Аппроксимация несинусоидальных напряжений и токов естественными ортогональными рядами

УДК 519.873
А.Н. Дегтярѐв, канд. техн. наук
Севастопольский национальный технический университет,
Ул. Университетская, 33, г. Севастополь, Украина, 99053
E-mail: root@sevgtu.sebastopol.ua
АППРОКСИМАЦИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ 
ЕСТЕСТВЕННЫМИ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ

Для аппроксимации несинусоидальных напряжений и токов предложено использовать 

ортогональные ряды, базисными функциями которых являются эквидистантные функции, 
получаемые путем смещения импульсных характеристик физически реализуемых линейных 
устройств. Обосновываются условия существования таких рядов. Показано, что предлагаемые базисные функции являются собственными функциями интегрального преобразования с воспроизводящим ядром.

Введение. На практике часто приходится иметь дело с несинусоидальными напряже
ниями и токами. При изучении поведения указанных электрических величин их раскладывают в ряды.

В таблице 1 приведена характеристика используемых базисных функций. 
Заметим, что требование к ортогональности базисных функций позволяет точно знать, 

что аппроксимирующий ряд сходится.

Таблица 1 — Характеристика базисных функций, используемых при разложении неси
нусоидальных напряжений и токов в ряды

Характеристика

базисных функций

Классические ортогональные функции

Собственные функции интегральных 
преобразований

Вейвлеты

Достоинства
Ряд ортогональный

1. Ряд ортогональный;
2. Высокая скорость 
сходимости рядов

1. Высокая скорость 
сходимости рядов;
2. Простота получения базисных функций

Недостатки
Ряд сходится 

медленно

Сложности при получении базисных 
функций

Не всегда удается 
получить ортогональный ряд

Как следует из таблицы 1, ни одна система известных базисных функций не способна 

одновременно удовлетворить требования исследователя к скорости сходимости, ортогональности ряда и простоте получения базисных функций.

В работе [1] предлагается метод ортогонализации функций путем определения веса ор
тогональности. В соответствии с данным методом вес ортогональности эквидистантных 
функций 
)
(
)
(
n
t
t
n
(
— интервал смещения, n = 0, 1, 2, ….) является периодической 

функцией, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Заметим, что в классической теории ортогональных функций вес, определяемый при решении 
дифференциального уравнения, оказывается положительной функцией. Следовательно, 
предложенный в [1] подход к ортогонализации функций несколько расширяет рамки классической теории.

Используя предложенный в [1] метод ортогонализации, можно получить, так называе
мые, естественные ортогональные ряды. Базисные функции естественных ортогональных