Оптимальное представление передаваемых сигналов

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕДАВАЕМЫХ СИГНАЛОВ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский Национальный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок тел. (0692) 23-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация – Задача оптимального (по условию мини
мума средней квадратической ошибки) представления сигналов в конечномерном базисе решена путем определения 
веса ортогональности базисных функций. В качестве базисных функций использованы эквидистантные минимально-фазовые функции,  амплитудный спектр которых с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотной характеристикой канала связи. Для оптимального описания детерминированных сигналов существует 
несколько различных базисов, у каждого из которых весовая функция зависит от вида передаваемых сигналов и 
базисных функций. Для оптимального описания случайного 
сигнала базис определяется единственным образом, и 
весовая функция зависит от базисных функций и ковариации сигнала.

I. Введение

Согласно теореме дискретизации в физически 

реализуемых системах в качестве базисных функций 
сигнального пространства необходимо выбирать 
минимально-фазовые функции с амплитудным спектром, совпадающим с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) канала связи [1], [2]. Однако остается неизвестным вес ортогональности базисных 
функций, минимизирующий ошибку представления 
сигнала в конечномерном базисе. 

II. Оптимальное представление            
детерминированных сигналов

При передаче цифрового кода используются де
терминированные сигналы, выбираемые из некоторого ансамбля (например, сигналы с амплитуднофазовой манипуляцией).

Задача. Найти вес h(t) ортогональности базисных 

функций 
)t(
sn
такой, чтобы средние квадратические  

ошибки представления M детерминированных сигналов 
)t(
fi
в виде конечных сумм

.)t(
s
a
)t(
f

...,
..........
..........
..........

,)t(
s
a
)t(
f

,)t(
s
a
)t(
f

N

1
n

n
Mn
M

N

1
n

n
n
2
2

N

1
n

n
n
1
1

(1)

были минимальными.

Найдем h(t), удовлетворяющий условиям мини
мума функционалов ошибки 

2

1

2

1

2

1

t

t

2
N

1
n

n
Mn
M
M

t

t

2
N

1
n

n
n
2
2
2

t

t

2
N

1
n

n
n
1
1
1

dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

..,
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

,
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

(2)

при условиях 

const
dt
)t(
h

2

1

t

t

2
,                    (3)

.
m
k
,0

,
m
k
,1
dt
)t(
h
)t(
s)t(
s

2

1

t

t

m
k
(4)

Определим знак функционала 
kI .

.
dt
)t(
h
)t(
s
a
dt
)t(
h)t(
s
a
)t(
f
2

dt
)t(
h
)t(
f
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

2
N

1
n

n
kn

t

t

N

1
n

n
kn
k

t

t

2
k

t

t

2
N

1
n

n
kn
k
k

Учитывая, что система ортогональных функций 
)t(
sn

является полной, получаем

.0
a
a
I

N

1
n

2
kn

1
n

2
kn
k

Поскольку все 
kI
из (2) положительны, можно соста
вить новый функционал 

M
2
1
I
...
I
I
I

и минимизировать его по h(t) при условиях (3), (4). 
Получаем:           

)]
t(
s
...
)t(
s)t(
s

)t(
s
...
)t(
s)t(
s

)t(
s
)t(
s
a
)t(
f
[
2
1
)t(
h

2
N
NN
1
n
n
1
nn

2
n
nn
2
1
12

2
1
11

2
N

1
n

n
n

(5)

Неизвестные коэффициенты 
ij
kn,
a
,
определя
ются решением системы уравнений, составленной из 
(2), (3), (4) после подстановки в них (5). 

Как видно из (2), уравнения относительно 
kn
a

являются уравнениями второго порядка и, поскольку 
количество функционалов ошибки равно M, имеют 

2

)1
N
(
N

2
M
решений. Все остальные уравнения яв
ляются линейными алгебраическими уравнениями. 

III. Оптимальное представление случай
ных сигналов

При передаче аналоговых сообщений встает во
прос об оптимальном (по минимуму средней квадратической ошибки)  представлении случайного сигнала f(t) в виде конечной суммы эквидистантных минимально-фазовых функций 
)t(
s n
. Иными словами мы 

имеем дело с оптимальной дискретизацией случайного сигнала.

Задача. Необходимо найти вес h(t) ортогонально
сти функций 
)t(
sn
такой, чтобы математическое 

ожидание функционала ошибки 

1

t

t

2
N

1
n

n
n

_

dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
M
I
,         (6)                              

где 
...
M
- оператор математического ожидания, 

было бы минимальным при условиях (3), (4).

2

1

2

1

2

1

t

t

N

1
n

t

t

n
n

t

t

_

,
dt
d
)
(
h
)
(
s)
,t(
B
)t(
s
)t(
h

dt
)t(
h
)t,t(
B
I

(7)

где 
)
,t(
B
- ковариация случайного процесса 
)t(
f
.

Вес, при котором функционал (7) имеет минимум, 

является решением интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

)t(
s
...
)t(
s)t(
s
)t(
s

d
)
(
h
)
(
s)t(
s
)
,t(
B
)t,t(
B
)t(
h
2

2
N
NN
2
1
12

2
1
11

t

t

N

1
n

n
n

2

1
(8)

с ядром 

N

1
n

n
n
)
(
s)t(
s
)
,t(
B
. Для того, чтобы опре
делить 
)t(
h
и значения неизвестных множителей 

Лагранжа 
ij
,
, необходимо решать систему урав
нений, составленную из уравнений (8), (3) и (4). 

