Прикладная эконометрика, 2009, №1 (13)


ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

V1(13) 2009

БАНКИ

Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей...............3

ИНВЕСТИЦИИ

Е. А. Тесля, Н. П. Алексеева, П. В. Грачева
Исследование влияния эндогенных характеристик российских топливно-энергетических и металлургических компаний на совокупность параметров их международного финансирования...........................................................37

МАКРОЭКОНОМИКА

А. Г. Багдоев, С. В. Варданян, Д. Р. Карапетян, Г. А. Мартиросян
Аналитические и численные исследования динамических процессов в экономике методами волновой динамики........................................................50
Л. Е. Варшавский
Моделирование динамики цены на нефть при разных режимах развития рынка нефти.70

ИНФЛЯЦИЯ

Л. Н. Слуцкин
Статистический анализ инфляционных процессов в промышленных секторах американской экономики, 1959-1996 гг.............89

КОНСУЛЬТАЦИИ

Деан Фантаццини Управление кредитным риском (продолжение)...............................105


CONTENTS................................................................140

ABSTRACTS...............................................................141

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ.....................................................142


1

ф Читайте в номере

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№1(13) 2009                                                                                          ----
    В 2006 году журнал «Прикладная эконометрика» включен в список периодических изданий ВАК, рекомендованных для публикации результатов диссертационных исследований.

    Главный редактор

Айвазян Сергей Артемьевич — д-р физ.-мат. наук, профессор, заслуженный деятель науки России, зам. директора Центрального экономико-математического института РАН (ЦЭМИ РАН), зав. кафедрой эконометрики Московской финансово-промышленной академии (МФПА).

    Заместитель главного редактора

Слуцкин Лев Наумович — Ph. D. по математике, научный сотрудник Института экономики РАН (ИЗ РАН).

    Ответственный секретарь

Славова Виктория Валерьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент МГУ.

    Члены редколлегии

Бродский Б. Е. — д-р физ.-мат. наук, зав. Ситуационным центром ЦЗМИ РАН, профессор Государственного университета — Высшая школа экономики (ГУ ВШЭ).
Денисова И. А. — Ph. D. по экономике, ведущий экономист Центра экономических и финансовых исследований и разработок (ЦЭФИР), научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Елисеева И. И. — чл.-корр. РАН, зав. кафедрой статистики и эконометрики Санкт-Петербургского университета экономики и финансов.
Ершов Э. Б. — канд. экон. наук, ординарный профессор ГУ ВШЭ.
Иванова C. C. — канд. экон. наук, главный специалиступравления исследований и бизнес-аналитики банка «Русский Стандарт».
Канторович Г. Г. — проректор ГУ ВШЭ, профессор, зав. кафедрой математической экономики и эконометрики ГУ ВШЭ.
Карлеваро Фабрицио (Швейцария)—доктор наук, ординарный профессор кафедры эконометрики Женевскогоуниверситета.
Макаров В. Л. — академик РАН, директор ЦЭМИ РАН, президент Российской экономической школы.
Максимов А. Г. — канд. физ.-мат. наук, первый заместитель директора Нижегородского филиала ГУ ВШЭ.
Мхитарян В. С. — д-р экон. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной статистики МФПА, зав. кафедрой статистических методов ГУ ВШЭ.
Рубин Ю. Б. — д-р экон. наук, профессор, ректор МФПА.
Рудзкис Римантас (Литва) — доктор наук, зав. отделом Института математики и информатики Литвы, профессор Каунасского университета.
Суслов В. И. — чл.-корр. РАН, д-р экон. наук, профессор, зам. директора Института экономики и организации промышленного производства СО РАН.
Харин Ю. С. (Республика Беларусь) — чл.-корр. Национальной академии наук Беларуси, д-р физ.-мат. наук, профессор Белорусского государственного университета, зав. кафедрой математического моделирования и анализа данных БГУ

2

Редакционная коллегия Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

№1(13)2009



Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова

        Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей¹

        В работе проводится анализ оценки основных характеристик рыночного риска (при разных сроках заимствования), осуществляемой с помощью многомерных копу-ла-моделей распределения соответствующих доходностей и с помощью традиционных методов моделирования, пренебрегающих асимметричностью этого распределения и «тяжестью» его хвостов. Одновременно демонстрируются возможности пакета R в практической реализации копула-моделирования.
        В ходе копула-моделирования совместного распределения доходностей, отвечающих разным срокам заимствования, выявлено, что совместное движение процентных ставок носит асимметричный характер (ставки более склонны к одновременному росту, нежели к одновременному снижению). Показано, что использование копула-моделирования позволяет снизить завышенную традиционную оценку количества «пробоев» границы потерь процентного риска на 7-13% (величина коррекции зависит от заданного «уровня доверия»).



