Линейная алгебра в вопросах и задачах


Бутузов В.Ф.
Крутицкая Н.Ч.
Шишкин А.А.





        Линейная алгебра в вопросах и задачах









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512.64
ББК 22.143
       Б90






   Бутузов В.Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб, пособие/ Под ред. В. Ф. Бутузова. — 2-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 248 с. — ISBN 5-9221-0285-0.

   Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.
   Первое издание — 2001 г.
   Для студентов высших учебных заведений.



   Рецензент: кафедра высшей математики Московского энергетического института.

ISBN 5-9221-0285-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2002
© В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая,

А.А. Шишкин, 2001, 2002

   ПРЕДИСЛОВИЕ

   Данное учебное пособие является результатом существенной переработки одноименного пособия, вышедшего в 1985 г. (Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. “Линейная алгебра в вопросах и задачах.” — М.: Высшая школа). Оно отражает многолетний опыт авторов по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на физическом факультете Московского государственного университета.
   Линейной алгебре посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники и задачники. Вместе с тем ощущается недостаток пособий, помогающих студентам выработать навыки решения задач по различным разделам линейной алгебры. Авторы данной книги ставили перед собой цель в какой-то мере ликвидировать этот пробел. Назначение пособия мы видим в том, чтобы активизировать самостоятельную работу студентов при изучении линейной алгебры, помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.
   Пособие охватывает основные разделы линейной алгебры. По отношению к предыдущему изданию в нем наряду с существенной переработкой всех глав исключена глава “Численные методы решения систем линейных уравнений”, но добавлены две новые главы: “Тензоры” и “Группы”, что особенно важно для подготовки специалистов в области физики.
   Структура пособия подчинена решению поставленных выше учебно-методических задач. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта.
   В пункте “Основные понятия и теоремы” приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Эти сведения иногда сопровождаются поясняющими примерами или комментариями, направленными на то, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий.
   В пункте “Контрольные вопросы и задания” содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение пункта — помочь студенту в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать ему воз

Предисловие

можность самому проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понять смысл теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этого смысла. Из данного пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме.
   В пункте “Примеры решения задач” представлены решения типичных задач по изучаемой теме. При этом уделяется внимание не только “техническим приемам”, но в ряде случаев и поиску наиболее простого пути решения задачи, в частности с помощью геометрической интерпретации алгебраических понятий. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражнениям. Начало и конец решений задач отмечены соответственно знаками А и А. Вместо слова “Указание” используется знак *.
   Назначение пункта “Задачи и упражнения для самостоятельной работы” отражено в его названии. Мы ограничились определенным минимумом упражнений, достаточным, на наш взгляд, для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе задач и упражнений использовались различные источники, в том числе известные задачники по линейной алгебре: Проскуряков И.В. “Сборник задач по линейной алгебре” (М.: Наука, 1978), Икрамов Х.Д. “Задачник по линейной алгебре” (М.: Наука, 1975), Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. “Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре” (М.: Наука, 1987).
   Мы надеемся, что пособие будет полезным как для студентов, так и для преподавателей, ведущих занятия по курсу линейной алгебры.


Авторы

  ГЛАВА I


  МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ







  § 1. Матрицы


   Основные понятия
   1.    Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел (вещественных или комплексных)

                      («11   «12  ••• «1п
«21  «22  ••• «2п

«ml «m2   ••• ®тп

называется числовой матрицей (или просто матрицей). Числа ау называются элементами матрицы- первый индекс i обозначает номер строки, а второй индекс j — номер столбца, на пересечении которых стоит элемент ац. Например, элемент а±2 стоит на пересечении первой строки и второго столбца.
   Матрица А имеет гп строк и п столбцов. Поэтому ее называют гп х n-матрицей или матрицей с размерами т х п.
   Для гп х n-матрицы А можно использовать краткое обозначение («у)тхп, а если размеры матрицы заранее оговорены, то, не указывая их, будем писать (ау).
   Если гп = п (число строк матрицы равно числу столбцов), то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
   Две гп х n-матрицы А = (flij) и В = (Ьу) называются равными (А = В), если их элементы соответственно равны: ау = bij, i = 1,..., гп; j = 1, •••,«•
   2.    Линейные операции над матрицами. Суммой (разностью) гп х n-матриц А = (a,ij) и В = (Ьу) называется гп х n-матрица С = = (cij), элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и В: Cij = ay + bij (cij = ay — bij).
   Обозначение: C = A + B (C = A — B).
   Подчеркнем, что сложение и вычитание вводятся для матриц только с одинаковыми размерами.
   Произведением гп х n-матрицы А = (flij) на число х называется гп х тг-матрица В = (bij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на число х: bij = хау.
   Обозначение: В = хА.

