Метод ортогонализации и некоторые аспекты его применения в технике

УДК 517.5

А.Н. ДЕГТЯРЕВ (Севастополь, СевНТУ)

МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ И НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ В 
ТЕХНИКЕ

Введение. В теории и практике инженерной деятельности решение многих задач упро
щается, если исследуемые величины представляются в виде функциональных рядов. Доказано, что если данные ряды являются обобщенными рядами Фурье, то ошибку аппроксимации 
можно сделать сколь угодно малой. Часто необходимо составить такой ряд, чтобы при заданной заранее погрешности аппроксимации его конечная сумма содержала бы минимальное 
количество слагаемых. Известно, что базисные функции, по которым раскладывается исследуемая величина, в этом случае должны быть с ней связаны [1], [2]. Подобные базисные 
функции получили название экспериментального базиса. В работе [1] доказывается, что быструю сходимость рядов обеспечивает разложение Карунена-Лоева-Пугачева (К-Л-Празложение). Однако практическое применение К-Л-П-разложения затруднено, поскольку в 
общем случае определить базис можно только для стационарных случайных процессов с 
дробно-рациональным спектром [2]. В настоящее время широкое распространение находит 
вейвлет-анализ, обусловивший использование базисных функций – вейвлетов, «похожих» на 
исследуемую величину. Основным недостатком вейвлетов является то, что во многих случаях они не являются ортогональными функциями, и строгое доказательство сходимости соответствующего ряда встречает определенные трудности. Известная теорема ортогонализации 
Грамма-Шмидта приводит к искажению формы базисных функций, что почти всегда нежелательно. 

Представляется актуальным разработать метод получения систем ортогональных функ
ций, свободный от недостатков, присущих К-Л-П-разложению и вейвлет-анализу, и рассмотреть некоторые аспекты его технического применения.

Требования, предъявляемые к базисным функциям [3]. Координатные функции 
)
(t
n

в общем случае ортогональны с весовой функцией 
)
(t
h
. Средняя квадратическая ошибка 

(СКО) представления случайного процесса
)
(t
x
усеченным рядом по 
)
(t
n
запишется в виде

T
N

k

k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1

d
)
(
])
(
)
(
[
M
,     
(1)

где 
...
M
– оператор математического ожидания, 
ky –случайные величины, равные

T

k
k
t
t
h
t
t
x
y

0

d
)
(
)
(
)
(
.

С учетом ортогональности 
)
(t
k
с весовой функцией 
)
(t
h
и того, что 
)
(
)
(
)
(
M
t
D
t
x
t
x
x
и 

)
,
(
)
(
)
(
M
t
R
x
t
x
x
– соответственно дисперсия и корреляционная функция процесса 
)
(t
x
, а 

2
M
nk
n
k y
y
– коэффициенты корреляций величин 
ky и 
ny получаем

T
N

k

k
kk

T

k
x

N

k

k
x
t
t
t
h
h
t
R
t
t
h
t
h
t
D
I

0
1

2
2

0
1

d
)
(
)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
. 
(2)

Функционал (2) достигает минимума, если 
)
(t
k
удовлетворяют уравнению

)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0

t
h
t
R
k
kk

T

k
x
,                      
(3)

где 
2
kk – дисперсии коэффициентов разложения 
ky процесса
)
(t
x
по функциям 
)
(t
k
.

СКО 
2
a аппроксимации случайного процесса усеченным рядом по 
)
(t
k
определяется как:

.
d
)
(
)
(
)
(
M

1

2

0

2

0

2

N
n

nn

T
N

n

n
n
a
t
t
h
t
y
t
x

Выбор базисных функций [3]. Если                                         

0

)
(
)
(

k

k
k
t
y
t
x
(4)

является эргодическим случайным процессом,  то 

,)
(
d
)
(
)
(
)
(
)
,
(

0
0
k
n

kn
n
k
x
x
R
y
y
t
t
x
t
x
R
t
R
(5)

где 
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
.

Преобразование Фурье от обеих частей равенства (5) дает

0
0

)
(
)
(
j

0
0

*

)
(
)
(
)
j(
)
j(
)
(

k
n

n
k
n
k

k
n

n
k
n
k

n
k
e
F
F
y
y
F
F
y
y
,   
(6)

где 
)
(
– энергетический спектр 
)
(t
x
, 

)
(
j
)
(
)
j(
i
e
F
F
i
i
– спектральная плотность базисной 

функции 
)
(t
i
, 
)
(
iF
и 
)
(
i
– соответственно ее модуль и аргумент, 
)
j(

*

iF
– функция, ком
плексно сопряженная с 
)
j(
iF
.

Уравнение (6) разбивается на два уравнения: 

.0
)
(
)
(
sin
)
(
)
(

),
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(

0
0

0
0

k
n

n
k
n
k
n
k

k
n

n
k
n
k
n
k

F
F
y
y

F
F
y
y

(7)

Поскольку правая часть первого уравнения в (7) отлична от нуля, то хотя бы одно сла
гаемое в нем не равно нулю. Положим, что в (7) отличны от нуля только слагаемые, для которых 
n
k
.

Тогда из первого уравнения системы (7) получаем

)
(
)
(

0

2
2

k

k
k F
y
.             
(8)

Примем 
)
(
)
(
F
Fk
, и из (8) имеем:

)
(
)
(

0

2
2

k

k
y
F
,          
(9)

и                                             
)
(
)
(
F
,            
(10)

1

0

2

k

ky
.           
(11)

Во множестве функций, обладающих модулем (10) существует минимально-фазовая 

функция [3]. Примем минимально-фазовую функцию 
)
j(
0
F
в качестве спектральной плот
ности функции 
)
(
0 t . Остальные функции базиса получим путем смещения  
)
(
0 t на величи
ну n :

)
(
)
(
0
n
t
t
n
.                
(12)

Сформированную таким образом систему функций будем называть базисом с минималь
но-фазовым спектром (МФС-базисом).

Из выражений (6) и (11) следует, что 
k
y
некоррелированы между собой.

Представим 
)
(t
x
в виде ряда (4) по координатным функциям МФС-базиса. При условии, 

что
k
y
некоррелированы, получим корреляционную функцию процесса 
)
(t
x
: