Дискретизация сигналов с ограниченным спектром

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
621.391.1     

Дегтярев А.Н.

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ

Аннотация. На основе доказательства теорем о дискретизации функций с ограниченным 

спектром в различных функциональных пространствах, показано, что представление функций в виде ряда В.А. Котельникова является не единственным разложением в ряд по выборкам. Сделан вывод о том, что выбор функционального пространства определяет шаг дискретизации функции, а это может быть использовано для устранения информационной избыточности сигналов.

Введение

Описание непрерывного процесса с помощью его выборок основывается на теории 

гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром (ГПВЯ). Для каждого ГПВЯ имеется 
интегральный оператор, который отображает любую функцию с интегрируемым квадратом 
модуля в функцию из ГПВЯ и оставляет без изменений функцию из ГПВЯ. Ядро такого интегрального оператора является эрмитовым. Как известно эрмитово ядро интегрального преобразования может быть представлено в виде ряда

k

k
k
k
)
x
(
u
)t(
u
)t,x
(
T
,                                                         (1)

где 
k - собственные числа, 
)t(
uk
- собственные функции интегрального уравнения

dx
)
x
(
f)t,x
(
T
)t(
f
.                                                          (2) 

В теории ГПВЯ доказывается следующая теорема [1].
Теорема 1. Рассмотрим абстрактное гильбертово пространство с воспроизводящим 

ядром 
)t,x
(
T
, определенным на некотором множестве P . Пусть 
)
P
t(
x
,t(
u
k
k
- полная орто
нормированная система в данном ГПВЯ. Если существуют ненулевые вещественные постоянные 
kc , такие, что

,
P
t
,
c
)t,t(
T

),
x
,t(
T
c
)
x
,t(
u
k
k
k
k

то разложение по полной ортонормированной системе для любой функции, определенной на 
P , имеющее вид

P

k
k
k

k

k
k
k

,
dt
)
x
,t(
u
)t(
f
a

,
P
t
,)
x
,t(
u
a
)t(
f

является рядом по выборкам.

Примером такого ГПВЯ является пространство функций с ограниченным спектром. 

Оператором, который определен на этом пространстве, является свертка [1]

dx
)
x
(
f
)
x
t(

)
x
t(
sin
)t(
f
.                                                      (3)

Оператор (1) имеет собственные функции вида

)
k
t(

)
k
t(
sin
)t(
uk
,                                                            (4)

которые и являются функциями отсчетов (при условии, что t - нормированное время).

Метод ортогонализации функций, приведенный в работах [2], [3], позволяет опреде
лить ядро интегрального преобразования для некоторых функциональных пространств в виде

k

k
k
k
)
x
(
)
x
(
u
)t(
u
)
x
,t(
R
,                                                  (5)