1. Введение. Цель исследования

Кризис «плохих» долгов, первоначально проявившийся в США, а затем распространившийся на экономики всего мира, поставил под угрозу достаточность капитала большинства коммерческих банков. Многочисленные списания невозвращенных ссуд фиксировались как убытки текущего периода и снижали величину капитала кредитных организаций. Именно для поддержания достаточного размера капитала правительства и центральные банки США, Евросоюза, России пошли на такую меру, как предоставление субординированных кредитов, которые законодательство разрешает учитывать в объеме собственных средств банка².
   Целью данного исследования является разработка оптимальной модели оценки процентного риска, позволяющей прогнозировать изменение величины капитала банка (его ожидаемой приведенной стоимости).
   Статья построена следующим образом. В разделе 2 описываются подходы к измерению процентного риска с акцентом на подходы к прогнозированию кривой доходности, изменение которой является источником процентного риска. Раздел 3 посвящен описанию методологии исследования. В разделе 4 описаны данные, на основе которых проводится эконометрическое моделирование. В разделе 5 приведены его результаты. Итоговые выводы даны в разделе 6.


   ¹     Авторы выражают огромную благодарность С. А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного исследования.
   ²     См. п. 3.5.2 Положения ЦБ РФ № 215-П и п. 49(XII) в [BCBS (2006)] (последний источник отражает рекомендации известного соглашения по регулированию достаточности капитала кредитных организаций «Базель II»).



3

ф Банки

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей

№1(13) 2009                                                                   —

2. Подходы к измерению процентного риска

   Процентный риск является видом рыночного риска и определяется как ожидаемые потери от изменения процентных ставок вследствие наличия разрывов (гэпов) между активами и пассивами банка. Данный риск, как и прочие виды банковских рисков, несет в себе источник прибыли. Иначе при отсутствии разрывов (т. е. в случае полностью сбалансированной срочной структуры баланса банка) банк получал бы небольшую маржу между активными и пассивными операциями, которой не хватало бы даже для покрытия операционных расходов.
   В целях управления процентным риском рассматривают два вида разрывов активов-пассивов: ликвидности и переоценки. Первый позволяет оценить процентный риск, относящийся к чистым активам банка, второй — к процентным доходам. Также разрывы разделяют по характеру срока активов и пассивов на контрактный (срок закреплен в договоре) и поведенческий, или ожидаемый контрактный (когда определяется вероятная срочность актива или обязательства).
   На текущий момент существуют два основных подхода к измерению процентного риска в соответствии с международным соглашением по оценке достаточности капитала «Базель II»: стандартизованный и продвинутый (или «подход внутрибанковских моделей»). Отметим, что законодательные документы³ требуют измерения процентного риска лишь по торговому портфелю ценных бумаг с фиксированной доходностью (облигаций), тогда как изменение процентных ставок влияет на приведенную стоимость всех активов и пассивов. Поэтому данное исследование концентрируется на анализе разрыва всех активов и пассивов, а не отдельно взятого торгового портфеля.

2.1. Стандартизованный подход
   Самым простым из применяемых банками подходом для измерения процентного риска является стандартизованный. Он предполагает разнесение активов и пассивов (как упоминалось выше, для торгового портфеля это означает выделение длинных и коротких позиций в ценных бумагах) либо по контрактным срокам, либо по дюрации. Дюрация отражает чувствительность изменения цены облигации к изменению процентной ставки, т.е. верно в непрерывном времени

д P



D =

д r

или в дискретном

D = 
Д P

Д г'

где D — дюрация;
   P — цена облигации;
   r — общая процентная ставка в экономике.

