сплошной
среды.
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 624 с. — ISBN 978-5-9221-1110-2.

Учебное пособие посвящено систематизированному изложению основ механики
сплошной среды при конечных деформациях. Рассмотрена кинематика сплошных
сред, универсальные законы сохранения механики сплошной среды, теория скачков
функций на поверхностях сильных разрывов. В систематизированном виде приводится теория коротационных производных, динамические уравнения совместности
деформаций, принципы материальной индифферентности и материальной симметрии.
Предложен новый подход к формулировке определяющих соотношений для упругих
и неупругих сред с конечными деформациями, основанный на применении энергетических и квазиэнергетических пар тензоров напряжений–деформаций. С помощью
этого подхода изложена теория конечных упругих и вязкоупругих деформаций,
теория больших пластических деформаций, теория анизотропных сред с большими
деформациями.
В учебном пособии содержится значительное число упражнений.
Учебное пособие предназначено студентам и аспирантам, обучающимся по
физико-математическим и машиностроительным специальностям, а также специалистам, занимающимся различными вопросами механики сплошной среды.

Р е це н з е н т ы :
зав. кафедрой газовой и волновой динамики МГУ им. М. В. Ломоносова
академик РАН Е. И. Шемякин;

зав. лабораторией волновых процессов МГУ им. М. В. Ломоносова
профессор Н. Н. Смирнов

ISBN 978-5-9221-1110-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ Ю. И. Димитриенко, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Основные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Введение. Основополагающие аксиомы механики сплошных сред. . . . . . . . . . .
13

Г л а в а 1. Кинематика сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Материальное и пространственное описания движения сплошной среды
17
1.2. Тензоры и меры деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.4. Скоростные характеристики движения сплошной среды . . . . .. . . . . . . . . .
55
1.5. Коротационные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

Г л а в а 2. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.1. Закон сохранения массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.2. Закон изменения количества движения и тензор напряжений. . . . . . . . . .
93
2.3. Закон изменения момента количества движения . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
104
2.4. Первый закон термодинамики . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
2.5. Второй закон термодинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
2.6. Уравнения совместности деформаций. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
2.7. Динамические уравнения совместности . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
140
2.8. Уравнения совместности скоростей деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
2.9. Полная система законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Г л а в а 3. Определяющие соотношения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.1. Основные принципы построения определяющих соотношений . . . . . . . . .
148
3.2. Энергетические и квазиэнергетические пары тензоров . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.3. Основное термодинамическое тождество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
3.4. Принципы термодинамически согласованного детерминизма, равноприсутствия и локальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
3.5. Определение идеальных сплошных сред . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
187

Оглавление

3.6. Принцип материальной симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
3.7. Определение жидких и твердых сред. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
3.8. Следствия из принципа материальной симметрии и определяющие соотношения идеальных сплошных сред . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
212
3.9. Несжимаемые сплошные среды . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
3.10. Принцип материальной индифферентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
3.11. Соотношения в подвижной системе отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
288
3.12. Принцип Онзагера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300

Г л а в а 4. Соотношения на поверхностях разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
4.1. Соотношения на поверхности разрыва в материальном описании . . . . . . .
307
4.2. Соотношения на поверхности разрыва в пространственном описании . . . .
317
4.3. Явный вид соотношений на поверхности разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320
4.4. Основные типы поверхностей разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

Г л а в а 5. Упругие среды с конечными деформациями . . . . . . . . . . . . . . .
332
5.1. Замкнутые системы уравнений в пространственном описании . . . . . . . . .
332
5.2. Замкнутые системы уравнений в материальном описании. . . .. . . . . . . . . .
344
5.3. Постановки задач для упругих сред с конечными деформациями . . . . . . .
351
5.4. Задача о растяжении упругого бруса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
5.5. Растяжение несжимаемого бруса . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
5.6. Простой сдвиг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
5.7. Задача Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
392
5.8. Задача Ламе для несжимаемых сред . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
398

Г л а в а 6. Фойгтовские среды скоростного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404
6.1. Модели An и Bn фойгтовских сред
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
404
6.2. Модели An и Bn фойгтовских жидких сред. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
414
6.3. Модели
n и Dn фойгтовских сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
422
6.4. Задача о растяжении фойгтовского бруса. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
430

Г л а в а 7.
Вязкоупругие среды с конечными деформациями . . . . . . . . . . .
435
7.1. Вязкоупругие среды максвелловского типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
435
7.2. Главные, квадратичные и линейные модели вязкоупругих сред. . . . . . . . .
452
7.3. Модели несжимаемых вязкоупругих твердых сред и вязкоупругих жидкостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
480
7.4. Постановки задач в теории вязкоупругости с конечными деформациями. .
488
7.5. Задача об одноосном деформировании вязкоупругого бруса . . . . . . . . . . .
497
7.6. Диссипативный саморазогрев вязкоупругих сред при циклическом деформировании. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
507

