Прикладная эконометрика, 2007, №4 (8)

ÐÛÍÊÈ ÖÅÍÍÛÕ ÁÓÌÀÃ

Î.Ë. Êðèöêèé, Ì.Ê. Óëüÿíîâà

Îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîãî ôèíàíñîâîãî ðèñêà ïîðòôåëÿ àêöèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Î.Â. Ñòèõîâà

Âû÷èñëåíèå õàðàêòåðèñòèê ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

ÌÈÊÐÎÝÊÎÍÎÌÈÊÀ

Ñ.À. Àéâàçÿí, Ì.Þ. Àôàíàñüåâ

Îöåíêà ìåðîïðèÿòèé, íàïðàâëåííûõ íà óïðàâëåíèå ôàêòîðàìè íåýôôåêòèâíîñòè ïðîèçâîäñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ÐÎÑÑÈÉÑÊÎ-ØÂÅÉÖÀÐÑÊÈÉ ÑÅÌÈÍÀÐ ÏÎ ÝÊÎÍÎÌÅÒÐÈÊÅ È ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÅ

Âñòóïèòåëüíîå ñëîâî ãëàâíîãî ðåäàêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ïðîãðàììà ñåìèíàðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Gerard Antille

Descriptive Analysis of Matrix-Valued Time-Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Gerard Antille, Anna Weinberg Allen

D-optimal Design for Polynomial Regression: Choice of Degree and Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Gabrielle Antille Gaillard

Equity and Health. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Fabrizio Carlevaro, C. Schlesser, M. E. Binet, S. Durand, M. Paul

Econometric Modeling and Analysis of Residential Water Demand Based on Unbalanced Panel Data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Cristian Gonzalez

Alternative Methodologies for Social Assessment of Environmental Projects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

ÊÎÍÑÓËÜÒÀÖÈÈ

Ì. Âåðáèê

Àâòîðåãðåññèîííàÿ óñëîâíàÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñòü (ÀÐÓÃ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CONTENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

ABSTRACTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

ÑÂÅÄÅÍÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÆÓÐÍÀËÀ ÇÀ 2007 ÃÎÄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

CONTENT OF 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Читайте в номере
1

 2006 ãîäó æóðíàë Ïðèêëàäíàÿ ýêîíîìåòðèêà âêëþ÷åí â ñïèñîê ïåðèîäè÷åñêèõ èçäàíèé
ÂÀÊ, ðåêîìåíäîâàííûõ äëÿ ïóáëèêàöèè ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèîííûõ èññëåäîâàíèé.

Ãëàâíûéðåäàêòîð

ÀéâàçÿíÑåðãåéÀðòåìüåâè÷—ä.ôèç.-ìàò.í.,ïðîôåññîð,çàñëóæåííûéäåÿòåëüíàóêèÐîññèè,çàì.äèðåêòîðàÖåíòðàëüíîãî
ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÐÀÍ (ÖÝÌÈ ÐÀÍ), çàâ. êàôåäðîé ýêîíîìåòðèêè Ìîñêîâñêîé ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííîé
àêàäåìèè (ÌÔÏÀ).

Çàìåñòèòåëüãëàâíîãîðåäàêòîðà

Ñëóöêèí Ëåâ Íàóìîâè÷ — Ph.D ïî ìàòåìàòèêå, äîöåíò ÌÔÏÀ.

×ëåíûðåäêîëëåãèè

Áðîäñêèé Á.Å. — ä. ôèç.-ìàò. í., çàâ. Ñèòóàöèîííûì öåíòðîì ÖÝÌÈ ÐÀÍ, ïðîôåññîð Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà — Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè (ÃÓ-ÂØÝ).

Äåíèñîâà È.À. — Ph. D ïî ýêîíîìèêå, âåäóùèé ýêîíîìèñò Öåíòðà ýêîíîìè÷åñêèõ è ôèíàíñîâûõ èññëåäîâàíèé è ðàçðàáîòîê
(ÖÝÔÈÐ), íàó÷íûé ñîòðóäíèê ÖÝÌÈ ÐÀÍ.

Åëèñååâà È.È. — ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ, çàâ. êàôåäðîé ñòàòèñòèêè è ýêîíîìåòðèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà ýêîíîìèêè
è ôèíàíñîâ.

Åðøîâ Ý.Á. — ê. ý. í., îðäèíàðíûé ïðîôåññîð ÃÓ-ÂØÝ.

Èâàíîâà C. C. — ê. ý. í., ãëàâíûé ñïåöèàëèñò óïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé è áèçíåñ-àíàëèòèêè áàíêà «Ðóññêèé Ñòàíäàðò».

Êàíòîðîâè÷ Ã.Ã. — ïðîðåêòîð ÃÓ-ÂØÝ, ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè è ýêîíîìåòðèêè ÃÓ-ÂØÝ.

ÊàðëåâàðîÔàáðèöèî(Øâåéöàðèÿ)—äîêòîðíàóê,îðäèíàðíûéïðîôåññîðêàôåäðûýêîíîìåòðèêèÆåíåâñêîãîóíèâåðñèòåòà.

Ìàêàðîâ Â.Ë. — àêàäåìèê ÐÀÍ, äèðåêòîð ÖÝÌÈ ÐÀÍ, ïðåçèäåíò Ðîññèéñêîé ýêîíîìè÷åñêîé øêîëû.

Ìàêñèìîâ À.Ã. — ê. ôèç.-ìàò. í., ïåðâûé çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà Íèæåãîðîäñêîãî ôèëèàëà ÃÓ-ÂØÝ.

Ìõèòàðÿí Â.Ñ. — ä. ý. í., ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè ÌÔÏÀ, çàâ. êàôåäðîé ñòàòèñòèêè è ýêîíîìåòðèêè
Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ýêîíîìèêè, ñòàòèñòèêè è èíôîðìàòèêè.

Ðóáèí Þ.Á. — ä. ý. í., ïðîôåññîð, ðåêòîð ÌÔÏÀ.

Ðóäçêèñ Ðèìàíòàñ (Ëèòâà) — äîêòîð íàóê, çàâ. îòäåëîì Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè Ëèòâû, ïðîôåññîð Êàóíàññêîãî
óíèâåðñèòåòà.

Ñóñëîâ Â.È. — ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ, ä. ý. í., ïðîôåññîð, çàì. äèðåêòîðà Èíñòèòóòà ýêîíîìèêè è îðãàíèçàöèè ïðîìûøëåííîãî ïðîèçâîäñòâà ÑÎ ÐÀÍ.

ÕàðèíÞ.Ñ.(ÐåñïóáëèêàÁåëàðóñü)—÷ë.-êîðð.ÍàöèîíàëüíîéàêàäåìèèíàóêÁåëàðóñè,ä.ôèç.-ìàò.í.,ïðîôåññîðÁåëîðóññêîãî
ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è àíàëèçà äàííûõ ÁÃÓ.

2
Редакционная коллегия Î.Ë. Êðèöêèé, Ì.Ê. Óëüÿíîâà

Îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîãî ôèíàíñîâîãî ðèñêà
ïîðòôåëÿ àêöèé

Ìåòîäîì ãëàâíûõ êîìïîíåíò è àëãîðèòìîì STS-GARCH(1,1) íàéäåíû îöåíêè ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ ðàâíîâåñíîãî ïîðòôåëÿ àêöèé. Äîêàçàíà òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîñòè
ïîíÿòèé íåêîððåëèðîâàííîñòè è íåçàâèñèìîñòè äëÿ ñëó÷àÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà îñíîâå èíôîðìàöèîííîé ìàòðèöû Ôèøåðà ïîñòðîåíû äîâåðèòåëüíûå îáëàñòè, ñîäåðæàùèå òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ ðèñêîâ. Ðàçðàáîòàííûé ìåòîä
ïðèìåíåí äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðèñêîâ ïîðòôåëÿ àêöèé ïðåäïðèÿòèé îòðàñëè «Ñâÿçü». Ïîêàçàíàíåäîïóñòèìîñòüçàìåíûìíîãîìåðíûõïðåäåëüíûõâåëè÷èíðèñêîâ ñîâîêóïíîñòüþ
îäíîìåðíûõ.

1. Введение
Ç

àäà÷à îïðåäåëåíèÿ ôèíàíñîâîãî ðèñêà íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòè àêòèâîâ è âû÷èñëåíèå
åãî ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè
óïðàâëåíèè êàïèòàëîì âî âñåõ ñåêòîðàõ ýêîíîìèêè. Øèðîêîìó ïðèìåíåíèþ îöåíîê
ðàçëè÷íûõ âèäîâ ðèñêîâ ñïîñîáñòâîâàëî ñîçäàíèå â 1975 ãîäó Áàçåëüñêîãî êîìèòåòà ïî áàíêîâñêîìó íàäçîðó è ââåäåíèå â 1992 ãîäó ïåðâûõ çàêîíîäàòåëüíûõ ðåãóëèðóþùèõ ñîãëàøåíèé ìåæäó öåíòðàëüíûìè áàíêàìè äåñÿòè âåäóùèõ ñòðàí ìèðà (G – 10), íûíå èçâåñòíûõ êàê
Basel I è Basel II (Basel II, 2005). Âìåñòå ñ òåì, ðèñê ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòûì ýêîíîìè÷åñêèì èíñòðóìåíòîì, êîòîðûì áåç îãðàíè÷åíèé ìîãóò ïîëüçîâàòüñÿ êàê ïðîôåññèîíàëüíûå
èññëåäîâàòåëè, òàê è íåñïåöèàëèñòû.
Îöåíèâàíèå ðèñêîâ íåêîòîðîãî ïîðòôåëÿ ñîâîêóïíîé ñëó÷àéíîé ñòîèìîñòüþ St, ãäå âðåìÿ t 0, ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà ïðåäåëüíîé âåëè÷èíû ðèñêà
VAR [Hull (2003)], [Benth (2002)] ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 1:

VAR
S
x
P S
x
t
t
(
)
inf
, (
)
{
}
è óñëîâíîé ìåðû ðèñêà CVAR:

CVAR
S
E S S
VAR
S
t
t
t
t
(
)
,
(
)
{
}
.

 íàñòîÿùåå âðåìÿ èìååòñÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìåòîäèê îöåíèâàíèÿ è âû÷èñëåíèÿ îäíîìåðíûõ õàðàêòåðèñòèê VAR è CVAR [Artzner et al. (1998)], [Manganelli, Engle (1999)]). Óñëîâíî
èõ ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè êàòåãîðèè:

1. Ïàðàìåòðè÷åñêèå (êëàññè÷åñêèå îäíîìåðíûå GARCH (p, q) è EWMA, àëãîðèòì
RiskMetrics (RiskMetrics (1996);
2. Íåïàðàìåòðè÷åñêèå (ìåòîä èñòîðè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (Ýíöèêëîïåäèÿ ôèíàíñîâîãî ðèñê-ìåíåäæìåíòà (2006);
3. Ïîëóïàðàìåòðè÷åñêèå (òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ âåëè÷èí EVT [Embrechts et al. (1997)],
[Ùåòèíèí, Ëàïóøêèí (2004)], [Ùåòèíèí (2005)], ìîäåëü óñëîâíîé àâòîðåãðåññèè CAViaR

Рынки ценных бумаг
3

[Manganelli, Engle (1999)]). Îäíàêî íåñìîòðÿ íà âñå âîçðàñòàþùóþ ïîïóëÿðíîñòü è ïðîñòîòó
ïðèìåíåíèÿ, ñóùåñòâóþùèå ïîäõîäû â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îãðàíè÷åíû, òàê êàê ïîçâîëÿþò íàõîäèòü òîëüêî îäíîìåðíûå ôèíàíñîâûå ïîêàçàòåëè VAR è CVAR. Êàê ñëåäñòâèå, îíè íå
ñïîñîáíû ðàññ÷èòûâàòü ðèñêîâàííîñòü âëîæåíèé îòäåëüíî ïî êàæäîìó èç àêòèâîâ
X
X
X n
1
2
,
,... ,
ïîðòôåëÿ (
,
)
1
2 n ñëó÷àéíîé ñòîèìîñòüþ Y
X
X
X
n
n
1
1
2
2 ,
òåì ñàìûì óìåíüøàÿ âåðîÿòíóþ ïðèáûëü èëè äàæå óâåëè÷èâàÿ ðàñõîäû èíâåñòîðà íà óïðàâëåíèå êàïèòàëîì, ïîòîìó ÷òî èíôîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèè öåííûõ áóìàã áóäåò ïðèõîäèòü ê íåìó
â èñêàæåííîì, óñðåäíåííîì âèäå.

Íåñìîòðÿ íà íàñóùíóþ ïîòðåáíîñòü ó÷åòà ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ, èññëåäîâàíèÿ â ýòîé îáëàñòè âñòðå÷àþò ñåðüåçíûå çàòðóäíåíèÿ. Òàê, â îáùåì ñëó÷àå ïàðàìåòðû VAR è CVAR íå ÿâëÿþòñÿ àääèòèâíûìè ìåðàìè [Artzner et al. (1998)], ò. å. ñóììàðíàÿ ïðåäåëüíàÿ âåëè÷èíà ðèñêà
èçìåíåíèÿ ñòîèìîñòè ïîðòôåëÿ íå ïðåâîñõîäèò ñóììû âåëè÷èí ðèñêîâ, âû÷èñëåííûõ îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî àêòèâà X i
n
i,
,
1 :

VAR
VAR
VAR
VAR
CVAR
CVAR

Y
X
X
n
X

Y
X

n
1
2

1
2

1
2

1

,
CVAR
CVAR
X
n
X n
2 .

Ïîýòîìó ïåðåõîä îò èññëåäîâàíèÿ âñåé ñîâîêóïíîñòè ê ðàññìîòðåíèþ òîëüêî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Yíàïðÿìóþ çàòðóäíåí, íî íå íåâîçìîæåí. Åäèíñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì äëÿ
îñóùåñòâëåíèÿ òàêîãî ïåðåõîäà ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå êîððåëÿöèè â êà÷åñòâå äåòåðìèíèðóþùåé õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Èçâåñòíî [Rachev et al. (2005)], ÷òî
corr f X
f X
corr X
X
i
j
i
j
( (
), (
))
(
,
)
, i j
n
,
,
1 , ãäå f — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. È åñëè ìîæíî íàéòè òàêóþ õàðàêòåðèñòèêó ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà
îòíîñèòåëüíî íåëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî ïîñòðîåííàÿ íà åå îñíîâå ìåðà ðèñêà áóäåò
àääèòèâíîé. Ýòî ïîçâîëèò óïðîñòèòü èñõîäíóþ ìíîãîìåðíóþ çàäà÷ó è ðàññìàòðèâàòü åå êàê
ñîâîêóïíîñòü îäíîìåðíûõ çàäà÷, ðåøåíèå êîòîðûõ óæå õîðîøî èçâåñòíî. Òàêàÿ õàðàêòåðèñòèêà áûëà íàéäåíà è ïîëó÷èëà íàçâàíèå ìíîãîìåðíîé êîïóëû [Embrechts et al. (1997)],
[Rachev et al. (2005)], [McNeil et al. (2005)].
Ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå êîïóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ [Cheng et al.
(2007)], [Ùåòèíèí (2006)]. Òàê, ó ×åíãà è äð. [Cheng et al. (2007)] ñòðîèòñÿ äâóìåðíàÿ êîïóëà,
êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ çàòåì äëÿ íàõîæäåíèÿ ðèñêîâ Øàíõàéñêîãî è Øåíäæåíñêîãî ñîñòàâíûõ êèòàéñêèõ èíäåêñîâ (Shanghai Stock Composite Index è Shenzhen Stock Composite Index).
Åâãåíèåì Ùåòèíèíûì [Ùåòèíèí (2006)] ðàññìîòðåíà ïðåäåëüíàÿ êîïóëà ìíîãîìåðíîãî ýëëèïòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â ôîðìå ïðåäñòàâëåíèÿ Ïèêåíäñà è êîìáèíèðîâàííàÿ õâîñòîâàÿ êîïóëà. Íà èõ îñíîâå ïîñòðîåíû àääèòèâíûå ìåðû ðèñêà VAR è ES (Expected Shortfall —
îæèäàåìûé óðîâåíü ïîòåðü), à òàêæå ïðîàíàëèçèðîâàíû ðèñêè ïîðòôåëüíîãî èíâåñòèðîâàíèÿ â àêöèè âåäóùèõ ýìèòåíòîâ ðîññèéñêîãî ôîíäîâîãî ðûíêà â ðàçëè÷íûå ïåðèîäû åãî
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ.
Íåñìîòðÿ íà ïîÿâèâøóþñÿ âîçìîæíîñòü ïðèëîæåíèÿ òåîðèè êîïóë äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè óïðàâëåíèè êàïèòàëîì, èõ ïðàêòè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå åùå äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ áóäåò îãðàíè÷åííûì, òàê êàê êðàåóãîëüíûì
êàìíåì ëþáîé òåõíîëîãèè ðèñê-ìåíåäæìåíòà ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ïðîñòîòû è âûñîêîé
ïðîèçâîäèòåëüíîñòè êîíñòðóèðóåìûõ àëãîðèòìîâ. Ââèäó ìàòåìàòè÷åñêîé è âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè ðàññìîòðåíèÿ êîïóë, íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûì ïðèìåíèòü

4
Рынки ценных бумаг Определение многомерного финансового риска портфеля акций

äëÿ èññëåäîâàíèé êëàññè÷åñêèé ïîäõîä òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñâÿçàííûé ñ íàõîæäåíèåì
êâàíòèëüíûõ ôóíêöèé èëè êâàíòèëåé ìíîãîìåðíîãî ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ çàäàííîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè : åñëè F x
x n
(
,... ,
)
1
— íåêîòîðûé íåïðåðûâíûé ñîâìåñòíûé âåðîÿòíîñòíûé çàêîí äëÿ îäíîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí x
x n
1,... ,
, òî òðåáóåìûé êâàíòèëü îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîð Y
y
y n
(
,... ,
)
1
, óäîâëåòâîðÿþùèé âûðàæåíèþ:

F
Y
1(
)
,
(1)

ãäå F
x
1( ) — îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ F x
x n
(
,... ,
)
1
.

Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ îáðàòíîå ðàñïðåäåëåíèå F
x
1( ), â ñîîòâåòñòâèè ñ (1) äåòåðìèíèðóåì êâàíòèëü Y è âû÷èñëÿåì VAR ïîðòôåëÿ èëè MVAR (çäåñü è äàëåå ìíîãîìåðíûé ðèñê
VAR áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç MVAR, à ìíîãîìåðíûé CVAR — ÷åðåç MCVAR): MVAR
Y
. Çàòåì, îïðåäåëåíèå MCVAR íå ñîñòàâèò îñîáîãî òðóäà, òàê êàê MCVAR
E u
u
Y
t
t
{
}
,
, ãäå
u
u
u
u
t
t
t
t
n
(
)
( )
( )
( )
,
,... ,
1
2
— íåêîòîðûå ïðåâûøåíèÿ óðîâíÿ MVAR.
Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó, ïðåäëîæåííûé êâàíòèëüíûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ðèñêà
îáëàäàåò ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì: íàéäåííûé âåêòîð Y áóäåò íå åäèíñòâåííûì, òàê êàê
ðàâåíñòâó (1) óäîâëåòâîðÿþò âñå òî÷êè ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ F Y( ) const. Ñëåäîâàòåëüíî,
èìååò ìåñòî áåñêîíå÷íîå (ñ÷åòíîå èëè êîíòèíóàëüíîå) ÷èñëî ðàâíîçíà÷íûõ îöåíîê ðèñêîâ
MVAR è MCVAR, ò. å. âûáîð åäèíñòâåííîé èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè, ïðèâîäÿùåé ê íàèìåíüøåìó ìíîãîìåðíîìó ðèñêó, çàòðóäíåí.
 ëèòåðàòóðå ïðåäëîæåíî íåñêîëüêî ñïîñîáîâ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ MVAR
è MCVAR. Òàê, ó ×åíà è äð. [Chen et al. (2007)] ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X
X
X
X
t
t
t
nt
(
,
,... ,
)
1
2
T , õàðàêòåðèçóþùàÿ ëîãàðèôìè÷åñêèå ïðèðàùåíèÿ öåí àêòèâîâ ïîðòôåëÿ , çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:

X
A
t
t
t
, 0 t
T,
(2)

ãäå At — ðàçëîæåíèå Õîëåñêè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöû Ht, ò. å. H
A A
t
t
T
t
,
t
t
t
nt
(
,
)
1
2 T — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ, íå îáÿçàòåëüíî
íîðìàëüíûõ, íåçàâèñèìûõ ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ÌÑÂ) ñ åäèíè÷íîé êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé è íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì,
t — âðåìÿ.

Çàïèñü â âèäå (2) ïîçâîëÿåò ïåðåéòè îò Xt ê ðàññìîòðåíèþ íåêîððåëèðîâàííûõ øóìîâ
t
t
t
A
X
(
) 1
è íàéòè îöåíêè ðèñêîâ MVAR è MCVAR, âû÷èñëÿÿ äëÿ êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû t
îäíîìåðíûå VAR, CVAR è ñîñòàâëÿÿ èç íèõ âåêòîðû äëèíû n.
Äðóãîé ñïîñîá îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ W èñõîäíûõ
äàííûõ Xt [Vrontos et al. (2003)]:

Y
X W
t
t
,
(3)

ïðè÷åì ýëåìåíòû W íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ òðèàíãóëÿöèè óñëîâíîé ìàòðèöû êîâàðèàöèé, âû÷èñëåííîé îòíîñèòåëüíî Xt. Äàëåå àâòîðû äåëàþò äîïîëíèòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå îá óñëîâíîì íîðìàëüíîì çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ Xt. Êàê ñëåäñòâèå, ïîëó÷àåìûå ñîãëàñíî (3) íåêîððåëèðîâàííûå Yt áóäóò íåçàâèñèìûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü îäíîìåðíûå ïîêàçàòåëè
VAR è CVAR îòäåëüíî äëÿ êàæäîãî àêòèâà ïîðòôåëÿ è ñîñòàâëÿòü èç íèõ âåêòîðû äëèíû n.
 îòëè÷èå îò ïðåäëîæåííûõ ðàíåå ïîäõîäîâ, â íàñòîÿùåé ðàáîòå âû÷èñëåíèå ïðåäåëüíûõ óðîâíåé ðèñêîâ MVAR, MCVAR ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì ãëàâíûõ êîìïîíåíò (áîëåå ïîäðîá
Рынки ценных бумаг
5

О.Л. Крицкий, М.К. Ульянова

íî — â Îñíîâàõ ýêîíîìåòðèêè [Àéâàçÿí (2001)]). Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ýêîíîìåòðè÷åñêîãî àíàëèçà ìíîãîìåðíûõ äàííûõ òàêîâîé áûë ïðèìåíåí ó Àëåêñàíäåðà è ×àéáóìáû [Alexander,
Chibumba (1998)], [Alexander (2001)], [Alexander (2002)], Äæèàìóðèäèñà è Âðîíòîñà [Giamouridis, Vrontos (2007)], ïðè÷åì àâòîðû èñïîëüçîâàëè åãî äëÿ èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âåðîÿòíûõ â áóäóùåì çíà÷åíèé êîâàðèàöèîííûõ ìàòðèö àêòèâîâ ïîðòôåëåé, íå ðàññìàòðèâàÿ
âîïðîñ âû÷èñëåíèÿ ðèñêîâ îáëàäàíèÿ èìè. Îòñóòñòâèå â ìèðîâîé ëèòåðàòóðå èññëåäîâàíèé ïî ïðèìåíåíèþ ìåòîäà ãëàâíûõ êîìïîíåíò äëÿ ðàñ÷åòîâ ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ ìîæåò
áûòü ëåãêî îáúÿñíåíî. Äåëî â òîì, ÷òî íåñìîòðÿ íà âçàèìíóþ íåêîððåëèðîâàííîñòü ïîëó÷àåìûõ ïðè îðòîãîíàëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè W â (3) ôàêòîðîâY
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
, ïîñëåäíèå â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âåðîÿòíîñòíîãî çàêîíà íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå ðèñêîâ VAR, CVAR îòäåëüíî äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû Yit, 1i
n, è ôîðìèðîâàíèå îáùåãî
âåêòîðà MVAR, MCVAR ïðèâîäèò ê íåâåðíûì ðåçóëüòàòàì. Â äàííîé ðàáîòå ôîðìóëèðóåòñÿ
è äîêàçûâàåòñÿ êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè ïîíÿòèé íåêîððåëèðîâàííîñòè è íåçàâèñèìîñòè
äëÿ ñëó÷àÿ ýëëèïòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåí àêòèâîâ ïîðòôåëÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò íàì â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàòü ôàêòîðû Y
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
îòäåëüíî äðóã îò äðóãà è îïðåäåëÿòü åäèíñòâåííûå ïîêàçàòåëè ðèñêà MVAR è MCVAR.
 ðàáîòå íàéäåíû íåêîððåëèðîâàííûå ãëàâíûå êîìïîíåíòû Y
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
. Ïðîâåäåíî
èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå èõ âîëàòèëüíîñòåé it, 1i
n, è êâàíòèëåé q
Y
, ýêîíîìåòðè÷åñêèì àëãîðèòìîì STS—GARCH(1,1). Íà îñíîâå it è q
Y
, ðàññ÷èòàíû îöåíêè ìíîãîìåðíûõ
ðèñêîâ èñõîäíûõ äàííûõ Xt è äëÿ íèõ ïîñòðîåíû äîâåðèòåëüíûå îáëàñòè. Ýôôåêòèâíîñòü
ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ïîêàçàíà ïðè âû÷èñëåíèè ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ ïîðòôåëÿ, ñôîðìèðîâàííîãî èç àêöèé êîìïàíèé îòðàñëè «Ñâÿçü» ÌÌÂÁ, è ïðè èõ ñðàâíåíèè ñ îäíîìåðíûìè
ðèñêàìè, îïðåäåëåííûìè áåç ó÷åòà âçàèìíîé çàâèñèìîñòè ñ äðóãèìè ïðåäïðèÿòèÿìè ãðóïïû. Êîòèðîâêè áûëè âçÿòû çà ïåðèîä ñ 1 àïðåëÿ 2005 ïî 22 ìàðòà 2007 ãîäà (âñåãî 491 òîðãîâûé äåíü). Âñå ÷èñëîâûå äàííûå ïðåäîñòàâëåíû êîìïàíèåé ÐÁÊ (http://export.rbc.ru); îòðàñëåâàÿ ïðèíàäëåæíîñòü êîìïàíèé çàôèêñèðîâàíà â ñîîòâåòñòâèè ñ èíôîðìàöèåé îá ýìèòåíòàõ
íà ÌÌÂÁ.

2. Теоретические положения

Ïóñòü X
X
X
X
t
t
t
nt
(
,
,... ,
)
1
2
, 0 t
T , — ñîâîêóïíîñòü âûñîêîêîððåëèðîâàííûõ èñõîäíûõ
äàííûõ, íàïðèìåð, êîòèðîâîê àêöèé, ôüþ÷åðñîâ èëè îáëèãàöèé íåêîòîðîé îòðàñòè. Òàê êàê
çíà÷åíèÿ Xit, 1i
n, â îáùåìñëó÷àåðàçíîðîäíû, ïåðåéäåìêñòàíäàðòèçèðîâàííûìäàííûì:

Z
X
i
n
it
it
i
it
(
)
,
1
1
,
(4)

ãäå i
it
t
E X F
(
|
)
1 — óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå,
it
it
i
t
E X
F
[
]
(
)
(
) |
/
2
1
1 2 — âîëàòèëüíîñòü,
( )
Ft
t0 — ôèëüòðàöèÿ (âñÿ äîñòóïíàÿ íà ìîìåíò âðåìåíè t èíôîðìàöèÿ), îïðåäåëåííàÿ
-ïîäàëãåáðàìè Ft, òàêèìè, ÷òî F
F
m
n
, åñëè m
n
.

Ïóñòü L — òðåáóþùåå íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîå ëèíåéíîå îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Zt â íåêîððåëèðîâàííûå äàííûå Yt:

Y
Z L
t
t
.
Òàê êàê Z
Y L
t
t
T
, à äëÿ êîìïîíåíò Zit âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (4), òî äëÿ îáðàòíîãî ïåðåõîäà
îò Yt ê èñõîäíûì äàííûì Xt äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:

6
Рынки ценных бумаг Определение многомерного финансового риска портфеля акций

x
y
it
i
it
is
st
T

s

n
l

1
, 1i
n,
(5)

ãäå lit
T — ýëåìåíòû ìàòðèöû LT.

Èçâåñòíî [Àéâàçÿí (2001)], ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ L âû÷èñëÿþò è óïîðÿäî÷èâàþò ïî óáûâàíèþ ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû êîâàðèàöèè covz ïî ïåðåìåííûì Zt: 1
2
n, à çàòåì ôîðìèðóþò L èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ—ñòîëáöîâ li , ñîîòâåòñòâóþùèõ êàæäîìó i ,
1i
n. Òàê êàê äëÿ ëþáîãî li âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:

(
)
cov Z
k
k
I l
0, 1k
n,

òî óìíîæàÿ åãî ñëåâà ïîñëåäîâàòåëüíî íà l i
T , 1i
n, èìååì:

L
L
T
z
n
cov
diag
{
}
,
,...,
1
2
.
 òî æå âðåìÿ
cov
cov
Y
t
t
T
t
T
t
T
t
T
z
D Y
E Y Y
L E Z Z
L
L
L
(
)
(
)
(
)
,

ò. å. Yt áóäóò íåêîððåëèðîâàííûìè.
Ïîêàæåì, ÷òî êîìïîíåíòû Y
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
áóäóò âçàèìíî íåçàâèñèìûìè. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî Yt óäîâëåòâîðÿåò ìíîãîìåðíîìó ýëëèïòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ, è ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ïðèâåäåíî â Ïðèëîæåíèè.

Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûé âåêòîð Y
Y
Y
Y
t
t
t
nt
(
,
,... ,
)
1
2
, 0 t
T , íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêè
ðàñïðåäåëåííûì ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì t è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé Ht, åñëè åãî
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Y
tY(
) ïðåäñòàâèìà â âèäå:

Y
t
t
t
t
t
t
T
Y
i
Y
Y H Y
(
)
exp(
)

1
2
,

ãäå(
):[ ,
)
Y
R
t
n
0 — õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ãåíåðàòîð, ïðè÷åìYit
i

n
2

1
— n-ìåðíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ.

