О минимизации выпуклых функционалов

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА                                                       № 169 
 

 
УДК 517.988.8 
 
О МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 
 
А.А. ФОНАРЁВ  
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
С использованием проекционного итерационного процесса, сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс, строится последовательность, минимизирующая выпуклый функционал, заданный в вещественном нормированном пространстве. 
 
Ключевые слова: проекционный итерационный процесс, выпуклый функционал, минимизация 
 
Введение 
 
В теории экстремальных задач, в разных областях математики: в выпуклом программировании 
и классическом вариационном исчислении, в математической физике, теории целых функций, математической статистике и т. д. широко применяются понятия и методы выпуклого анализа. Формирование выпуклого анализа как самостоятельного раздела относится к 50-60 гг. ХХ века. Многие 
понятия и концепции выпуклого анализа нашли своё завершение в функциональном анализе. 
С работы В.Фенхеля [1] начался этап выпуклого анализа, на котором детально исследовались свойства выпуклых функционалов. 
Важным направлением выпуклого анализа является построение последовательностей, минимизирующих выпуклые функционалы. В частности, в выпуклом анализе рассматривается 
задача о минимизации выпуклого функционала, заданного в нормированном пространстве X и 
дифференцируемого на плотном в X подпространстве пространства 
.
X  
В статье с использованием проекционного итерационного процесса (ПИП), сочетающего в 
себе проекционный метод и итерационный процесс, строится последовательность, минимизирующая выпуклый функционал 

                                                                            

1
:
,
f
X
R
→
                                                                (1) 

где X  – вещественное нормированное пространство с нормой x  для x
X
∈
 и 
1
R  – одномерное 

евклидово пространство. 
При построении последовательности, минимизирующей функционал (1), предполагается, 
что функционал f  ограничен снизу на пространстве X  и дифференцируем на линейном многообразии 
,
E
X
⊂
 плотном в 
.
X  При этом в линейном многообразии E  используется норма, 
которая может не совпадать с нормой пространства 
.
X  В основном результате работы предполагается, что функционал f  непрерывен на пространстве 
.
X  
 
1. Постановка и формализация задачи 
 
В статье используется терминология из [2]. 
Предположим, что в линейном многообразии 
,
E
X
⊂
 плотном в нормированном простран
стве 
,
X  задана норма x ′ для 
.
x
E
∈
 И предположим, что задана такая последовательность ли
нейных многообразий 
iE
E
⊆
(
1,2,...),
i =
 что 
1
i
i
E
E +
⊆
 для каждого 
1
i ≥  и для любого z
E
∈
 

существует такая последовательность 
i
i
z
E
∈
(
1,2,...),
i =
 что 
0
iz
z ′
−
→
 при 
.
i → ∞