Оглавление
5

Г л а в а 8. Пластические среды с конечными деформациями. . . . . . . . . . .
516
8.1. Модели An пластических сред с конечными деформациями . . . . . . . . .. . .
516
8.2. Модели Bn пластических сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
543
8.3. Модели Cn и Dn пластических сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
558
8.4. Определяющие соотношения теории пластичности «в скоростях» . . . . . . .
569
8.5. Постановки задач теории пластичности . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
571
8.6. Задача о всестороннем растяжении–сжатии пластических сред . . . . . . . .
575
8.7. Задача о растяжении пластического бруса . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
581
8.8. Плоские волны в пластических средах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
8.9. Модели вязкопластических сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
609

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
619

Предисловие

Нелинейная механика сплошной среды — это ядро общего курса «Механика сплошной среды» (МСС), в рамках которого рассматриваются кинематика сплошных сред, законы сохранения, общая нелинейная теория определяющих соотношений, соотношения на поверхностях сильных разрывов. Кроме
того, в курсе нелинейной механики сплошной среды рассматривают теорию
твердых сред при конечных (произвольных) деформациях. Эта «произвольность» деформаций приводит к тому, что уравнения, описывающие поведение
сплошных сред, оказываются чрезвычайно сложными — нелинейными, иногда
даже используют термин «сильно нелинейными», поскольку соотношения,
участвующие в них, не всегда могут быть выражены явным аналитическим
образом. Если отказаться от условия произвольности деформаций сред и
рассмотреть только малые — обычно до 1 % деформации, то ситуация резко
меняется — удается линеаризовать уравнения механики сплошных сред, и для
решения прикладных задач можно привлечь широкий набор аналитических и
численных методов. Однако многие практические задачи требуют анализа не
малых, а именно произвольных — конечных деформаций тел: например, это
задачи проектирования резинотехнических деталей машин (амортизаторов,
уплотнений, шин), для которых предельные деформации могут достигать
100 % и более, это и разнообразные задачи обработки металлов давлением,
в которых существенную роль играют конечные пластические деформации,
это и динамические задачи пробивания преград ударниками (образование
отверстий в металлической преграде при ее пробивании — пример возникновения конечных пластических деформаций), это и многочисленные задачи
механики грунтов и горных пород, в которых часто возникает потребность в
рассмотрении конечных деформаций, а также проблемы моделирования процессов в биологических системах, например, функционирования мышечных
тканей человека и многие другие.
Условно можно считать, что теория малых деформаций твердых тел родилась в XVII веке с работ Роберта Гука, который сформулировал одно из
главных допущений этой теории: напряжения пропорциональны удлинениям
тел. На современном языке это означает, что соотношения между напряжениями и градиентами перемещений тел линейны. К настоящему времени теория
малых деформаций очень глубоко и всесторонне разработана. По различным
разделам этой теории, таким как теория упругости, теория пластичности,
теория устойчивости и многим другим, написано значительное число монографий и учебников.
При переходе к конечным деформациям знаменитый закон Гука уже
не выполняется — основополагающие соотношения между напряжениями и
градиентами перемещений становятся «сильно нелинейными», как раз их
и не всегда можно выразить даже аналитически. Основы теории конечных