Гл. I. Матрицы и определители

   Введенные действия (сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число) называются линейными операциями над матрицами. Они обладают следующими свойствами. Для любых т х n-матриц А, В, С и любых чисел х и у справедливы равенства 1°-5°.
   1°. А + В = В + А (коммутативность сложения).
   2°. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность сложения).
   3°. х(А + В) = хА + хВ (распределительное свойство относительно числового сомножителя).
   4°. (х + у) А = хА + у А (распределительное свойство относительно матричного сомножителя).
   5°. х(уА) = {ху)А.

   3.    Транспонированная матрица. Расположим строки т х п-матрицы А = (ау) в виде столбцов, не меняя их порядка (т. е. первая строка станет первым столбцом и т. д.). Получится п х тп-матрица


/ «11 «21  ••• «ml \
«12   «22  ••• «m2
............... ’
\«1п  «2п  ••• «тп/
которая называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается АТ.
   Обозначим элементы матрицы Ат через Оу (г = 1,..., п; j = 1,m). Согласно определению транспонированной матрицы справедливы равенства
               «'/«»• г = 1,...,п; j = l,...,m.               (1)
   Операция транспонирования (т. е. переход от матрицы А к матрице Ат) обладает следующими свойствами. Для любых m х п-мат-риц А и В и любого числа х справедливы равенства 1°, 2°.
   1°. (А + В)т =АТ +ВТ.
   2°. (хА)т = хАт.


   4.    Умножение матриц. Произведением матрицы А = (ау)тахп на матрицу В = (Ьу)пх/г называется матрица С = (су)тахд;, элементы которой определяются формулой

                                                           п
C-ij —        4"        4" •••4" &inb-nj ⁼ / CLilbl
                                                          1=1





   Обозначение: C = AB.

   Подчеркнем, что произведение AB определено только для таких матриц, у которых число столбцов матрицы А (первого сомножителя) равно числу строк матрицы В (второго сомножителя). При этом

§1. Матрицы

7

число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.
   Умножение матриц обладает следующими свойствами. Для любых матриц А, В, С и любого числа х справедливы равенства 1°-4° (предполагается, что размеры матриц А, В, С таковы, что левые части равенств определены, тогда будут определены и правые части равенств).

   1°. А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность умножения).
   2°. А(В + С) = АВ + АС (распределительное свойство).
   3°. (хА)В = А(хВ) = х(АВ).
   4°. (АВ)Т = ВТАТ.

   Отметим, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Более того, если А — гп х n-матрица, а В — п х ^-матрица, то произведение АВ определено, а произведение В А при к 7^ гп не определено. Если же к = гп, то произведение В А также определено, но при гп п АВ и В А — квадратные матрицы разных порядков (соответственно порядка тип), так что вопрос об их равенстве некорректен. Если же гп = п = к, то обе матрицы АВ и В А — квадратные матрицы n-го порядка, но и в этом случае, вообще говоря, АВ В А.
   5.    Обратная матрица. Введем так называемый символ Кронекера:
₌ ( 1 при г = j, г] ( 0 при i j, где i и j — произвольные натуральные числа.
   Матрица

                                                                       /1 0 ... 0\


                    Е — (3ij)nxn

О 1

о

                                                                       \0 О ... 1/

называется единичной матрицей n-го порядка. Для нее используются также следующие обозначения: Еп, I, 1п.
   Квадратная матрица В называется обратной по отношению к матрице А с такими же размерами, если

АВ = В А = Е.


   Обратная матрица обозначается символом А х.

   Контрольные вопросы и задания
1. Что такое числовая матрица? Могут ли все элементы матрицы равняться нулю?
2. Какие матрицы называются равными? Равны ли матрицы

О

Гл. I. Матрицы и определители

3. Как сложить две матрицы? Можно ли сложить две матрицы с размерами 2x3 и 3x2?
4. Как вычесть из одной матрицы другую? Можно ли из матрицы А вычесть эту же матрицу А? Что получится?
5. Докажите, что: а) А + В = В + А; б) А — В = А + (—1)В.
6. Какая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А? Для любой ли матрицы А существует транспонированная?
7. Может ли выполняться равенство АТ = А? Ответ обоснуйте.
8. Для каких матриц А и В определено произведение АВ? Как вычисляются элементы матрицы АВ?
9. Известно, что (1 2 3) • А = (0 1). Каковы размеры матрицы А?
10. Можно ли умножить строку с п элементами (1 х n-матрицу) на столбец с п элементами? Что получится?
11. Всегда ли выполняется равенство:
   а) А(ВС) = (АВ)С; б) АВ = В А- в) (А + В)С = АС + ВС?
12. Что такое единичная матрица? Является ли единичной матрица:
   а) (} Q; б) 0 J); в) Q ;)?
13. Дайте определение обратной матрицы.



