Прикладная эконометрика, 2007, №2 (6)

ÐÛÍÊÈ ÖÅÍÍÛÕ ÁÓÌÀÃ

Î.Ë. Êðèöêèé, Å.Ñ. Ëèñîê

Àñèìïòîòè÷åñêîå îöåíèâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ÌÈÊÐÎÝÊÎÍÎÌÈÊÀ

Å.Â. Áåññîíîâà

Îöåíêà ýôôåêòèâíîñòè ïðîèçâîäñòâà ðîññèéñêèõ ïðîìûøëåííûõ ïðåäïðèÿòèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

ÎÁÙÅÑÒÂÎ

Ì.Þ. Àôàíàñüåâ

Ìîäåëèðîâàíèå ïðîèçâîäñòâåííîãî ïîòåíöèàëà íàó÷íîãî ðàáîòíèêà íà îñíîâå ìåòîäîëîãèè ñòîõàñòè÷åñêîé ãðàíèöû . . . . . . . . . 36

Ì. Ëîêøèí, Ç. Ñàäæàÿ

Ýêîíîìè÷åñêèå ïîòåðè îò êóðåíèÿ: ðàçíèöà â çàðïëàòàõ êóðÿùèõ è íåêóðÿùèõ â Ðîññèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Î.À. Ïóøêàðåâ

Êîððóïöèÿ è ýêîíîìè÷åñêîå ðàçâèòèå Ðîññèè: ðåãèîíàëüíûé àñïåêò. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Ä.À. Ñìûñëîâ

Ïîñòðîåíèå èíäèêàòîðà ÷åëîâå÷åñêîãî êàïèòàëà ñîöèàëüíûõ ãðóïï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

ÊÎÍÑÓËÜÒÀÖÈÈ

Ë.Í. Ñëóöêèí

Àíàëèç ñòàáèëüíîñòè ìîäåëè ëèíåéíîé ðåãðåññèè âî âðåìåíè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

CONTENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

ABSTRACTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

ÑÂÅÄÅÍÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Читайте в номере
1

 2006 ãîäó æóðíàë «Ïðèêëàäíàÿ ýêîíîìåòðèêà» âêëþ÷åí â ñïèñîê ïåðèîäè÷åñêèõ èçäàíèé
ÂÀÊ, ðåêîìåíäîâàííûõ äëÿ ïóáëèêàöèè ðåçóëüòàòîâ êàíäèäàòñêèõ è äîêòîðñêèõ äèññåðòàöèîííûõ èññëåäîâàíèé.

Ãëàâíûéðåäàêòîð

ÀéâàçÿíÑåðãåéÀðòåìüåâè÷—ä.ôèç.-ìàò.í.,ïðîôåññîð,çàñëóæåííûéäåÿòåëüíàóêèÐîññèè,çàì.äèðåêòîðàÖåíòðàëüíîãî
ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÐÀÍ (ÖÝÌÈ ÐÀÍ), çàâ. êàôåäðîé ýêîíîìåòðèêè Ìîñêîâñêîé ôèíàíñîâî-ïðîìûøëåííîé
àêàäåìèè (ÌÔÏÀ).

Çàìåñòèòåëüãëàâíîãîðåäàêòîðà

Ñëóöêèí Ëåâ Íàóìîâè÷ — Ph.D ïî ìàòåìàòèêå, äîöåíò ÌÔÏÀ.

×ëåíûðåäêîëëåãèè

Áðîäñêèé Á.Å. — ä. ôèç.-ìàò. í., çàâ. Ñèòóàöèîííûì öåíòðîì ÖÝÌÈ ÐÀÍ, ïðîôåññîð Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà — Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè (ÃÓ-ÂØÝ).

Äåíèñîâà È.À. — Ph. D ïî ýêîíîìèêå, âåäóùèé ýêîíîìèñò Öåíòðà ýêîíîìè÷åñêèõ è ôèíàíñîâûõ èññëåäîâàíèé è ðàçðàáîòîê
(ÖÝÔÈÐ), íàó÷íûé ñîòðóäíèê ÖÝÌÈ ÐÀÍ.