Предисловие
7

деформаций были заложены в XIX веке выдающимися учеными О. Коши,
Дж. Лагранжем, Л. Эйлером, Г. Пиолой, Х. Сен-Венаном, Г. Кирхгофом,
а затем продолжены А. Лявом, Г. Яуманном, М.А. Био, Ф.Д. Мурнаганом и
другими исследователями. Формированию теории конечных деформаций как
самостоятельного раздела механики мы во многом обязаны работам М. Муни
и Р. Ривлина, выполненным в 40-х годах XX века. Принципиальный шаг был
сделан в 50–60-х годах XX века американской школой механиков, прежде
всего Б. Колеманом, У. Ноллом и К. Трусделлом, которые рассмотрели нелинейную механику с позиций формальной математики. Следуя Д. Гильберту,
ими была введена аксиоматика нелинейной механики, которая упорядочила
систему накопленных знаний и позволила сформулировать основные направления дальнейших исследований в этой теории. Совместно с Р. Ривлиным
и А.М. Спенсером ими был разработан специальный математический аппарат для формулировки соотношений, обобщающих закон Гука на случай
конечных деформаций, — теория нелинейных тензорных функций, да и
сам тензорный анализ, широко применяемый в механике сплошных сред,
был существенным образом адаптирован к проблемам нелинейной механики.
Уравнения механики сплошных сред получили инвариантную (т.е. не зависящую от выбора системы координат) форму. Дальнейшая разработка этого
направления осуществлялась А. Эрингеном, Дж. Моженом, А.Е. Грином,
В. Зерной, Дж. Адкинсом и другими.
Роль советской и российской школ механиков в разработке принципов
современной нелинейной механики сплошных сред также весьма значительна.
В 1959 г. были изданы лекции по МСС Л.И. Седова, которые затем в 1962 г.
были опубликованы в виде книги «Введение в механику сплошной среды».
В 1968 г. вышло первое издание фундаментального двухтомного учебника
«Механика сплошной среды» академика Л.И. Седова, которое и в настоящее
время является одной из наиболее популярных книг по МСС. Существенный
вклад в термодинамическую теорию построения моделей нелинейной механики сплошной среды внесли работы крупнейшего отечественного механика
А.А. Ильюшина. Выдающихся результатов в теории конечных упругих деформаций удалось достичь ученым ленинградской школы механиков — А.И. Лурье, который написал фундаментальную монографию по нелинейной теории
упругости, систематизировав в ней классы задач теории конечных упругих
деформаций, допускающих аналитические решения, а также К.Ф. Черных,
который развил теорию конечных деформаций для анизотропных сред, разработал методы решения задач нелинейной теории оболочек и нелинейной
теории трещин. Следует отметить также труды ученых московской, киевской
и уральской школ механиков — Б.Е. Победри, В.И. Кондаурова, Л.В. Никитина, В.Г. Карнаухова, А.А. Поздеева, П.В. Трусова, Ю.И. Няшина и многих
других, внесших значительный вклад в теорию вязкоупругих, упругопластических и вязкопластических конечных деформаций.
Предлагаемое читателю учебное пособие основано на лекциях, которые
автор читает много лет в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана. Книга имеет несколько принципиальных особенностей: 1) в ней выдержан «математический» стиль изложения курса, для
которого характерно наличие аксиом, определений, теорем, доказательств,

Предисловие

а уровень строгости изложения основного материала характерен для книг по
механике; 2) использован тензорный аппарат, преимущественно в безындексной форме, поскольку он при определенных навыках весьма удобен в работе,
не затеняет физической сути законов и позволяет легко перейти в любую
подходящую систему координат; 3) использована найденная В.И. Кондауровым консервативная (дивергентная) форма динамических уравнений совместности деформаций, позволившая, наконец, записать полную систему законов
сохранения нелинейной механики в едином обобщенном виде; 4) ключевой
раздел нелинейной механики — теория определяющих соотношений — впервые в отечественной и зарубежной литературе изложен с использованием
всех энергетических пар тензоров, которые были установлены Р. Хиллом и
К.Ф. Черных и упорядочены автором, а также квазиэнергетических пар тензоров, обнаруженных автором; 5) для построения определяющих соотношений
нелинейной механики применена теория нелинейных тензорных функций и
тензорных операторов, разработанная в работах А.М. Спенсера, Р. Ривлина,
Дж. Эриксена, В.В. Лохина, Ю.И. Сиротина, Б.Е. Победри и автора данной
книги; 6) с единых позиций изложены основы теории конечных упругих,
вязкоупругих и пластических деформаций; 7) использован «дружественный к
читателю» стиль изложения материала, отличающийся наличием достаточно
подробных необходимых математических выкладок и доказательств.
Принятый в книге аксимоматический подход несколько отличается от аналогичных подходов, предложенных К. Трусделлом, а также другими авторами
(например, А.Г. Горшковым, Л.Н. Рабинским и Д.В. Тарлаковским). Система
аксиом МСС в книге составлена таким образом, чтобы минимизировать общее
их число, и чтобы каждая аксиома допускала ясную физическую трактовку.
Именно поэтому аксиомы К. Трусделла, относящиеся к логическим отношениям между телами, не включены в общий перечень, аксиомы о массе тел
включены в одну аксиому о законе сохранения массы, аналогично аксиомы о
существовании сил и инерциальных систем отсчета включены в одну аксиому
о законе изменения количества движения. Правда, последняя в книге разбита
на две части: вначале в разд. 2.2 рассмотрен случай инерциальных систем
отсчета, а затем в разд. 3.10 уже и неинерциальных. В отличие от аксиоматики К. Трусделла, в книге в систему аксиом включены и так называемые
принципы построения определяющих соотношений, которые также играют
основополагающую роль в формировании системы уравнений МСС.
Аксиоматический подход к изложению МСС обладает по крайней мере одним очень ценным достоинством, он позволяет четко разделить все величины
на две категории: «первичные», которые вводятся аксиоматически и, следовательно, в рамках МСС не требуется обоснования их появления, и «вторичные», которые представляют собой комбинацию из первичных величин.
Аксиоматический подход позволяет также ясно разделять все утверждения в
МСС на определения и следствия из них (теоремы), что чрезвычайно полезно
при первоначальном знакомстве с курсом.
Для знакомства со специфическим аппаратом тензорного анализа рекомендуется воспользоваться учебным пособием автора «Тензорное исчисление»
[12], в котором использованы те же самые основные обозначения и определе

