О скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса к обобщённому решению уравнения

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 
№ 157 
 

 
УДК 517.988.8 
 
 
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 
ПРОЕКЦИОННОГО ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА 
К ОБОБЩЁННОМУ РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ 
 
А.А. ФОНАРЁВ 
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
Получена оценка скорости сходимости последовательности проекционного итерационного процесса к обобщённому решению нелинейного уравнения в гильбертовом пространстве. 
 
Ключевые слова: последовательность, проекционный итерационный процесс, скорость сходимости, решение 
уравнения. 
 
Введение 
 
Модификация метода расходящихся рядов, являющегося градиентным методом [1, с. 91], 
использована в [2] для отыскания решения уравнения 

                                                                      
0
(
)
Fx
x
H
=
∈
                                                              (1) 

с нелинейным оператором F  из гильбертова пространства H  в 
.
H  При этом оператор F  
удовлетворял условию типа равномерной монотонности. 
В [2] в отличие от градиентных методов оператор F  не являлся потенциальным. И в [2] 
сходимость последовательности итерационного процесса, являющегося модификацией метода 
расходящихся рядов, к решению уравнения (1) получена без оценки скорости сходимости. 
В статье получена оценка скорости сходимости последовательности ПИП (проекционного 
итерационного процесса), сочетающего в себе проекционный метод и итерационный процесс и 
построенного с использованием метода расходящихся рядов, к обобщённому решению уравнения (1). 
Результаты статьи частично анонсированы в [3]. 
 
1. Постановка и формализация задачи 
 

Пусть 
,x y  и 

1/2
,
x
x x
=
 - скалярное произведение и норма для ,
.
x y
H
∈
 
Введём понятие обобщённого решения уравнения (1). 
Определение 1. Обобщённым решением уравнения (1) называется такой элемент 
0
,
x
H
∈
 
что 

(
)

2

0
0
0
Re
,
Fx x
x
c
x
x
x
x
−
≥
−
−
 

для 
,
x
H
∀ ∈
 где ( )
c t  - положительная невозрастающая функция, заданная для 
0.
t ≥
 
Введённое понятие обобщённого решения уравнения (1) отличается от понятия обобщенного решения уравнения, использовавшегося в [4–6]. 

Пусть {
} 1
i
i
H

∞

=  - такая последовательность подпространств (замкнутых) пространства 
,
H  что 

1
i
i
H
H +
⊆
 для 
1.
i
∀ ≥
 Пусть 
iP  - оператор ортогонального проектирования пространства H  на 

i
H  для 
1.
i
∀ ≥
 И пусть 
0
δ  и 
0
γ  - такие числа, что 
0
0
0.
δ
γ
≥
>