Åëèñååâà È.È. — ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ, çàâ. êàôåäðîé ñòàòèñòèêè è ýêîíîìåòðèêè Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà ýêîíîìèêè
è ôèíàíñîâ.

Åðøîâ Ý.Á. — ê. ý. í., îðäèíàðíûé ïðîôåññîð ÃÓ-ÂØÝ.

Èâàíîâà C. C. — ê. ý. í., ãëàâíûé ñïåöèàëèñò óïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé è áèçíåñ-àíàëèòèêè áàíêà «Ðóññêèé Ñòàíäàðò».

Êàíòîðîâè÷ Ã.Ã. — ïðîðåêòîð ÃÓ-ÂØÝ, ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè è ýêîíîìåòðèêè ÃÓ-ÂØÝ.

ÊàðëåâàðîÔàáðèöèî(Øâåéöàðèÿ)—äîêòîðíàóê,îðäèíàðíûéïðîôåññîð,çàâ.êàôåäðîéýêîíîìåòðèêèÆåíåâñêîãîóíèâåðñèòåòà.

Ìàêàðîâ Â.Ë. — àêàäåìèê ÐÀÍ, äèðåêòîð ÖÝÌÈ ÐÀÍ, ïðåçèäåíò Ðîññèéñêîé ýêîíîìè÷åñêîé øêîëû.

Ìàêñèìîâ À.Ã. — ê. ôèç.-ìàò. í., ïåðâûé çàìåñòèòåëü äèðåêòîðà Íèæåãîðîäñêîãî ôèëèàëà ÃÓ-ÂØÝ.

ÌõèòàðÿíÂ.Ñ.—ä.ý.í.,ïðîôåññîð,çàâ.êàôåäðîéïðèêëàäíîéñòàòèñòèêèÌÔÏÀ,äèðåêòîðÈíñòèòóòàñòàòèñòèêèèýêîíîìåòðèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ýêîíîìèêè, ñòàòèñòèêè è èíôîðìàòèêè.

Ðóáèí Þ.Á. — ä. ý. í., ïðîôåññîð, ðåêòîð ÌÔÏÀ.

Ðóäçêèñ Ðèìàíòàñ (Ëèòâà) — äîêòîð íàóê, çàâ. îòäåëîì Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè Ëèòâû, ïðîôåññîð Êàóíàññêîãî
óíèâåðñèòåòà.

Ñóñëîâ Â.È. — ÷ë.-êîðð. ÐÀÍ, ä. ý. í., ïðîôåññîð, çàì. äèðåêòîðà Èíñòèòóòà ýêîíîìèêè è îðãàíèçàöèè ïðîìûøëåííîãî ïðîèçâîäñòâà ÑÎ ÐÀÍ.

ÕàðèíÞ.Ñ.(ÐåñïóáëèêàÁåëàðóñü)—÷ë.-êîðð.ÍàöèîíàëüíîéàêàäåìèèíàóêÁåëàðóñè,ä.ôèç.-ìàò.í.,ïðîôåññîðÁåëîðóññêîãî
ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà, çàâ. êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è àíàëèçà äàííûõ ÁÃÓ.

2
Редакционная коллегия Î.Ë. Êðèöêèé, Å.Ñ. Ëèñîê

Àñèìïòîòè÷åñêîå îöåíèâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè
ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè

 ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìåòîä îöåíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè áåç îãðàíè÷åíèÿ âðåìåííîãî äèàïàçîíà. Íàéäåííûå çàâèñèìîñòè ïîçâîëÿþò ñâåñòè çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ê îòûñêàíèþ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà. Ðàçðàáîòàííûé àëãîðèòì ïðèìåíÿåòñÿ
ê àíàëèçó ñðåäíåâçâåøåííûõ äíåâíûõ êîòèðîâîê àêöèé Ãàçïðîìà íà ÌÌÂÁ è èíäåêñíîãî
îïöèîíà SPX.

