Непротиворечивая теория связи

 

2010ѝ20thѝInt.ѝCrimeanѝConferenceѝ“Microwaveѝ&ѝTelecommunicationѝTechnology”ѝ(CriMiCo’2010).ѝ13-17ѝSeptember,ѝSevastopol,ѝCrimea,ѝUkraineѝ
©ѝ2010:ѝCriMiCo’2010ѝOrganizingѝCommittee;ѝCrSTC.ѝISBN:ѝ978-966-335-329-6.ѝIEEEѝCatalogѝNumber:ѝCFP10788 
329

НЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ТЕОРИЯ СВЯЗИ  
 
Дегтярев А. Н. 
Севастопольский государственный технический университет 
99053, Севастополь, Студгородок 
тел.: (0692) 23-51-18, e-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua 
 
Аннотация — Для описания сигнала использованы физически реализуемые функции. Модули спектральных плотностей сигнала и базисных функций совпадают. Рассмотрен 
метод ортогонализации базисных функций путем определения весовой функции. Получены аналитические выражения 
для количества степеней свободы сигналов и пропускной 
способности канала связи. Показана возможность исключения межсимвольной интерференции и межканальных помех. 

I. Введение 

Теория рассматривает идеальные каналы связи, 
вследствие чего на практике возникают межканальные помехи и межсимвольная интерференция. Помехи появляются в результате потери ортогональности, как между сигналами соседних каналов связи, 
так и между сигналами, с помощью которых передаются символы в каждом из каналов. Актуально построить теорию связи без таких погрешностей. 

II. Выбор ортогонального базиса 

Пусть сигнал 
)
(t
x
с корреляционной функцией  

)
,
( τ
t
Rx
 и энергетическим спектром 
)
(ω
Φ
 описыва
ется суммой ряда по функциям 
)
(t
k
ϕ
, ортогональ
ным с весом 
)
(t
h
: 

 
∑
=
ϕ
≈
N

k
k
k
t
y
t
x
1
)
(
)
(
. 
(1) 

Тогда 
)
(t
k
ϕ
, минимизирующие среднюю квадрати
ческую ошибку (СКО) 

 
⎪⎭

⎪⎬
⎫

⎪⎩

⎪⎨
⎧
ϕ
−
=
∫
∑
=

T
N

k
k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1
d
)
(
])
(
)
(
[
M
, 
(2) 

должны являться собственными функциями ядра 
интегрального уравнения 

 
)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0
t
h
t
R
k
k

T

k
x
ϕ
σ
=
τ
τ
τ
ϕ
τ
∫
,  
(3) 

где 
{ }
...
M
 – оператор математического ожидания, 

2
k
σ
 – дисперсии коэффициентов 
ky . 

СКО аппроксимации случайного процесса суммой 

(1) равна  
.
1

2
∑

∞

+
=
σ
=
N
n
n
I
 

Если 

 
∑

∞

=
ϕ
=
0
)
(
)
(
k
k
k
t
y
t
x
  
(4) 

является эргодическим случайным процессом,  то  

 
,)
(
)
(
)
,
(
0
0
∑ ∑

∞

=

∞

=
τ
=
τ
=
τ
k
n
kn
n
k
x
x
R
y
y
R
t
R
  
(5) 

где  
∫

∞

∞
−
−
τ
ϕ
ϕ
=
τ
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
. 

Преобразование Фурье от (5) дает 

 
[
]
∑ ∑

∑ ∑

∞

=

∞

=

ω
θ
−
ω
θ

∞

=

∞

=

ω
ω
=

=
ω
ω
=
ω
Φ

0
0

)
(
)
(
j

0
0

*

,
)
(
)
(

)
j(
)
j(
)
(

k
n
n
k
n
k

k
n
n
k
n
k

n
k
e
F
F
y
y

F
F
y
y

  
(6) 

где 
)
(
j
)
(
)
j(
ω
θ
ω
=
ω
i
e
F
F
i
i
 – спектральная плотность 

)
(t
i
ϕ
, 
)
(ω
iF
 и 
)
(ω
θi
 – соответственно ее модуль и 

аргумент, 
)
j(
*
ω
iF
 – функция, комплексно сопряжен
ная с 
)
j( ω
iF
. 

Уравнение (6) разбивается на два уравнения:  

[
]

[
]
⎪
⎪
⎩

⎪⎪
⎨

⎧

=
ω
θ
−
ω
θ
ω
ω

ω
Φ
=
ω
θ
−
ω
θ
ω
ω

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

.0
)
(
)
(
sin
)
(
)
(

),
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(

0
0

0
0

k
n
n
k
n
k
n
k

k
n
n
k
n
k
n
k

F
F
y
y

F
F
y
y

(7) 

Положим, что при 
n
k ≠
 все слагаемые в (7) равны нулю, и из первого уравнения системы (7) получаем 

 
)
(
)
(
0

2
2
ω
Φ
=
ω
∑

∞

=
k
k
k F
y
.  
(8) 

Примем 
)
(
)
(
ω
=
ω
F
Fk
, и из (8) имеем: 

 
)
(
)
(
0

2
2
ω
Φ
=
ω ∑

∞

=
k
ky
F
,  
(9) 

и 
)
(
)
(
ω
Φ
=
ω
F
,  
(10) 

 
1
0

2 =
∑

∞

=
k
ky
.  
(11) 

Во множестве функций, обладающих модулем 
(10) существует минимально-фазовая функция [3]. 
Примем минимально-фазовую функцию 
)
j(
0
ω
F
 в 

качестве спектральной плотности функции 
)
(
0 t
ϕ
. 

Пусть остальные 
)
(t
n
ϕ
 имеют вид: 

 
)
(
)
(
0
α
−
ϕ
=
ϕ
n
t
t
n
, n  – целое.  
(12) 

Сформированный базис назовем базисом с минимально-фазовым спектром (МФС-базисом).  
Из (6) и (11) видно, что все 
ky  некоррелированы. 

Представим 
)
(t
x
 в виде ряда (4) по МФС-базису. 

Поскольку
ky  некоррелированы, то 

{
}

.)
(
)
(
)
(
)
(
M

)
(
)
(
M
)
,
(

0

2

0
0
∑
∑
∑

∞

=

∞

=

∞

=
τ
ϕ
ϕ
σ
=
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
τ
ϕ
ϕ
=

=
τ
=
τ

k
k
k
k
k
k
k
k
k
k

x

t
y
t
y

x
t
x
t
R

 (13) 

Подставляя (13) в (3), получаем