Åñëè ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ìíîãîìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ÌÑÂ)
Yt, òî îíà èìååò âèä:

f Y
c
H
g
Y
H
Y
Y
t
n
t
n
t
t
t
t
t
T
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
det
1 2
1
1
2
,

ãäå g x
n( ) — ãåíåðàòîð ïëîòíîñòè, ïðè÷åì
x
g x dx
n
n
/
( )
2 1

0

è
x
g x dx
n
n
/
( )
2 1

0
0
,

c
n
x
g x dx
n
n
n
n
( / )
(
)
( )
/
/
2
2
2
2 1

0

1

— íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà,

( )
n — ãàììà-ôóíêöèÿ.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü (
,
,... ,
)
1
2
n — ýëëèïòè÷åñêè ðàñïðåäåëåííàÿ ìíîãîìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì t è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé Ht. Êîìïîíåíòû i , 1i
n, áóäóò âçàèìíî íåçàâèñèìûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîððåëÿöèÿ ìåæäó íèìè ðàâíà íóëþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåíî â Ïðèëîæåíèè.

Рынки ценных бумаг
7

О.Л. Крицкий, М.К. Ульянова

Òåîðåìà 1 ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è âçàèìíîé íåçàâèñèìîñòèY
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
êàê ýêâèâàëåíòíûå ïðè óñëîâèè ýëëèïòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Yt. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîãîìåðíûå âåêòîðû MVAR è MCVAR ìîæíî íàõîäèòü êàê ñîâîêóïíîñòü îäíîìåðíûõ ðèñêîâ VAR è CVAR, ðàññ÷èòàííûõ äëÿ êàæäîé ãëàâíîé êîìïîíåíòûY
Y
Y
t
t
nt
1
2
,
,... ,
â îòäåëüíîñòè.
×òîáû
ðàñïîçíàâàòü
ðèñêè
ðàçëè÷íûõ
ñëó÷àéíûõ
äàííûõ,
îáîçíà÷èì
÷åðåç
MVAR R
MVAR
MVAR
MVAR
t
R
R
n
R
(
)
(
,
,... ,
)
1
2
âåêòîð MVAR äëÿ ïðîöåññà R
R
R
t
t
nt
(
,... ,
)
1
, à ÷åðåç
MCVAR R
MCVAR
MCVAR
MCVAR
t
R
R
n
R
(
)
(
,
,... ,
)
1
2
— ìíîãîìåðíóþ óñëîâíóþ ìåðó ðèñêà MÑVAR
äëÿ Rt. Òåïåðü äëÿ êîîðäèíàò MVARi
X è MCVARi
X áóäóò ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:

MVAR
MVAR
MVAR Y L
i
X
i
it
i
Z
i
it
t
T
i
(
(
)
) ,

MCVAR
MCVAR
MCVAR Y L
i
X
i
it
i
Z
i
it
t
T
i
(
(
)
) , 1i
n,
(6)

ãäå ( )i — îïåðàöèÿ âûäåëåíèÿ i-é êîìïîíåíòû âåêòîðà.

Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, â äàëüíåéøåì âìåñòî ðàññìîòðåíèÿ äîñòàòî÷íîãî îáùåãî êëàññà
ýëëèïòè÷åñêèõ ðàñïðåäåëåíèé îñòàíîâèìñÿ íà èñïîëüçîâàíèè êàêîãî-ëèáî ôèêñèðîâàííîãî âåðîÿòíîñòíîãî çàêîíà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøàåìîé â íàñòîÿùåé ðàáîòå çàäà÷åé îöåíèâàíèÿ ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ, îñòàíîâèìñÿ íà èìåþùèõ ïåðâûå è âòîðûå óñëîâíûå ìîìåíòû, íî
îòëè÷íûõ îò íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå îáëàäàþùèõ «òîëñòûìè õâîñòàìè» è ó÷èòûâàþùèõ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà èñõîäíóþ àñèììåòðèþ äàííûõ. Òàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò, íàïðèìåð, STS-ðàñïðåäåëåíèå, ïîäðîáíî èçó÷åííîå è ïðèìåíåííîå äëÿ èìèòàöèîííîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ öåí àêöèé [Rachev et al. (2005)], [Áåëüñíåð, Êðèöêèé (2007)].

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü g x
( )— ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè-óñòîé÷èâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ [Çîëîòàðåâ (1983)] ñ âåêòîðîì ïàðàìåòðîâ ( , , , )
c
, ãäå — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà, —
êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè, ñ — ìàñøòàá, — ñðåäíåå:

g
x
ix
t
c t
i
t
( )
exp
(
) exp
( )
1
2
1
sign
tg

2
1
dt, .

Ïóñòüh x
h x
1
2
( ),
( )— ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè(
,
)
ai
i
2 , i 1 2
, .
Ïóñòü âûáðàíû äâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëà a, b,÷òî a
b
, è âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ:

h a
g
a
1( )
( )
, h b
g
b
2( )
( )
,
h x dx
g
x dx

a
a

1( )
( )

, h
x dx
g
x dx

b
b

2( )
( )

.
(7)

Íàçîâåì ïëîòíîñòüþ STS-ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèþ f x( ) âèäà:

f x
h x x
a
g
x x
a b
h
x x
b

( )
( ),
;
( ),
[ , ];

( ),
.

1

2

(8)

Íàéäåì ýìïèðè÷åñêèå çíà÷åíèÿ
, MVAR
MCVAR
i
Y
i
Y
òåîðåòè÷åñêèõ âåëè÷èí ðèñêà
MVAR
MCVAR
i
Y
i
Y
,
, 1i
n, ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ (
)
1, äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì ñâîéñòâîì [Rachev et al. (2005)] êâàíòèëÿ q Bar Y
, óðîâíÿ îäíîìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Yit, èìåþùåé STS-ðàñïðåäåëåíèå:

8
Рынки ценных бумаг Определение многомерного финансового риска портфеля акций

q
q
Y
i
it
,
,
,
(9)

ãäå q, — êâàíòèëü óðîâíÿ ñòàíäàðòíîãî STS-ðàñïðåäåëåíèÿ,

i
it
t
E Y F
(
|
)
1 — óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå,

it
it
t
D Y F
(
|
)
1 — âîëàòèëüíîñòü.

Ñîîòíîøåíèå (9) ïîçâîëÿåò íàéòè ýìïèðè÷åñêèé êâàíòèëü q
Y
, ïî ôèêñèðîâàííîìó èññëåäîâàòåëåì çíà÷åíèþ q, , åñëè îïðåäåëåíû âîëàòèëüíîñòü it è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå i .  äàííîé ðàáîòå èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå âåðîÿòíûõ â áóäóùåì çíà÷åíèé it
îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäîëîãèåé STS-GARCH(1,1) [Áåëüñíåð, Êðèöêèé (2007)].
Òàê êàê âîïðîñ ïðîãíîçèðîâàíèÿ âûõîäèò çà ðàìêè çàäà÷è âû÷èñëåíèÿ MVAR X
MCVAR X
t
t
(
),
(
),
è â ñâÿçè ñ îãðàíè÷åííîñòüþ îáúåìà ðàáîòû, ìû îïóñêàåì ïîäðîáíîå îïèñàíèå àëãîðèòìà
STS-GARCH(1,1). Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî it íàõîäèëàñü èç àâòîðåãðåññèîííîé çàâèñèìîñòè
âèäà:

it
i
i
i t
i
i t
2
1
2
1
2
,
,
, i ,0
0
, t
T
2 3, ,..., , i
n
1, ,

ãäå i
i
i
0
0
0
,
,
— êîýôôèöèåíòû ìîäåëè,
it — STS-ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì i
i t s
s

k

k
Y
1

1
,
è äèñïåðñèåé it
2,
k — ëàã (çàäåðæêà) âðåìåííîãî ðÿäà.

Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ it è i âûðàæåíèå (9) — äåòåðìèíèðîâàíî. Ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ (9)
ìîæíî íàéòè îöåíêó MVARi
Y äëÿ MVARi
Y ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè , òàê êàê äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà Yit

inf
,
(
)
inf
,
(
)
{
}
{
}
,
MVAR
x
P Y
x
x
x
q
i
Y
it
Y
i
.
(10)

Çíàÿ MVARi
Y è ôèêñèðóÿ ìíîæåñòâî {
}
,
(
)
,
x
x
q
Y
i
, îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå MCVARi
Y :

,
{
}
MCVAR
E Y
Y
MVAR
i
Y
it
it
i
Y
.
(11)

Òàêèìîáðàçîì, îöåíêèâåêòîðîâðèñêà ( )
( , ... , )
MVAR Y
MVAR
MVAR
t
Y
n
Y
1
, ( )
( ,
MCVAR Y
MCVAR
t
Y
1
... , )
MCVARn
Y íàéäåíû.
Ïîñòðîèì äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ êîîðäèíàò ,
,
MVAR
MCVAR
i
Y
i
Y 1i
n. Äëÿ ýòîãî
âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ñâîéñòâîì îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Èçâåñòíî [Áîðîâêîâ (1984)], ÷òî îöåíêà

max
(
; )
n
it
t

T
f y
arg
1
,
(12)

ãäå (
,
,... ,
)
1
2
m — íåèçâåñòíûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ,
f y it
(
; )
— çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà âûáîðî÷íûõ äàííûõ:

f y
y
it
it

it
i

it
(
; )
exp
(
)
1

2
2

2

2
,

— îáëàñòü èçìåíåíèÿ ,
yit,t
T
1, , — íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ i-ãî ôàêòîðà â t-é òîðãîâûé äåíü, ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîé è óñòîé÷èâîé îöåíêîé äëÿ, ïðè÷åì ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðåäåëüíîå
ñîîòíîøåíèå:

Рынки ценных бумаг
9

О.Л. Крицкий, М.К. Ульянова

lim
( )
~
,
( )
(
)
n
n
n
R
N
J
0
1 ,
(13)

ãäå J( ) — èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà Ôèøåðà ñ ýëåìåíòàìè J
E
y
y
s k
s
k
, ( )
( ; )
( ; )
l
l
,
l( ; )
ln ( ; )
y
f y
, s k
m
,
,
1
.

Äëÿ îäíîìåðíîãî GARCH(1,1) J( ) âû÷èñëåíà ó Âðîíòîñà è äð. [Vrontos et al. (2003)]:

J s k
qt

qt

s
q

n

t

T
qt

k
, ( )1
2
4

2

1
1

2
, s k
n
,
,
13 ,

ãäå (
,
,
,
,
,
,... ,
,
,
)
1
1
1
2
2
2
n
n
n .

Èñïîëüçóåì (13) äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà òåîðåòè÷åñêîé âåëè÷èíû
MVARi
Y. Äëÿ ýòîãî ïðè ôèêñèðîâàííîì i ðàññìîòðèì êâàíòèëüíóþ ôóíêöèþ âèäà:

g
F
( )
(
; )
1
,

ãäå (
,
,
)
i
i
i — òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè GARCH(1,1),

F 1( ; )
— îáðàòíûé íîðìàëüíûé âåðîÿòíîñòíûé çàêîí.

Êðîìå òîãî, ïóñòü ( , , )
n
i
i
i
— îöåíêà äëÿ , íàéäåííàÿ â (12). Òîãäà MVAR
g
i
Y ( ),

()
MVAR
g
i
Y
n
è ïî ëåììå Ñëóöêîãî î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè g( ) áóäåò âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (13):

lim
( )
~ ( ,
( ))
n
i
Y
i
Y
MVAR
n MVAR
MVAR
R
0 I
,

ãäå
I MVAR
T
g
J
g
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
grad
grad
1
—
èíôîðìàöèîííàÿ
ìàòðèöà
Ôèøåðà,

gradi
i
i
,
,... ,
.

Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû R îïðåäåëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ñïîñîáîì [Ãíåäåíêî (1988)]. Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:

( )
/
/
/
MVAR
Z
n
MVAR
MVAR
Z
i
Y
r
MVAR
n
i
Y
i
Y
1
2
1 2
1 2
1
I
r
MVAR
n
n
/
/
/
( )
2
1 2
1 2
I
,
(14)

ãäå Z
r
1
2
/ — êâàíòèëü óðîâíÿ (
/ )
1
2
r
ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,
(
)
1r — âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé ïîëó÷åííûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå MVARi
Y.

Ïðîèçâîäÿ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè äëÿ MCVARi
Y , íàõîäèì äëÿ íåãî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë âèäà:
( )
/
/
/
MCVAR
Z
n
MCVAR
MCVAR
i
Y
r
MVAR
n
i
Y
i
Y
1
2
1 2
1 2
I
Z
n
r
MVAR
n
1
2
1 2
1 2
/
/
/
( )
I
,
(15)

ãäå (
)
1r — âåðîÿòíîñòü, ñ êîòîðîé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå MCVARi
Y .

Çíàÿ îöåíêè (
)
MVAR Yt , (
)
MCVAR Yt è îïðåäåëèâ ãðàíèöû äîâåðèòåëüíûõ îáëàñòåé â ñîîòâåòñòâèè ñ (14)–(15), îñòàåòñÿ ïðèìåíèòü ôîðìóëû (6), ÷òîáû âû÷èñëèòü ýìïèðè÷åñêèå çíà÷åíèÿ (
), (
)
MVAR X
MCVAR X
t
t è ïîëó÷èòü ìíîæåñòâà, â êîòîðûõ áóäóò íàõîäèòüñÿ âåêòîðû
MVAR X
MCVAR X
t
t
(
),
(
).

10
Рынки ценных бумаг Определение многомерного финансового риска портфеля акций

3. Анализ эмпирических данных
Ïðèìåíèì àëãîðèòì äëÿ íàõîæäåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ðèñêîâ ðàâíîâåñîâîãî ïîðòôåëÿ,
ñôîðìèðîâàííîãî èç àêöèé ïðåäïðèÿòèé îäíîé èç îòðàñëåé. Äëÿ åå âûáîðà ðàçîáüåì íà êàòåãîðèè 157 êîìïàíèé, ÷üè îáûêíîâåííûå àêöèè íàèáîëåå àêòèâíî òîðãóþòñÿ íà ÌÌÂÁ,
è ïðèìåíèì ê êîòèðîâêàì èõ àêöèé çà ïåðèîä ñ 1 àïðåëÿ 2005 ïî 22 ìàðòà 2007 ãîäà (âñåãî
491 òîðãîâûé äåíü), ìåòîä ãëàâíûõ êîìïîíåíò. Íàéäåííîå êîëè÷åñòâî ôàêòîðîâ â êàæäîé
ãðóïïå è ïðîöåíò îáúÿñíÿåìîé èìè äèñïåðñèè ïðèâåäåí â òàáë. 1.

Òàáëèöà 1

Àíàëèç îòðàñëåé Ðîññèè ìåòîäîì ãëàâíûõ êîìïîíåíò

Îòðàñëè
Îáùåå ÷èñëî
ïðåäïðèÿòèé
×èñëî
ôàêòîðîâ
Îáúÿñíÿåìàÿ
äèñïåðñèÿ, %

Áàíêè è ôèíàíñîâûå èíñòèòóòû
9
2
85,6

Ãîðíîäîáûâàþùàÿ ïðîìûøëåííîñòü
4
2
80,9

Ìàøèíîñòðîåíèå
6
2
85,5

Íåôòåãàçîâàÿ
8
1
86,1

Ïèùåâàÿ ïðîìûøëåííîñòü
6
2
91,9

Ñâÿçü
10
2
90,9

Ñåëüñêîå õîçÿéñòâî
2
2
100

Ñòðîèòåëüñòâî
1
1
100

Òðàíñïîðò
3
1
82,3

Õèìè÷åñêàÿ è íåôòåõèìè÷åñêàÿ ïðîìûøëåííîñòü
4
2
88,1

×åðíàÿ ìåòàëëóðãèÿ
3
1
80

Öâåòíàÿ ìåòàëëóðãèÿ
2
1
93,4

Ýëåêòðîýíåðãåòèêà
97
3
81

Äðóãèå
2
2
100

Äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé âûáåðåì îòðàñëü, ÷èñëî ãëàâíûõ êîìïîíåíò êîòîðîé
áîëüøå èëè ðàâíî äâóì, à îáùåå êîëè÷åñòâî àêöèîíåðíûõ îáùåñòâ íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îò
10 äî 20. Ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò êàòåãîðèÿ «Ñâÿçü», ñîñòîÿùàÿ èç ïðåäïðèÿòèé òåëåêîììóíèêàöèîííîé ñôåðû: Äàëüñâÿçü (X1t), ÌÃÒÑ (5-é âûïóñê, X2t), ÌÒÑ (X3t), Ðîñòåëåêîì (X4t),
Ñåâåðî-Çàïàäíûé Òåëåêîì (X5t), Ñèáèðüòåëåêîì (X6t), Óðàëñâÿçüèíôîðì (X7t), ÖåíòðÒåëåêîì
(X8t), ÞÒÊ (X9t), ÂîëãàÒåëåêîì (X10,t).
Èññëåäîâàíèå êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöû Xt ïîêàçàëî íàëè÷èå òåñíîé ñâÿçè äëÿ 90% êîìïàíèé îòðàñëè (ïàðíûå êîððåëÿöèè âàðüèðîâàëèñü îò 0,83 äî 0,96).  òî æå âðåìÿ íà ôîíå
ïîëó÷åííûõ äàííûõ ðåçêî âûäåëÿëîñü àêöèîíåðíîå îáùåñòâî ÌÒÑ: êîððåëÿöèÿ öåí åãî àêöèé ñ öåíàìè àêöèé îñòàëüíûõ ïðåäïðèÿòèé ãðóïïû ëåæàëà â ïðåäåëàõ îò 0,3 äî 0,81 è áûëà
ðàâíà â ñðåäíåì 0,45.
 êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t, 0 t
T , â ñîîòâåòñòâèè ñ (4) ñòðîèëàñü ìàòðèöà Zt ñòàíäàðòèçèðîâàííûõ äàííûõ. Çàòåì âû÷èñëÿëèñü ìàòðèöû êîâàðèàöèé covZ t è íàõîäèëèñü ñîáñòâåííûå ÷èñëà, óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ: 1
2
n. Íàïðèìåð, ïðè t 491îíè
èìåëè ñëåäóþùèé âèä: 1
7 8
, ; 2
11
, ; 3
0 5
, ; 4
0 17
,
; 5
2
7 8
10
,
; 6
2
56 10
,
;

Рынки ценных бумаг
11

О.Л. Крицкий, М.К. Ульянова