1. Введение
Â

ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå îòìå÷àåòñÿ çíà÷èòåëüíûé ðîñò ÷èñëà èññëåäîâàíèé, ñâÿçàííûõ c èçó÷åíèåì ïîâåäåíèÿ ñëîæíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì è ôëóêòóàöèé ôèíàíñîâûõ
ðûíêîâ [Hull (2003)], [Benth (2002)]. Îäíèì èç ñïîñîáîâ òàêîãî èçó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûé àíàëèç âûñîêî÷àñòîòíûõ ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ïðèìåíåííîé ê öåíîâûì ïðèðàùåíèÿì:

x t
x t
t
x t
( )
(
)
( )
,
(1)

ãäå x t( ) — èñõîäíûé ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ, t — âðåìåííîé ëàã.

Îïðåäåëåíèå ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïðèðàùåíèé â (1) è èìèòàöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå
èõ áóäóùåãî ïîâåäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé çàäà÷åé â äèíàìèêå ôèíàíñîâûõ ðûíêîâ. Äëÿ
åå ðåøåíèÿ ïðåäëîæåíà òåîðåòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè (SV) [SerHuang Poon (2005)], âêëþ÷àÿ ÷àñòíûå ñëó÷àè: ìîäåëü Õåñòîíà [Heston (1993)], Õàëà-Óàéòà
[Hull, White (1987)], äèôôóçèè ñî ñêà÷êàìè [Merton (1976)], à òàêæå èõ âàðèàöèè.  îáùåì âèäå
ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

dx
x t xdt
x
t xdW
( , )
( , , )
1, d
g x
t dt
q x
t dW
( , , )
( , , )
2,
(2)

ãäå x
x t
( ) — èñõîäíûé ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ,
— êîýôôèöèåíò äðåéôà,
— êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, èëè âîëàòèëüíîñòü,
g, q — íåêîòîðûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè,
dWi — ïðèðàùåíèÿ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ (íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ñðåäíèì, äèñïåðñèåé [
]
dW
dt
i
2 )1, i 1 2
, , ñ êîððåëÿöèåé dt
dW dW
1
2, t
t
T
[
, ]
0
.

Òåì íå ìåíåå, äåòåðìèíàöèÿ è íàõîæäåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ, ôîðìèðóþùèõ êàæäûé èç âûøåïåðå÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé àêòóàëüíîé,

Рынки ценных бумаг
3

1 Çäåñü è äàëåå ÷åðòîé ñâåðõó áóäåì îáîçíà÷àòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.

