О методе фиктивных областей для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА 
№ 132 
 
серия Прикладная математика. Информатика 

 
 
УДК 519.632 
 
О МЕТОДЕ ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ  
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 
 
А.А. ФОНАРЁВ  
 
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л. 
 
В статье исследуется метод фиктивных областей для краевой задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностью в члене, не содержащем производных, при отсутствии ограничений на рост нелинейного члена. 
 
Введение 
 
Трудности составления программ для численного решения краевых задач для уравнений с 
частными производными при сведении краевой задачи к системе алгебраических уравнений во 
многом зависят от области, в которой рассматривается краевая задача. Поэтому целесообразно 
строить программы не для конкретных областей, а для более или менее широкого класса областей. Одним из возможных путей решения этой проблемы является замена краевой задачи на 
задачу, в определённом смысле близкую к ней, но заданную в более простой области, например, 
параллелепипеде. Такой подход получил название метода фиктивных областей. 
Метод фиктивных областей, являясь актуальным методом при приближенном построении 
решений линейных краевых задач [1], применим при исследовании и нелинейных краевых задач. И не всегда при применении этого метода к нелинейным краевым задачам можно эффективно использовать результаты, полученные для линейных краевых задач. 
В статье исследован метод фиктивных областей для краевой задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностью в члене, не содержащем 
производных, и без ограничения на рост этого нелинейного члена. При этом предварительно 
приведён результат существования обобщённого решения рассматриваемой в статье задачи Дирихле. 
 
1. Существование обобщённого решения задачи Дирихле 
 
Далее будем использовать обозначения и терминологию из [2]: 

1
E  — пространство вещественных чисел; 

n
E  — n -мерное евклидово пространство, 
1
(
,
,
)
n
x
x
x
=
…
 — произвольная точка в 
,
n
E
2;
n ≥

Ω  — ограниченная область в 
n
E  с границей ,
S
;
S
Ω = Ω ∪

mes Ω  — мера 
;
Ω

(
)
1,
,
,

n
x
x
u
u
u
∇ =
…
 

1/2

2

1

.

i

n

x
i
u
u

=



∇
= 



∑
 

Символ 
( ),
k
D u x
 где 
1
(
,
,
)
n
k
k
k
=
…
 — мультииндекс с целыми 
0,
lk ≥
 означает производную 

( )
u x  вида 

1
1

,

n

k

k
k
n

u

x
x

∂
∂
∂
…
 где 
1
n
k
k
k
=
+
+
…
 — порядок производной.