Масштабно-инвариантные свойства двухфазной области концентрационного переохлаждения

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
43

ФИЗИКА. ХИМИЯ
2012. Вып. 1

Физика конденсированного состояния вещества

УДК 536.421.4

Д.В. Александров, А.О. Иванов, А.П. Малыгин, И.В. Александрова, В.С. Нустров

МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ДВУХФАЗНОЙ ОБЛАСТИ 
КОНЦЕНТРАЦИОННОГО ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ

Исследованы самоподобные свойства двухфазной зоны концентрационного переохлаждения в стационарных и 
нестационарных условиях направленной кристаллизации бинарных расплавов. 

Ключевые слова: затвердевание, задача Стефана, двухфазная зона.

Большое число физических, механических и химических процессов, связанных с фазовыми или 

химическими превращениями, традиционно описываются на основе классической фронтальной модели Стефана [1; 2]. Примерами могут служить: испарение жидкостей [3-5], рост новой фазы в метастабильной среде [6-8], фронтальное горение или фронтальные химические реакции [9], фильтрационное вытеснение вязких жидкостей в пористых веществах [10], рост изолированных дендритов 
[11; 12] и другие. Во многих случаях локально-плоская форма фронта, разделяющего две фазы, нарушается с образованием переходной области, содержащей элементы обеих фаз (см., например, 
[13-15]). В этой двухфазной области граница раздела часто представляет собой сильно разветвленную 
структуру, обладающую свойствами масштабно-временного самоподобия [16; 17]. Известными проявлениями являются растущие дендриты, облака, фрактальные кластеры, гидродинамические вязкие 
«пальцы» в пористых средах, химические реакции в турбулентных потоках. Указанные объекты 
представляют собой природные примеры так называемых фрактальных образований [18; 19], самоподобие и масштабно-временная инвариантность которых описываются скейлингово-степенной зависимостью с дробным показателем степени, именуемым фрактальной размерностью.

Среди многих явлений фазовых превращений важную прикладную роль играют процессы на
правленной кристаллизации многокомпонентных расплавов и растворов, используемые для получения чистых кристаллов или сплавов с заданными свойствами [13]. В затвердевающем расплаве часто 
происходит интенсивное выделение примеси из объема кристалла. Если это сопровождается сильной 
зависимостью температуры фазового перехода кристаллизующейся жидкости от концентрации примеси, то перед фронтом затвердевания возникает метастабильная область, называемая зоной концентрационного (диффузионного или конституционного) переохлаждения [20; 21]. В этой области реальная температура многокомпонентного расплава оказывается ниже его температуры затвердевания 
за счет чего складываются благоприятные условия для возникновения элементов новой фазы в виде 
дендритов, кристаллитов и прочего. В результате чисто твердая и чисто жидкая фазы разделяются
переходной областью – двухфазной зоной [22-24].

Естественно, что присутствие двухфазной зоны кардинально меняет картину процесса, в связи 

с чем это явление активно исследуется. Однако гипотеза о возможной фрактально-самоподобной 
структуре двухфазной зоны до сих пор изучена слабо. К немногочисленным исследованиям в данной 
области можно отнести работу [25], в которой с помощью эвристически введенного скейлингового 
распределения плотности в двухфазной зоне было изучено влияние фрактальной размерности на параметры автомодельного режима затвердевания. Имеются также работы [26-28], показывающие, что 
внутри двухфазной зоны рост твердой фазы может приводить к формированию кластерных и дендритных структур, обладающих фрактальной природой. Учитывая сказанное, будем описывать двухфазную область с помощью пространственно-временных скейлинговых зависимостей.

Излагаемый материал частично основывается на полученных ранее точных аналитических ре
шениях модели квазиравновесной двухфазной зоны (где переохлаждение практически полностью 
снимается за счет интенсивного тепловыделения растущими элементами твердой фазы), найденных в 
работах [29-36]. Ниже продемонстрировано, что распределения примеси и доли твердой фазы в квазиравновесной и неравновесной двухфазной зоне описываются скейлингово-степенными пространственными зависимостями с дробным показателем степени. Эта скейлинговая размерность зависит от 

Д.В. Александров, А.О. Иванов, А.П. Малыгин, И.В. Александрова, В.С. Нустров

2012. Вып. 1
ФИЗИКА. ХИМИЯ

теплофизических свойств расплава и инвариантна относительно операционных параметров, управляющих процессом затвердевания. Другими словами, этот показатель представляет собой универсальную для каждого расплава характеристику.

В работе [32] показано, что протяженность двухфазной зоны, равно как и доля твердой фазы 

или концентрация примеси в ней, претерпевают самоподобное изменение при варьировании операционных параметров процесса, управляющих затвердеванием температурных градиентов. Такое поведение неизвестных функций наталкивает на мысль о фрактальной структуре зоны концентрационного переохлаждения. Хорошо известно, что многие фракталоподобные объекты, встречающиеся в 
природе, могут быть описаны с помощью масштабно-инвариантных фракталов (см., напр., [16-19]). В 
связи с этим попытаемся подойти к изучению двухфазной зоны с помощью введения определенных 
степенных зависимостей. Будем описывать распределение доли твердой фазы и концентрации примеси в двухфазной зоне с помощью однородных самоподобных функций

,
1
=
,
=
)
(
*

m

D
x
y
y
y




(1)

,
)
(
=
)
(
*

D

m
m
m
y
y








(2)

удовлетворяющих скейлинговым соотношениям

.)
)
(
(
=
)
(
,)
(
=
)
(
m
m

D

m
m

D
y
y
y
y















Здесь  – константа, 


– концентрация примеси на границе твердая фаза – двухфазная зона, 
m


–

концентрация примеси на границе двухфазная зона – расплав, m

– протяженность двухфазной зоны. 

Скейлинговый параметр D , являющийся показателем степени в пространственных распределениях 
(1) и (2), играет роль размерности фрактальных объектов [16]. Если фракталоподобные пространственные зависимости (1) и (2) будут хорошо аппроксимировать точные аналитические решения модели квазиравновесной двухфазной зоны [29-32], это будет свидетельствовать о скейлинговой структуре области фазового перехода. Как легко заметить, 
m


 в уравнении (2) представляет собой нефрак
тальный участок функции 
)
(x
m

. Другими словами, распределение примеси 
)
(x
m

 вблизи грани
цы двухфазная зона – расплав не является фрактальным, поскольку вытеснения примеси в расплав на 
этой границе практически не происходит.

Рис. 1. Доля твердой фазы 
)
(x

 и концентрация примеси 
)
(x
m

 для сплава 
Ni
Fe 
в соответствии 

с решениями работы [32] при температурных градиентах в расплаве 
o
20


g
С/см и твердой фазе

o
120

s
g
С/см (кривые, отмеченные символом «черный квадрат», 
* = 0,123

). Кривые, отмеченные 

символом «черный круг», построены при 
o
100

s
g
С/см и
* = 0,097

. Сплошные и пунктирные ли
нии показывают зависимости в соответствии со скейлинговыми распределениями (1) и (2). Вертикальными линиями отмечено положение безразмерной протяженности m

 двухфазной зоны