òàê êàê íè îäíà èç èçâåñòíûõ ìîäåëåé íå îïèñûâàåò äåéñòâèòåëüíîãî ïîâåäåíèÿ ðûíêà,
à ó÷èòûâàåò òîëüêî êîíå÷íûé íàáîð åãî õàðàêòåðèñòèê.
Ñðåäè íåìíîãî÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé â îáëàñòè îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé âûäåëèì ðàáîòó Òîìåòè è Âîðòìàíà [Tomety, Worthmann (2004)], â êîòîðîé
êîýôôèöèåíòû ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ýâðèñòè÷åñêè.
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî îïðåäåëåííûå ïåðåáîðîì êîýôôèöèåíòû ìîäåëè, âî-ïåðâûõ, ìîãóò
ïðèâåñòè ê áûñòðîìó âîçðàñòàíèþ ïîãðåøíîñòè ìîäåëè [Õîëîïîâà, Êðèöêèé (2006)] ïðè äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàíèè, íàïðèìåð, ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè, âî-âòîðûõ, îíè ïîñòîÿííû,
÷òî ÿâëÿåòñÿ äîïóùåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîñòè.
Íàðÿäó ñ ýâðèñòè÷åñêèìè ðàçâèâàëèñü è àëãîðèòìû ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è åãî ìîäèôèêàöèé (êâàçèìàêñèìàëüíîå ïðàâäîïîäîáèå [Shepherd, Harvey (1996)], ïñåâäî-ìàêñèìàëüíîå ïðàâäîïîäîáèå [Fiorentini et al. (2002)]). Îñíîâíîé èäååé òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ôèêñèðîâàíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ öåí S è âîëàòèëüíîñòåé â SV-ìîäåëè ñ äàëüíåéøåé ìàêñèìèçàöèåé
ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ è ðåøåíèåì íåëèíåéíîé ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ.  òî æå âðåìÿ âûáîð òàêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé çàäà÷åé, íå
èìåþùåé åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ. Êðîìå òîãî, ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî
ïðàâäîïîäîáèÿ, ïðåäïîëîæåíèå î íåçàâèñèìîñòè êîòèðîâîê öåí àêöèé ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì, ÷òî íå ñïðàâåäëèâî äëÿ ôèíàíñîâûõ ðûíêîâ [McNeil et al. (2005)]. Ïîýòîìó ñîâìåñòíóþ ìíîãîìåðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü îòíîñèòåëüíî âñåõ âûáîðî÷íûõ äàííûõ, ÷òî, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì äëÿ ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà â ñëó÷àå
îáðàáîòêè òèêîâûõ äàííûõ, ýôôåêòèâíàÿ ðàçìåðíîñòü ìàññèâîâ êîòîðûõ ïðåâîñõîäèò äåñÿòêè è ñîòíè òûñÿ÷ çíà÷åíèé.
Ñëåäóþùèì øàãîì â èññëåäîâàíèÿõ, ïîìèìî îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè SV, ñòàëà ïîïûòêà íàõîæäåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ïðèðàùåíèé öåí ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ. Òàê, â ðàáîòå Äðàãóëåñêó è ßêîâåíêî [Dragulescu, Yakovenko (2002)], íà îñíîâå ýâðèñòè÷åñêè äåòåðìèíèðîâàííîé ìîäåëè Õåñòîíà áûëî ïîëó÷åíî çàìêíóòîå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðèðàùåíèé ñòîèìîñòè
àêòèâîâ. Àëãîðèòì áûë ïðèìåíåí ê èíäåêñàì Dow-Jones, Nasdaq, S&P 500 è íåñêîëüêèì àêöèÿì. Íà îñíîâå ýòîãî ìåòîäà â ðàáîòå Áóõáèíäåðà è ×èñòèëèíà [Áóõáèíäåð, ×èñòèëèí (2005,
¹ 10)] èññëåäîâàíà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè Õåñòîíà ê ðîññèéñêîìó ôîíäîâîìó
ðûíêó. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïàðàìåòðû ìîäåëåé îïðåäåëÿëèñü ïóòåì ïîäãîíêè òåîðåòè÷åñêèõ
êðèâûõ ïîä ýìïèðè÷åñêèå ðàñïðåäåëåíèÿ è çàäàâàëèñü ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîâåäåíû è èíûå èññëåäîâàíèÿ [Vicente at al. (2004)], ãäå íàõîäèòñÿ àíàëèòè÷åñêèé âèä ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ëîãàðèôìè÷åñêèõ äîõîäíîñòåé. Ïðè ýòîì âîïðîñ
îöåíêè ïàðàìåòðîâ íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.
Óñëîæíåíèþ àëãîðèòìîâ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ìåøàåò òðóäîåìêîñòü íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííîãî èëè àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
âòîðîãî ïîðÿäêà, ê êîòîðîé ñâîäèòñÿ èñõîäíàÿ ñèñòåìà.
Âñå ýòî îáóñëîâèëî íåîáõîäèìîñòü ðàçâèòèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèõ íå òîëüêî îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé SV-ìîäåëè, íî è íàéòè èõ àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå. Êðîìå òîãî, ïîäîáíûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ïðèðàùåíèé ñòîèìîñòè ðèñêîâûõ
àêòèâîâ.

4
Рынки ценных бумаг Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности

 îäíîé èç ïåðâûõ ïóáëèêàöèé ïî òåìå [Áóõáèíäåð, ×èñòèëèí (2005, ¹ 2)] öåíîâûå ïðèðàùåíèÿ (1) äëÿ êîòèðîâîê àêöèé ÐÀÎ ÅÝÑ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Èç ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû äðåéôà è äèôôóçèè óðàâíåíèÿ
Ôîêêåðà-Ïëàíêà, àïïðîêñèìèðîâàííûå ëèíåéíîé è êâàäðàòè÷íîé çàâèñèìîñòüþ îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùåãî âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå ïîä÷èíÿåòñÿ ëèáî ñòåïåííîìó, ëèáî íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.
 òî æå âðåìÿ ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî íàéäåííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè, âîïåðâûõ, ÿâëÿåòñÿ âñåãî ëèøü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîëèíîìèàëüíîé çàâèñèìîñòè, è, âî-âòîðûõ,
ïðèâîäèò ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ â (2), ãäå êîýôôèöèåíòû äðåéôà è äèôôóçèè, âû÷èñëåííûå
îòíîñèòåëüíî ëîãàðèôìè÷åñêèõ ïðèðàùåíèé, ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå âìåñòî ïîäãîíêè òåîðåòè÷åñêîé ìîäåëè ê ýìïèðè÷åñêèì äàííûì
ïðîâîäèòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå îöåíèâàíèå è íàõîæäåíèå ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ , , p, q ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè âèäà:

d
x
x t dt
x
t dW
(
)
(
, )
(
,
, )
1, d
g
x
t dt
q
x
t dW
(
)
(
,
, )
(
,
, )
2,
(3)

ãäå x — öåíîâûå ïðèðàùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå (1),
— êîýôôèöèåíò äðåéôà,
(
)
( )
t
t
t — ïðèðàùåíèÿ âîëàòèëüíîñòè,
g, q — íåêîòîðûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè,
dWi — ïðèðàùåíèÿ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ,i 1 2
, , ñ êîððåëÿöèåédt
dW dW
1
2,t
t
T
[
, ]
0
.

Îïðåäåëåííûå òàêèì îáðàçîì ïàðàìåòðû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà (ÔÏÊ).
Ðàçðàáîòàííûé àëãîðèòì ïðèìåíÿåòñÿ ê àíàëèçó ñðåäíåâçâåøåííûõ äíåâíûõ êîòèðîâîê
àêöèé Ãàçïðîìà íà ÌÌÂÁ è îïöèîíà SPX íà àìåðèêàíñêèé èíäåêñ Standard&Poor’s 500.

2. Общие положения

Ïóñòü hi, i 0 1, ,... — âðåìåííîé ðÿä, ÿâëÿþùèéñÿ äèñêðåòíîé ðåàëèçàöèåé íåêîòîðîãî
íåïðåðûâíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x(t), âû÷èñëåííîãî â ìîìåíòû âðåìåíè ti:

x t
h
i
i
(
) .

Êðîìå òîãî, ïóñòü èìåþòñÿ öåíîâûå ïðèðàùåíèÿ x t
x
i
i
( ) , çàäàííûå ñ ëàãàìè t i
è óäîâëåòâîðÿþùèå (3).
Êàê èçâåñòíî [Áóõáèíäåð, ×èñòèëèí (2005)], ñòîõàñòè÷åñêèé ïðîöåññ x(t) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì íàáîðîì ñîâìåñòíûõ ïëîòíîñòåé p
x
t
x
t
N
N
N
(
,
;... ;
,
)
0
0
, çàâèñÿùèõ îò N ïåðåìåííûõ, N .  ñëó÷àå ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ èëè ïðîöåññîâ áåç ïàìÿòè pN
ðàñïàäàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé p
x
t
x
t
i
i
i
i
(
,
|
,
)
1
1
ðåàëèçàöèè x i1 çà
âðåìÿ t i1, åñëè x i ïðîèçîøëî çà âðåìÿ t i :

p
x
t
x
t
p
x
t
p
x
t
N
N
N
i
i
(
,
;...;
,
)
(
,
)
(
,
0
0
0
0
1
1
x
t
i
i
i

N
,
)
0

1
.
(4)

Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (4) ñïðàâåäëèâî ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà âñå x i íåçàâèñèìû äðóã îò
äðóãà. Îäíàêî ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ ïîêàçûâàåò íàëè÷èå íåíóëåâîé
àâòîêîððåëÿöèè âðåìåííîãî ðÿäà hi [Benth (2002)], ò. å. x i , êàê ïðàâèëî, çàâèñèìû. Â òî æå

Рынки ценных бумаг
5

О.Л. Крицкий, Е.С. Лисок

âðåìÿ, åñëè x t( ) — ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, òî áåçóñëîâíàÿ ïëîòíîñòü
p
x
t
x
t
i
i
i
i
(
,
,
,
)
1
1
ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç óñëîâíóþ:

p
x
t
x
t
p
x
t
p
x
t
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
,
,
,
)
(
,
) (
,

1
1
1
1
,
)
t i ,
(5)

ãäå p
x
t
i
i
(
,
)
— îäíîìåðíàÿ ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x i ,
i
N
1,... , , îïðåäåëåííîé (1) ïðè ôèêñèðîâàííîì ëàãå t i .

Íàïðèìåð, äëÿ äâóõ öåíîâûõ ïðèðàùåíèé x1 è x 2, âû÷èñëåííûõ ñ ëàãàìè t
t
1
2
,
,
t
t
1
2
, â îäèíàêîâûå ìîìåíòû âðåìåíè t, âûðàæåíèå (5) áóäåò èìåòü âèä:

p
x
t
x
t
p
x
t p
x
t
x
t
(
,
;
,
)
(
,
) (
,
,
)
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
.

Çíàÿ p
x
t
x
t
i
i
i
i
(
,
,
)
1
1
è p
x
t
i
i
(
,
)
, i
N
1,... ,
ïðè t
t
i
i
,
1
, ïåðâîå óðàâíåíèå
â (3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå óðàâíåíèÿ ÔÏÊ [Hull, White (1987)]:

d
d
p
x
x
D
x
x
D
x
p
(
, )
(
)
(
, )
(
)
(
, )
1

2

2
2
(
, )
x ,
(6)

ãäåT
t
,t
t
T
[
, ]
0
, D
x
1(
, )
è D
x
2(
, )
— êîýôôèöèåíòû äðåéôà è âîëàòèëüíîñòè ïðèðàùåíèé öåí ìîäåëè (3), îïðåäåëÿåìûå êàê ìîìåíòû óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ p
s
x
(
,
|
, )
:

D
x
k
M
k
k
(
, )
!
lim
( )
1

0
,
(7)

M
s
x
p
s
x
d
s
k
k
( )
(
)
(
,
, ) (
)
1
,
(8)

ãäå k 1 2
, ,
— îáëàñòü èçìåíåíèÿ x t( ).

×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå â óðàâíåíèè (8) ìîæåò ïðîâîäèòüñÿ ëþáîé êâàäðàòóðíîé
ôîðìóëîé ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè, íàïðèìåð, ìåòîäîì Ñèìïñîíà [Äåìèäîâè÷, Ìàðîí (1960)]. Êðîìå òîãî, ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñ ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó (7) ïðè 0 óìåíüøàåòñÿ êîëè÷åñòâî èñõîäíûõ äàííûõ, âûáèðàåìûõ äëÿ àíàëèçà, è ðàññ÷èòûâàåìûå êîýôôèöèåíòû D
x
1(
, )
è D
x
2(
, )
ôëóêòóèðóþò. Ïîýòîìó òðåáóåòñÿ âûáèðàòü òàêèå , ÷òîáû îíè
áûëè ìàëû îòíîñèòåëüíî âðåìåíè T, íî, òåì íå ìåíåå, ñðàâíèìû ñ ìèíèìàëüíûì âðåìåíåì
ìåæäó ñäåëêàìè. Íàïðèìåð, â äàííîé ðàáîòå èñïîëüçîâàëèñü çíà÷åíèÿ 2 4 8 16
, , ,
ìèí.
Âòîðîå óðàâíåíèå èç (3) àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (6) ïðè çàìåíå x íà è êîýôôèöèåíòàìè äðåéôà D3 (
, )
è âîëàòèëüíîñòè D4 (
, )
äëÿ ïðèðàùåíèé âîëàòèëüíîñòè:

D
k
M
k
k
(
, )
!
lim
(
)
1

0

2 ,
( 7 )

M
z
J
z
d
z
k
k
( )
(
)
(
,
, ) (
)
1
2
,
( 8 )

ãäå J
z
(
,
|
, )
— ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå,
k 3 4, ,
— îáëàñòü èçìåíåíèÿ ( ).