    ³ При этом если Банк России требует расчета рыночного (и соответственно процентного) риска, только если «суммарная величина текущих (справедливых) стоимостей финансовых инструментов равна или превышает 5% величины балансовых активов кредитной организации» [Положение № 313-П, п. 1.3.1], то Федеральная резервная система (ФРС) США обязывает рассчитывать рыночный риск, когда его величина (в целях документа равная сумме всех торговых активов и пассивов) превышает 10% совокупных активов или 1 млрд долл. [USGAO (1998), р. 121].

4

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


    №1(13)2009


   Несмотря на то что дюрация есть мера эластичности цены облигации по ставке, ее часто используют как меру срочности ценной бумаги.
   Экзогенно каждому временному интервалу в зависимости от уровня купона по облигации приписывается коэффициент риска, который отражает потери вследствие ожидаемых колебаний процентных ставок соответствующего срока.
   Как видно из приводимой ниже табл. 1 «Базель II» [см. BCBS (2006), п. 718 (iv)], коэффициент риска возрастает с ростом срочности актива, что является следствием следующей функциональной связи, заложенной в определении дюрации как меры срочности ценной бумаги:

Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова

Д P = - D -Д r.

(1)

   Соответственно чем выше срочность актива (пассива), тем к большему изменению его стоимости приведет одно и тоже изменение процентной ставки.


Таблица 1

Коэффициенты риска в зависимости от срока до погашения

 Купон 3% и выше   Купон менее 3%      Коэффициент риска, %    Предполагаемое   
                                                            изменение доходности
 1 месяц и менее   1 месяц и менее             0,00                 1,00        
От 1 до 3 месяцев  От 1 до 3 месяцев           0,20                 1,00        
От 3 до 6 месяцев  От 3 до 6 месяцев           0,40                 1,00        
От 6 до 12 месяцев От 6 до 12 месяцев          0,70                 1,00        
  От 1 до 2 лет     От 1 до 1,9 года           1,25                 0,90        
  От 2 до 3 лет    От 1,9 до 2,8 года          1,75                 0,80        
  От 3 до 4 лет    От 2,8 до 3,6 года          2,25                 0,75        
  От 4 до 5 лет    От 3,6 до 4,3 года          2,75                 0,75        
  От 5 до 7 лет    От 4,3 до 5,7 года          3,25                 0,70        
От 7 до 10 лет     От 5,7 до 7,3 года          3,75                 0,65        
  От 10 до15 лет   От 7,3 до 9,3 года          4,50                 0,60        
 От 15 до 20 лет   От 9,3 до 10,6 года         5,25                 0,60        
Свыше 20 лет       От 10,6 до 12 лет           6,00                 0,60        
                     От 12 до 20 лет           8,00                 0,60        
                      Свыше 20 лет            12,50                 0,60        

   Положение ЦБ РФ № 313-П вводит аналогичные соглашению «Базель II» жесткие коэффициенты риска для расчета процентного риска, как в случае «купон 3% и выше» из табл. 1. Тем не менее при таком подходе сохраняется проблема, что будет не учитываться характер со
ф Банки

5

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей

№1(13) 2009                                                                  —

вместного изменения факторов риска (в данном случае процентных ставок) как для разных сроков, так и для разных стран.