IV. Заключение

Передача информации по физически реализуе
мым каналам связи требует использовать сигналы, 
выбранные специальным образом. 

В качестве базисных функций необходимо ис
пользовать эквидистантные минимально-фазовые 
функции, амплитудный спектр которых с точностью 
до постоянного множителя совпадает с АЧХ канала 
связи. Необходимость вытекает из условия дискретизации сигналов в физически реализуемых системах. 

Если сигналы детерминированные, то вес орто
гональности базисных функций зависит от вида самих сигналов и базисных функций. В данном случае 
вес не может быть определен однозначным образом. 

Существует 
2

)1
N
(
N

2
M
весовых функций, которые 

определяют столько же
конечномерных базисов, 

удовлетворяющих условию минимума средней квадратической ошибки описания M сигналов в N-мерном 
базисе. 

Если сигналы являются случайными, то вес оп
ределяется однозначно и зависит от ковариации 
сигнала и базисных функций.

V. Список литературы

[1] Агаханянц Р.Е. Методы ортогонализации линейно неза
висимых функций / Р.Е. Агаханянц, А.Н. Дегтярев. –
Прикладные задачи математики и механики. Материалы 
XII научной конференции ученых Украины, России, Беларуси, 15-21 сентября, 2003 г. – г. Севастополь: Изд. 
СевНТУ, 2003 – с. 40-45. 

[2] Дегтярев А.Н. Ортогонализация функций, дискретиза
ция и восстановление сигналов в физически реализуемых системах / А.Н. Дегтярев, Р.Е. Агаханянц. – Зв’язок, 
№2(54), 2005, стр. 45-52.

OPTIMAL REPRESENTATION OF SIGNALS 

TO BE TRANSMITTED

A.N. Degtyarev, 

Sevastopol National technical university

Studgorodok, Sevastopol-99053, Ukraine                     

tel. (0692)23-50-18, 

E-mail: rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Abstract - The problem of optimal (in terms of minimum rootmean-square error) representation of signals in the finitedimensional basis has been solved by determining the orthogonality weight of the basis functions. Basis functions are 
represented by minimum-phase equidistant functions having 
amplitude spectrum equal to the amplitude-frequency characteristic of the communication channel accurate to the constant 
factor. Deterministic signals can be optimally described by a 
few different bases each having weight function being dependant on types of signals transmitted and basis functions. There 
is only one way to determine the basis for optimal definition of 
the random signal, with the weight function being dependant on 
the basis functions and signal covariance.

I. Introduction

In accordance with the sampling theorem for the physically 
feasible systems, basis functions of the space of signals are to 
be represented by minimum-phase functions having amplitude 
spectrum equal to the amplitude-frequency characteristic of the 
communication channel [1], [2]. However, basis function orthogonality weight minimizing signal representation error within 
finite-dimensional basis is still unknown.

II. Optimal representation of deterministic signals

Deterministic signals selected from a particular set (e.g. signals 
with amplitude-phase keying) are used during transmission of a 
digit code. The problem is to find such orthogonality weight of 
the basis functions that would minimize root-mean-square errors in representation of M deterministic signals as finite sums 
(1). Let’s find weight meeting condition for minimum functional 
error (2) under conditions (3), (4). Functionals (2) are positive, 
so we can obtain a new functional by adding them up and we 
can also minimize it on weight under conditions (3), (4). The 
result is (5). Unknown factors can be determined by solving set 
of equations including (2), (3), (4) after inserting (5). As it can 
be seen from (2), the equations for coefficients are seconddegree equations having several solutions. All other equations 
are linear algebraic equations.

III. Optimal representation of random signals

When transmitting analog communications, there is an issue of 
optimum (in terms of minimum root-mean-square error) representation of random signal as a finite sum of equidistant minimum-phase functions. In other words, we deal with optimum 
sampling of a random signal. The problem is to find such orthogonality weight of the basis functions that would minimize 
mathematical expectation of error functional (6) under condition 
(3), (4). (7) is obtained from (6). Weight under which the functional (7) has minimum is a solution of 2-genus Fredholm 
integral equation (8). Weight and values of unknown Lagrangian coefficients can be found by solving a set of equation consisting of equations (7), (3) and (4).

IV. Conclusion
It is necessary to use specially selected signals to transmit 
information via physically feasible communication channels. 
Basis functions are to be represented by minimum-phase equidistant functions having amplitude spectrum equal to the amplitude-frequency characteristic of the communication channel 
accurate to the constant factor. Such necessity comes from 
signal sampling condition for physically feasible systems. When 
signals are deterministic, orthogonality weight of the basis functions is dependant on types of these signals and the basis functions. No unique weight can be found in this case. Several 
weight functions exist to define same amount of finite-element 
basis meeting the condition for minimum of root-mean-square 
error in representation of M signals in N-dimensional basis. 
When signals are random, a unique weight dependant on signal covariance and basis functions can be found.