Об одном семействе систем ортогональных функций с ограниченным модулем спектральной плотности

УДК 517.5
А.Н. Дегтярев, доц., канд. техн. наук
Севастопольский национальный технический университет
ул.Университетская 33,  г. Севастополь, Украина, 99053
root@sevgtu.sebastopol.ua
ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С 
ОГРАНИЧЕННЫМ МОДУЛЕМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Доказано, что эквидистантные функции с ограниченным модулем спектральной плот
ности ортогональны с весом в виде четного тригонометрического полинома.

Введение. В работе [1] были определены весовые функции, с которыми ортогональны на 

бесконечном интервале функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
для n=1, 2, 3. Так, функции вида 

)
(

)
(
sin
)
(
m
t

m
t
t
m
ортогональны с весом равным 1; функции вида 
2
2

2

)
(

)
(
sin
)
(

m
t

m
t
t
m
ортого
нальны с весом 
t
2
sin
4
3
; функции вида 
3
3

3

)
(

)
(
sin
)
(

m
t

m
t
t
m
ортогональны с весом 

t
2
sin
7
24

7
20
. 

Представляет интерес доказать, что функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, а также функции 

вида 
n
n

n
K

n

n
m
m
t

m
t
g
t

)
(

)
(
sin
)
(

1

, где n и m – целые числа, ортогональны с весом, который может 

быть представлен в виде  тригонометрического полинома по четным степеням 
t
sin
:

t
a
t
a
t
a
a
Q

Q sin
...
sin
sin
4

4

2

2
1
,

причем максимальная степень полинома Q определяется показателем степени n.

1. Вес ортогональности функций вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
.

Теорема 1. Функции вида 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
, где и m – целые числа, ортогональны на 

бесконечном интервале изменения аргумента с весом 

1
4

)1
(
1

2

1

)
2

)1
(
1
(

1

1

)
(sin
)
(

n

i
n

i

i

i
t
a
t
h
, где 
ia –

коэффициенты тригонометрического полинома.

Доказательство. Запишем условие ортогональности функций 
n
n

n

m
m
t

m
t
t

)
(

)
(
sin
)
(
с весовой 

функцией в виде полинома по степеням 
t
sin
:

.0
,0
d
sin

)
(

)
(
sin

)
(

sin

,1
d
sin

)
(

sin

0

0

2

2

m
t
t
a

m
t

m
t

t

t

t
t
a

t

t

N

k

k

k
n
n

n

n

n

N

k

k

k
n

n

(1)

Используя тригонометрическое тождество

,
sin
)1
(
sin
)1
(
)
sin
cos
cos
(sin
)
(
sin
t
t
m
t
m
t
m
t
n
mn
n
m
n
n

равенство (1) можно переписать в виде