2.2. Внутрибанковские модели
   Для построения более гибкой системы управления рисками и ухода от описанных выше проблем — при наличии разрешения надзорного органа страны — «Базель II» разрешает кредитным организациям использовать внутренние модели.
   Как отмечено в работе [Prefontaine, Desrochers (2006)], основной внутрибанковской моделью измерения процентного риска является граница потерь ожидаемой стоимости капитала (Expected Value of Equity-at-Risk— EVEaR)⁴ на заданном временном горизонте при принятом уровне вероятности. Принцип ее расчета состоит в оценке приведенной стоимости чистых активов при текущих и ожидаемых процентных ставках. Соответственно граница потерь определяется как квантиль заданного уровня а распределения разницы данных приведенных стоимостей.
   Таким образом, подчеркнем, что управление процентным риском основано на получении прогнозов кривой доходности. Поэтому подробнее остановимся на подходах к ее прогнозированию.
   Важным этапом в прогнозировании кривой доходности стала работа Нельсона—Сигеля [Nelson, Siegel (1987)], в которой предлагается параметризация кривой доходности в форме выделения трех компонент (кратко-, средне- и долгосрочной) при ее прогнозировании.
   На российских данныхтакой подход с применением фильтрации по Калману был реализован коллективом авторов под руководством Г. Гамбарова для получения кривой доходности ОФЗ [Гамбаров и др. (2004)], [Гамбаров и др. (2006)].
   Отметим также статью [Чеготов, Лобанов (2006)], в которой предложен интересный подход к прогнозированию кривой доходности, когда данные о котировках купонных ОФЗ используются воднофакторной модели Нельсона—Сигеля (В₂ = 0), предполагающей в качестве входных данных котировки бескупонных облигаций. Для анализа взяты котировки шести выпусков ОФЗ с 3 декабря 2003 г. по 31 августа 2006 г. и ставки MIACR на 1 день.
   Полученная кривая доходности в среднем соответствует наблюдавшимся значениям, хотя авторами отмечена проблема выбросов вследствие пиковых значений ставок MIACR, которые на самом деле включают надбавку за корпоративный риск в дополнение к суверенному уровню (см. табл. 7). Применяется также фильтрация по Калману, позволяющая разрешить данную проблему.
   Несмотря на прозрачность и простоту подхода параметрических моделей, в настоящее время наиболее активно используемыми моделями прогнозирования кривой доходности являются аффинные модели с вложенным в них фильтром Калмана.
   Развитие первой группы моделей началось в 1977 г. с работы Васичека [Vasicek (1977)]. Позднее она была подробнее описана Даффи и Каном [Duffie, Kan (1996)], а также Даем и Синглетоном [Dai, Singleton (1998)].

   ⁴ Необходимо отметить, что EVEaR есть именно мера границы потерь заданного уровня а, а не средние ожидаемые потери уровня а согласно терминологии, предложенной в статье [Фантаццини (2008)]. В данном случае понятие ожидаемой стоимости эквивалентно понятию приведенной, или дисконтированной, поскольку при расчете будет определяться стоимость будущих денежных потоков по состоянию на текущий момент с учетом дис-конт-факторов (ими будут выступать процентные ставки на соответствующие сроки).

      6           >

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


    №1(13)2009


   Так, в работе [Duffie, Kan (1996)] вводится форма аффинной модели, в которой доходность Yᵢₜ в момент t на срок т i определяется значением вектора факторов Xₜ последующей формуле:

^(Ti)+ B (ъ) Xt
Y it —---------------

(2)

Т

где А(тi), B(тi) — коэффициенты, зависящие от срока тi и удовлетворяющие граничным условиям А(0) — 0 и B(0) — 0. Данное условие выводится из факта, что если аффинная зависимость вида а + р-x — 0 имеет место для всех x в некотором непустом открытом евклидовом пространстве, то из этого следует, что а — 0 и р — 0 [см. Duffie, Kan (1996), с. 383].


Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова

   При этом вводится условие отсутствия арбитража, когда
А(т,ф — Bj(Ti'), Vi^ j.
   Авторы отмечают, что, существует два подхода к выбору факторов X: непосредственное взятие значений из кривой доходности или их получение путем косвенных преобразований. Учитывая сложность калибровки ковариационной матрицы по отношению к эмпирическим наблюдениям в последнем случае, авторы отдают предпочтение первому подходу.
   В работе также указано, что, несмотря на традиционность выбора краткосрочной ставки («овернайт») как фактора, это не является обязательным условием, так как настоящую мгновенную ставку наблюдать невозможно.
   Для всех перечисленных работ характерно предположение о симметричном характере движения процентных ставок, т. е. принимается гипотеза о наличии многомерного нормального совместного распределения для приростов процентных ставок. Тем не менее другие авторы [Junker, Szimayer, Wagner (2003)] отказались отданной предпосылки и постарались спрогнозировать кривую доходности через применение копулы к моделированию инноваций, т.е. компоненты шума в модели временного ряда.
   В основе их исследования лежат ежемесячные котировки доходностей американских казначейских облигаций с 1982 по 2001 г.
   Авторы анализируют аффинную модель срочной структуры процентных ставок, в которой рассматриваются два фактора — доходности для облигаций на срок 1 и 2 года. Копула используется для генерирования соответствующих остатков модели при помощи метода Монте-Карло. Для построения кривой доходности в рамках аффинной модели также применяется фильтр Калмана, хотя одновременно комментируются его недостатки, поскольку нарушается его базовая предпосылка о нормальном характере распределения исходных инноваций.
   Для проверки годности полученных моделей используются 7 индикаторов: тесты Андерсона—Дарлинга, Колмогорова—Смирнова, AIC, BIC, относительное отклонение плотности вероятности нижнего и верхнего хвостов распределений и общий критерий согласия у².
   В итоге исследования авторы делают вывод: обратная копула Франка дает лучшую подгонку модели к эмпирическим данным. Авторы подчеркивают, что полученные результаты возможно использовать для оценки VaR как квантиля распределения доходностей портфеля облигаций.
   Отметим, что копулы начали активно применяться на Западе для управления рисками, поскольку позволяют не только определять совместное распределение с помощью частных