Предисловие
9

ния, которые применяются в данной книге. Все ссылки по тексту на формулы
тензорного анализа адресованы к этому учебному пособию.
Книга охватывает основные классические разделы нелинейной механики
сплошной среды: кинематику, законы сохранения, теорию определяющих соотношений, теорию скачков, основы теории конечных упругих деформаций,
конечных вязкоупругих деформаций, конечных пластических деформаций.
Из-за ограничений по объему книги в нее не включены такие важные разделы как теория конечных деформаций оболочек и теория сред с фазовыми
превращениями.
Обратим внимание на то, что названия основных тензоров в нелинейной
механике до сих пор не устоялись, и в разных книгах, как отечественных,
так и зарубежных, одни и те же объекты часто называют по-разному. Автор в
основном придерживался названий, приведенных в книге А.И. Лурье «Нелинейная теория упругости».
В книге использована двойная нумерация формул в каждой главе, например (3.46), где первая цифра — это номер раздела в главе, а вторая —
порядковый номер формулы. При ссылке на формулы другой главы к формуле
добавляется еще одна цифра — номер главы, например (1.3.46). Нумерация
определений и теорем — тоже двойная, например определение 2.1, но первая
цифра — это уже номер главы, а вторая — порядковый номер.
Учебное пособие предназначено для студентов как классических, так и
технических университетов, обучающихся по физико-математическим и машиностроительным специальностям. Автор надеется, что книга также будет
полезна для аспирантов и специалистов, занимающихся различными вопросами нелинейной механики сплошной среды.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность рецензентам книги: заведующему кафедрой волновой и газовой динамики МГУ
им. М.В. Ломоносова академику РАН Е.И. Шемякину и заведующему лабораторией волновых процессов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору
Н.Н. Смирнову.
Автор благодарен заведующему кафедрой механики композитов МГУ
им. М.В. Ломоносова профессору Б.Е. Победре, многолетнее научное общение с которым в значительной степени сформировало подходы автора к
различным теоретическим проблемам. Автор благодарен также профессору
МГТУ им. Н.Э. Баумана В.С. Зарубину за дискуссии по различным вопросам
механики и термодинамики.
Особую
благодарность
автор
выражает
ведущему
научному
сотруднику МГТУ им. Н.Э. Баумана кандидату физико-математических наук
И.Д.
Димитриенко
за
подготовку
оригинал-макета
и
редактирование
рукописи.

Автор

Основные обозначения

A — левый тензор деформации Альманзи;
(n)
A — квазиэнергетические тензоры деформации, n = I, II, III, IV, V;
aOl, aJ, aCR, aD, ad, aV , aU, aS — коротационные производные Олдройда,
Яуманна, Коттера–Ривлина, левая и правая смешанные, левая и правая в
собственном базисе, спиновая;
B — третий энергетический тензор деформации;
C — правый тензор деформации Коши–Грина;
(n)
C — энергетические тензоры деформации, n = I, II, III, IV, V;
(n)
CG — обобщенные энергетические тензоры деформации;
(n)
Ce и
(n)
Cp — тензоры упругой и пластической деформаций;
ci — главный базис анизотропии (ортонормированный) твердого тела в неискаженной конфигурации K;
◦c — вектор скорости движения поверхности разрыва в отсчетной конфигурации;
D — тензор скоростей деформации;
◦
D и D — нормальная скорость движения поверхности разрыва в конфигура
циях
◦
K и K;
E — метрический тензор;
E — полная энергия тела;

4
(n)
E — тензоры энергетической эквивалентности;
e — плотность внутренней энергии тела;
¯ei — базис прямоугольной декартовой системы координат;
F — градиент деформации;
Fe и Fp — градиенты упругой и пластической деформаций;
f — вектор плотности массовых сил;
G — правая мера деформации Коши–Грина;
(n)
G — энергетические меры деформации, n = I, II, III, IV, V;
(n)
GG — обобщенные энергетические меры деформации;
g — левая мера деформации Альманзи;
◦gij и gij — метрические матрицы в конфигурациях
◦
K и K;