Дискретизация сигналов с бесконечным спектром

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ С БЕСКОНЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский государственный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок

тел. (0692) 43-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация — Рассмотрен способ дискретизации сиг
налов с бесконечным спектром. Получено уравнение для 
определения интервала дискретизации.

I. Введение

Сигнал с ограниченным спектром может быть 

представлен в виде ряда по функциям отсчетов [1]. 
Однако, сигналы с ограниченным спектром являются 
идеальными сигналами. При дискретизации неидеального сигнала полагают, что спектр сигнала ограничен частотным диапазоном, в котором сосредоточено 88% энергии сигнала. Такой подход приводит к 
систематическим погрешностям классической теории связи, которые проявляются как межканальные 
помехи и межсимвольная интерференция.

Представляется актуальным разработать метод 

дискретизации сигналов с бесконечным спектром. 

II. Модель исходного сигнала

Примем, что подлежащий дискретизации сигнал 
)
(t
f
со спектральной плотностью 
)
j(
F
является 

выходным сигналом фильтра с импульсной характеристикой 
)
(t
g
и комплексным коэффициентом пере
дачи 
)
j(
K
. На вход фильтра поступает сигнал 
)
(t
s

со спектральной плотностью 
)
j(
S
. Тогда
)
j(
)
j(
)
j(
K
S
F
.
(1)

Введем 
ортогональный 
с 
весом 
)
(t
базис 

)
(
)
(
n
t
g
t
n
, n=…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…. Базисные 

функции получены смещением на время nα импульсной характеристики фильтра. Вес 
)
(t
является пе
риодической функцией с периодом α [2]. В базисе 
функций 
)
(t
n
сигнал 
)
(t
f
представляется в виде

n

n

n

n
n
n
t
g
a
t
a
t
f
)
(
)
(
)
(
,
(2)

где 

T

n
t
t
n
t
g
t
f
a

0

d
)
(
)
(
)
(
,
(3)

Т — интервал наблюдения сигнала 
)
(t
f
.

Спектральная плотность 
)
j(
F
данного сигнала 

запишется как

n

n

n
a
K
F
j
e
)
j(
)
j(
.
(4)

Из равенства правых частей (1) и (4) получаем

n

n

n
a
S
j
e
)
j(
,

)
(
d
e)
j(
j
n
s
S
a
n

n
,
(5)

где 
)
(n
s
— отсчет сигнала 
)
(t
s
, взятый в момент 

времени nα.

Таким образом, выходной сигнал фильтра рас
кладывается в ряд 

n

n
t
g
n
s
t
f
)
(
)
(
)
(
.
(6)

С другой стороны, поскольку 
)
(t
является пе
риодической функцией с периодом α, то

0

2
j

e
)
(

k

t
k

k
t
.
(7)

Подставим (7) в (3) и после преобразований получим

d
e
))
2
(j(
)
j
(
2
1
j

0

n

k

k
n
k
F
K
a
. 
(8)

III. Идеальная дискретизация

Если спектральные плотности 
))
2
(j(
k
F
не 

перекрываются то выражение (8) перепишется как

d
e)
j(
)
j
(
2

j
0
n

n
F
K
a
.
(9)

Подставляя (1) в (9), получаем

.
d
e)
j(
)
(
2

j
2
0
n

n
S
K
a
(10)

Комплексный коэффициент передачи
идеального 

фильтра равен 
)
(1
)
(1
)
j(
)
j(
m
m
K
K
, 

где 
)
(1
— функция Хевисайда,
m — частота среза 

фильтра. Тогда 
1
)
(t
, 
1
0
и из (10) имеем

d
e)
j(
2
1
jn

n
F
a
.

Следовательно,

)
(
)
(
n
s
n
f
an
.

Определим интервал дискретизации α, для чего 

рассмотрим 
условие 
ортогональности 
функций 

)
(
n
t
g
с весом 
)
(t

.
,0

,
,0
dt
)
(
)
(
)
(
n
m

n
m
t
m
t
g
n
t
g
(11)

Учитывая (7) и свойства прямого преобразования 
Фурье, перепишем левую часть (11) в виде

0

)
(
j
d
e
))
2
j(
(
)
j(
2
1

k

n
m

k
k
K
K
.

Если 
)
j(
K
и 
))
2
j(
(
k
K
не перекрываются, то 

)),
(
(
dt
)
(
)
(
)
(
0
m
n
R
t
m
t
g
n
t
g

где 
(...)
R
— корреляционная функция импульсной 

характеристики фильтра.

Условие ортогональности (11) примет вид 

.
,0

,
,0
))
(
(
n
m

n
m
m
n
R
(12)

Равенство (12) выполняется для идеального