ф Банки

7

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА

Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей

№1(13) 2009                                                                 —

(маргинальных) и вида взаимосвязи при оценке (подробнее см. раздел «Понятие, свойства и виды копул»), но и моделировать неэллипсообразные многомерные распределения. Ниже кратко опишем преимущества копул и одновременно недостатки традиционных подходов (например, показателя линейной корреляции как меры зависимости). Далее обобщим исследования, в которых применялись копулы, и сделаем выводы о предпочтении одних или других в зависимости от целей работы и использованных данных.
   Авторы Анэ и Каруби [Ane, Kharoubi (2003)] указывают на недостатки предположения о нормальности совместного распределения доходностей финансовых временных рядов и линейной корреляции как меры взаимосвязи случайных величин.
   Вначале рассматриваются 4 семейства копул: гауссовская, Франка, Гумбеля, Кука— Джонстона. На эмпирических данных эти копулы оцениваются методом максимального правдоподобия с использованием ядерной оценки Силвермана для частных распределений. Результат оценки сравнивается с эмпирической копулой Дехивела. Наилучшая отбирается по трем критериям: простой и интегральный тесты Андерсона—Дарлинга и мера энтропии.
   Показано, что копула Кука—Джонстона лучше приближает реальные данные, так как улавливает ненулевую зависимость отрицательных значений ([Longin, Solnik (1998)] показали, что корреляция между доходностями сильнее на «медвежьем» (падающем), нежели на «бычьем» (растущем) рынке).
   Авторы проводят исследования на ежедневных котировках 6 индексов (FTSE100, DAX30, Nikkey 225, Hang Seng, S&P500 и NASDAQ) за период со 2 января 1987 г. по 31 декабря 2000 г.
   Оценка копул применяется авторами для расчета рыночного риска через величину границы потерь уровня а — ГП(а). В работе показано, что предположение о гауссовском характере совместного распределения доходности дает оптимистичную оценку риска, недооценивая его.Также приводятся расчеты функции потерь, которые иллюстрируют, что выбор вида предельного распределения определяет точность расчета на 80%, а выбор структуры зависимости (копулы) — на 20%.
   В работе [Clemen, Reilly (1999)] особое внимание уделяется роли корреляции в построении совместного распределения. Если в первой части анализируются подходы к оценке зависимости случайных величин, то во второй — проводится калибровка полученных оценок в зависимости от разных значений исходной корреляционной матрицы.
   В первой части работы авторы рассматривают случайные величины X и Y, частные функции распределений которых — соответственно FX(x) и Gy(у). Анализируется согласованность мнений экспертов в выдаче оценок о трех видах зависимости:

   1) линейная корреляция;
   2) вероятность согласованности P(X > x•; Y > у 1 );
   3) оценка условных фрактилей:
E ( Fx | у) = r (X, Y )• ( Gy (У)-0,5) + 0,5,      (3)
где r(X, Y) — коэффициент корреляции двух случайных величин.

   Респондентам предлагались три пары биржевых индексов из американской базы Compustat по сравнению с их расчетными значениями. Респондентам были представлены