   Примеры решения задач


   1. Даны матрицы А =


О’

° 2\ д_ (0 1 з) И В ~ (з

1
1

   Найти: а) А + В; б) 2В; в) Вт; г) АВТ; д) ВТА.

△ а) По определению суммы матриц


      А ₊ В-( 1 + 0 0 + 1 2 —1\_/1
       ⁺    ^-2 + 3 1 + 1 3 + 2 J ~ 1

О’

1
2

   б) По определению произведения матрицы на число

2В=(²-° 2-¹
²¹³ Д-З 2-1

2-(-1)\ _ /0 2
 2-2          2



   в) По определению транспонированной матрицы



                  вт



0

3



   г) По определению произведения матриц



АВТ =


3



/ 1-0 + 0-1 + 2-(-1)
\ (—2) • 0 + 1 • 1 + 3 • (—1)

1-3 + 0-1 + 2-2 (-2)-3 + 1-1 + 3-2



0


—2
—2

§1. Матрицы

9

   д) Аналогично пункту г) находим



            Эи; I Э ж



   2. Дана система т линейных уравнений с п неизвестными


' ацХ1 + а₁₂х₂ +... + а₁пхп = Ь₁у а₂₁Х! + а₂₂х₂ + ... + а₂пхп = Ь₂,


                ■. dmlXl + Пп,₂Х₂ + ... +О>тп$п —


   Здесь:
   dij, bi (i = l,...,m; j = l,...,n) — известные числа;
   Xi (i = 1, ...,n) — неизвестные.
   Записать эту систему в матричном виде.
△ Введем гп х n-матрицу А с элементами йу и столбцы В с элементами          и X с элементами xi,...,xₙ. Тогда данную систему
можно записать в виде АХ = В. ▲


   3.  Доказать равенство (АВ)Т = ВТАТ.

△ Пусть А = (aij)ₘₓₙ, В = (bij)ₙXk. Согласно определению произведения матриц элементы су матрицы С = АВ вычисляются по фор
муле

п

Cij — 5 ' ар bi i=i

m; j = 1,

n.

(2)

i = 1

Элементы матриц Ат, Вт, Ст и D = ВтАт обозначим соответственно через йу, Ьу, Су и dy. Тогда в соответствии с равенством (1) имеем


йу = й;₍. Ьу = bji, cjj = Cji,


(3)

а элементы dy матрицы D = ВТАТ вычисляются по формуле

п

d

а ~ 52 i=i

Ь¹ а¹ °Иа1р

i = 1,

fe; j =

Отсюда, учитывая равенства (3) и (2), получаем


п

п

   dij = 52 biiaH = 52 ailblⁱ ⁼ СА ⁼ cAr 'l ⁼ -¹’ 1=1                    1=1


к', j =

Таким образом, элементы матриц D и Ст соответственно равны, поэтому Ст = D, т. е. (АВ)Т = ВТАТ, что и требовалось доказать. ▲

Гл. I. Матрицы и определители

4. Для матрицы А =

1\ - «
$ I наити обратную.



А Положим




у с a J

По определению обратной матрицы А гА = Е, т. е.


Р bWi 1\_/1 (Л у с dj \2 3 J ~ \0 1J

Перемножая матрицы в левой части равенства и приравнивая элементы полученной матрицы соответствующим элементам матрицы в правой части равенства, приходим к системе уравнений


         а + 26=1, а + 36 = 0, c + 2d = 0, c + 3d=l, откуда находим а = 3, 6 = —1, с = —2, d = 1. Итак, матрица

    -⁴⁻‘ = (-2 I)

удовлетворяет условию А⁻¹ А = Е.
   Нетрудно проверить, что равенство .1.1 = Е также выполняется.
Таким образом, найденная матрица А⁻¹ обратная по отношению к матрице А. к



   Задачи и упражнения для самостоятельной работы

G э

1. Даны матрицы А =

(⁰
и В = I 1/2

т)

   Найдите: а) 3.1 — 2/.?: б) А — 4В; в) числа х и у такие, что все элементы матрицы хА + у В равны нулю.

2. Докажите свойства 1°-5° линейных операций над матрицами.



1
3

3. Даны матрицы А =

    -2\   „_(0    2 4\
    о; и В “ (j -1 о)'

   Найдите: а) АТ; б) 2АТ + Вт; в) 3.1⁷ — 2ВТ.
4.  Докажите справедливость равенств:
   а) (хА)т = хАт (х — число); б) (А + В)т = Ат + Вт;
   в) (+т)т = А.