Оптимальное представление передаваемых сигналов

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕДАВАЕМЫХ СИГНАЛОВ

Дегтярев А.Н.

Севастопольский Национальный технический университет,

99053, Севастополь, студгородок тел. (0692) 23-51-18, E-mail rt.sevgtu@stel.sebastopol.ua

Аннотация – Задача оптимального (по условию мини
мума средней квадратической ошибки) представления сигналов в конечномерном базисе решена путем определения 
веса ортогональности базисных функций. В качестве базисных функций использованы эквидистантные минимально-фазовые функции,  амплитудный спектр которых с точностью до постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотной характеристикой канала связи. Для оптимального описания детерминированных сигналов существует 
несколько различных базисов, у каждого из которых весовая функция зависит от вида передаваемых сигналов и 
базисных функций. Для оптимального описания случайного 
сигнала базис определяется единственным образом, и 
весовая функция зависит от базисных функций и ковариации сигнала.

I. Введение

Согласно теореме дискретизации в физически 

реализуемых системах в качестве базисных функций 
сигнального пространства необходимо выбирать 
минимально-фазовые функции с амплитудным спектром, совпадающим с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) канала связи [1], [2]. Однако остается неизвестным вес ортогональности базисных 
функций, минимизирующий ошибку представления 
сигнала в конечномерном базисе. 

II. Оптимальное представление            
детерминированных сигналов

При передаче цифрового кода используются де
терминированные сигналы, выбираемые из некоторого ансамбля (например, сигналы с амплитуднофазовой манипуляцией).

Задача. Найти вес h(t) ортогональности базисных 

функций 
)t(
sn
такой, чтобы средние квадратические  

ошибки представления M детерминированных сигналов 
)t(
fi
в виде конечных сумм

.)t(
s
a
)t(
f

...,
..........
..........
..........

,)t(
s
a
)t(
f

,)t(
s
a
)t(
f

N

1
n

n
Mn
M

N

1
n

n
n
2
2

N

1
n

n
n
1
1

(1)

были минимальными.

Найдем h(t), удовлетворяющий условиям мини
мума функционалов ошибки 

2

1

2

1

2

1

t

t

2
N

1
n

n
Mn
M
M

t

t

2
N

1
n

n
n
2
2
2

t

t

2
N

1
n

n
n
1
1
1

dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

..,
..........
..........
..........
..........
..........
..........

,
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

,
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

(2)

при условиях 

const
dt
)t(
h

2

1

t

t

2
,                    (3)

.
m
k
,0

,
m
k
,1
dt
)t(
h
)t(
s)t(
s

2

1

t

t

m
k
(4)

Определим знак функционала 
kI .

.
dt
)t(
h
)t(
s
a
dt
)t(
h)t(
s
a
)t(
f
2

dt
)t(
h
)t(
f
dt
)t(
h
)t(
s
a
)t(
f
I

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

2
N

1
n

n
kn

t

t

N

1
n

n
kn
k

t

t

2
k

t

t

2
N

1
n

n
kn
k
k

Учитывая, что система ортогональных функций 
)t(
sn

является полной, получаем

.0
a
a
I

N

1
n

2
kn

1
n

2
kn
k

Поскольку все 
kI
из (2) положительны, можно соста
вить новый функционал 

M
2
1
I
...
I
I
I

и минимизировать его по h(t) при условиях (3), (4). 
Получаем:           

)]
t(
s
...
)t(
s)t(
s

)t(
s
...
)t(
s)t(
s

)t(
s
)t(
s
a
)t(
f
[
2
1
)t(
h

2
N
NN
1
n
n
1
nn

2
n
nn
2
1
12

2
1
11

2
N

1
n

n
n

(5)

Неизвестные коэффициенты 
ij
kn,
a
,
определя
ются решением системы уравнений, составленной из 
(2), (3), (4) после подстановки в них (5). 

Как видно из (2), уравнения относительно 
kn
a

являются уравнениями второго порядка и, поскольку 
количество функционалов ошибки равно M, имеют 

2

)1
N
(
N

2
M
решений. Все остальные уравнения яв
ляются линейными алгебраическими уравнениями. 

III. Оптимальное представление случай
ных сигналов

При передаче аналоговых сообщений встает во
прос об оптимальном (по минимуму средней квадратической ошибки)  представлении случайного сигнала f(t) в виде конечной суммы эквидистантных минимально-фазовых функций 
)t(
s n
. Иными словами мы 

имеем дело с оптимальной дискретизацией случайного сигнала.

Задача. Необходимо найти вес h(t) ортогонально
сти функций 
)t(
sn
такой, чтобы математическое 

ожидание функционала ошибки