8

Банки Ф

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


    -         V1(13) 2009

гистограммы и иные описательные статистики маргинальных, но не совместных распределений. Несмотря на то что опрошенные были склонны занижать оценки первых двух видов зависимостей, авторы не отдают явного предпочтения какой-либо из трех для ее использования в качестве параметра копулы.
   Во второй части работы была рассмотрена гипотетическая четырехфакторная модель стоимости актива, которую смоделировали, опираясь на многомерную нормальную копулу. Первым способом калибровки было изменение всей корреляционной матрицы от случая полной независимости (нулевые значения коэффициентов корреляции) до случая полной положительной зависимости (единичные коэффициенты). Вторым — изменение лишь ненулевых значений корреляции на ±0,25% (величина, равная среднему отклонению корреляции от расчетного значения по ответам респондентов). Существенной разницы в результатах калибровки выявлено не было. Общая же чувствительность варьировала от -50% до +100% стоимости, т. е. при калибровке были получены минимальное и максимальное значения, равные 6552 и 22 049долл. при средней расчетной величине 12417 долл. (до калибровки).
   В статье [Embrechts, McNeil, Straumann (1999)] описаны проблемы, возникающие при использовании величины линейной корреляции как единственной меры зависимости случайных величин в условиях неэллипсообразных распределений.
   Для улавливания взаимосвязей, соответствующих реально наблюдаемым исходам, в дополнение к корреляции требуется моделирование структуры зависимости, чему успешно отвечают копулы. В частности, авторы приводят пример генерации двух совместных распределений с пределами в форме гамма (3,1) и с одинаковой линейной корреляцией (0,7), но с разными формами взаимосвязи: гауссовской (слева) и Гумбеля (справа) (рис. 1).

Г. И. Пеникас, В. Б. Симакова

Рис. 1. Генерация совместных распределений

   По осям абсцисс отложены значения X1 и X2, а по осям ординат — значения Y1 и Y2.
   Следует обратить внимание на то, что при копуле Гумбеля распределение характеризуется большими экстремумами, чем при гауссовской.
   В работе подробно обсуждаются виды корреляций (линейная, ранговая, зависимость хвостов) в статическом мире, т. е. не рассматривается серийная корреляция временных рядов. Предпочтение должно отдаваться ранговой корреляции, которая связывает квантили распределения случайных величин, а не их исходы. В статье обобщены требования к мерам зави


ф Банки

9

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА


    №1(13)2009


симости (ранговая корреляция, линейная корреляция и т.д.). Обсуждаются проблемы моделирования и имитирования распределений в предположении разных копул.
   Ниже систематизирован обзор основных прикладных исследований, в которых показано, что (1) применение копул позволяет лучше уловить характер многомерного распределения, когда маргинальные распределения не гауссовские; (2) в преобладающем большинстве работ выявлен асимметричный (неэллипсообразный) характер совместного многомерного распределения.

Обзор литературы по использованию копул при моделировании совместных распределений

Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей

Таблица 2

                                          Период       Рассмотренные                     
      Работа        Тип данных          наблюдений        копулы       Лучшая копула     
                                         (частота)                                       
Ane, Kharoubi, 2003 Индексы акций      1987-2000 гг. Гауссовская,      Клэйтона          
                                         (дневные)   Франка,                             
                                                     Гумбеля,                            
                                                     Клэйтона                            
Chollete, Heinen,   Индексы акций      1990-2002 гг. Гауссовская       Смесь гауссовских 
2006                                    (недельные)                                      
Junker, Szimayer,   Котировки КО5      1982-2001 гг. Гауссовская,      Франка (обратная) 
Wagner, 2003        США                (ежемесячные) Стьюдента,                          
                                                     Гумбеля,                            
                                                     Франка (обратная)                   
Fantazzini, 2009    Индексы акций      1994-2000 гг. Нормальная,       Нормальная        
                                         (дневные)   Стьюдента                           
Hsu,Tseng, Wang,    Индексы акций      1995-2005 гг. Гауссовская,      Гумбеля (для пере2007                                                 Клэйтона,         крестного хеджа)6,
                                                     Гумбеля           нормальная (для   
                                                                       прямого хеджа)    
Kole, Koedijk,      Индексы акций, об- 1999-2004 гг. Гауссовская,      Стьюдента         
Verbeek, 2006       лигаций, недвижи-    (дневные)   Стьюдента,                          
                    мости                            Гумбеля                             

   ⁵ КО — казначейские векселя (US Treasury bills).
   ⁶    Перекрестный хедж — открытие встречной позиции в таком активе, цена которого движется сонаправленно цене хеджируемого актива. В прямом хедже оба актива (хеджирующий и хеджируемый) совпадают. Например, для прямого хеджирования срочной сделки на поставку нефти используется обратный контракт (как правило, беспо-ставочный) на нефть, тогда как при перекрестном хедже данная поставка покрывается сделкой на газ, динамика цены которого сильно связана с ценой нефти.

10

Банки Ф