Дискретизация спектров физически реализуемых сигналов

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СПЕКТРОВ ФИЗИЧЕСКИ РЕАЛИЗУЕМЫХ 

СИГНАЛОВ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский Национальный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок тел. (0692) 23-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация – Наличие периодической составляющей в 

сигнале является условием, при котором возможна дискретизация его спектра. Дискретизация спектра рассматривается как разложение его в ряд по эквидистантным ортогональным с весом функциям. Эти функции имеют минимально-фазовые вещественные и мнимые части, модули 
спектров которых равны соответственно модулям преобразования Фурье  от вещественной и мнимой частей дискретизируемого спектра. Представлена процедура ортогонализации спектра сигнала.

I. Введение

Считают, что дискретизация спектра сигналов во 

многом аналогична дискретизации самих сигналов, 
для которых применима теорема В.А. Котельникова. 
Однако, такая дискретизация физически невозможна 
в силу теоремы Пэли-Винера, которая ограничивает 
крутизну спада частотной характеристики линейной 
инвариантной во времени системы. В работах [1] и 
[2] сформулирована и доказана теорема дискретизации сигналов в физически реализуемых системах. 
Однако в [1] и [2]  ничего не говорится о  дискретизации спектров сигналов. Для описания процедуры 
дискретизации спектров сигналов необходимо ответить на три вопроса. Каким должен быть сигнал, чтобы его спектр можно было дискретизировать? Какими должны быть базисные функции? Каким должен 
быть вес ортогональности базисных функций? 

II. Основная часть

Если сигнал 
)t(
f
имеет вид произведения пе
риодической 
)t(
q
и непериодической 
)t(
g
состав
ляющих, то его спектр имеет вид свертки:

,)
w
jn
jv
(
G
a

dw
)
w
n
w
(
a
)
jw
jv
(
G
)
jv
(
F

n

n

n

n

(1)

где  

n

n
)
w
n
w
(
a
- спектр 
)t(
q
, 
)
jv
(
G
- спектр 

)t(
g
. Тогда, F(jv) раскладывается в ряд по эквиди
стантным функциям 
)
w
jn
jv
(
G
, и наличие 
)t(
q
в 

сигнале является условием возможности дискретизации его спектра. Определим вес ортогональности 
функций 
)
w
jn
jv
(
G
. Из (1) следует, что вещест
венная 
)
jv
(
F
Re
и мнимая 
)
jv
(
F
Im
части 
)
jv
(
F

имеют вид:

n

n
n
)
jv
(
G
Re
a
)
jv
(
F
Re
,               (2)

n

n
n
)
jv
(
G
Im
a
)
jv
(
F
Im
,               (3)          

где 
)
jv
(
G
Re
n
и 
)
jv
(
G
Im
n
- вещественная и мни
мая части функции 
)
w
jn
jv
(
G
)
jv
(
G n
.

Условия ортогональности функций 
)
w
jn
jv
(
G

с вещественным весом 
)
v
(
h
с учетом (2) и (3):

.n
k
,0

,n
k
,1
dv
)
v
(
h
)}]
jv
(
G
Im{
j

)
jv
(
G
[Re{
)}]
jv
(
G
Im{
j
)}
jv
(
G
[Re{

n

n
k
k

Или:

.n
k
,0

,n
k
,1
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Im
j

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Im
j

)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re

k
n

n
k

n
k
n
k

При использовании эквидистантного базиса мнимая 
составляющая левой части этого выражения всегда 
равно нулю. Тогда для определения веса ортогональности 
)
v
(
h
функций 
)
jv
(
Gn
имеем систему 

уравнений:

.k
n
,0

,k
n
,1
dv
)
v
(
h
]
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
[Re

n
k

n
k

(4)

Как и в [1], [2] будем искать вес, оптимальный по 
условию минимума его энергии:

min
dv
)
v
(
h 2
,                   (5)

и учитывать условия:

.k
n
,0

,k
n
,
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

,k
n
,0

,k
n
,
dv
)
v
(
h
)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re

2

n
k

1

k
n

(6)

Подставив (6) в (4), можно увидеть, что условия (6) 
являются также и условиями ортогональности функций 
)
jv
(
G n
, 
при 
этом 
1
2
1
. 
Поскольку 

)
jv
(
G
Re
n
и 
)
jv
(
G
Im
n
являются эквидистантны
ми функциями, то вес, минимизирующий функционал 
(5) при условиях (6),  является периодической функцией и можно записать:

.
)
jv
(
G
Im
)
jv
(
G
Im

)
jv
(
G
Re
)
jv
(
G
Re
)
v
(
h

0
n
k

n
k
n

0
n
k

n
k
n

(7)             

Подставим (7) в (6) и (5) и получим систему уравнений для определения 
n и 
n . В зависимости от  

величины чисел 
1 и 
2 , можно уменьшить или уве
личить влияние фазы базисных функций 
)
jv
(
Gn
на