6
Рынки ценных бумаг Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности

Ïîëó÷åííûå ìàññèâû çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ D
x
1(
, )
, D
x
2(
, )
, D3 (
, )
è D4 (
, )
ïðè ôèêñèðîâàííûõ x i
i
,èñïîëüçóþòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ àïïðîêñèìàöèè è âûÿâëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíî x è . Ïðè ýòîì ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïîëèíîìèàëüíîå ïðèáëèæåíèå ïî x, âçÿòîå â ôîðìå íåëèíåéíîé ïîëèíîìèàëüíîé ðåãðåññèè:

D
a
x
k
i
i

i

n
(
)
0
, k 12, ,

D
b
k
i
i

i

n
(
)
0
, k 3 4
, ,

ãäå ai, bi — êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèîííûõ ìîäåëåé, îöåíêà êîòîðûõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ [Àéâàçÿí, Ìõèòàðÿí (2001)], äëÿ ÷åãî äîëæíà áûòü ñäåëàíà
ïðåäâàðèòåëüíàÿ òðàíñôîðìàöèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â ëèíåéíîå ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííîãî âèäà (
)
x
X
n
n
è (
)
~
n
n
.

Ïóñòü íàéäåíû îöåíêè D
x
1(
, )
è D
x
2(
, )
, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè P
x
1(
)
è P
x
2(
)
ñòåïåíåé m è n ñîîòâåòñòâåííî. Ïîäñòàâëÿåì èõ â óðàâíåíèå ÔÏÊ (6). Òîãäà,
åñëè
m
n
,
(9)

òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÔÏÊ ïðè t âûõîäèò íà ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå îáûêíîâåííîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ:

x
P
x p
x
x
P
x p
x
1
2
1
2
0
(
) (
, )
(
) (
, )
,

êîòîðîå èìååò âèä:

p
x
C
P
x
P
x
P
x
d x
(
, )
(
)
exp
(
)
(
)
2

1

2
,
(10)

ãäå Ñ — êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ èç ýòàëîííîãî óñëîâèÿ:

C
p
x
d x
(
, )
1.

Óðàâíåíèå (10) îïèñûâàåò àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x, èëè ïîâåäåíèå õâîñòîâ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé (3) ìîæíî îöåíèòü òîëüêî òðè ïàðàìåòðà: D
x
1(
, )
, D3 (
, )
è D4 (
, )
.  êà÷åñòâå D
x
2(
, )
òîãäà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî
ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç (3) (
)
(
, ),
(
, )
D
D
3
4
.
Àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó àñèìïòîòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè è íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÔÏÊ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ïðîâîäèòü è äëÿ ñàìèõ öåí x t
x
( ) è èõ âîëàòèëüíîñòè , îïèñûâàåìûõ êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ
ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè (2).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì îöåíêè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè â âèäå ïîëèíîìèàëüíîé çàâèñèìîñòè, äàåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÔÏÊ [Òèõîíîâ, Ñàìàðñêèé
(1977)] è íå îãðàíè÷èâàåò âûáîð âåðîÿòíîñòíîãî çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ.

Рынки ценных бумаг
7

О.Л. Крицкий, Е.С. Лисок

3. Анализ эмпирических данных
Ïðåäëîæåííûé ìåòîä îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ áûë ïðèìåíåí äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëåé (2) è (3) äëÿ ñëåäóþùåãî íàáîðà äàííûõ.
Áûëè èñïîëüçîâàíû òèêîâûå åæåìèíóòíûå äàííûå: 4632 çíà÷åíèé ðóáëåâûõ öåí àêöèé
ÎÀÎ Ãàçïðîì íà ÌÌÂÁ çà ïåðèîä ñ 23 ÿíâàðÿ ïî 13 èþíÿ 2006 ãîäà (äàííûå ïðåäîñòàâëåíû
êîìïàíèåé ÐÁÊ, http://export.rbc.ru), à òàêæå åæåäíåâíûå êîòèðîâêè — 6368 çíà÷åíèé èíäåêñíîãî îïöèîíà SPX íà àìåðèêàíñêèé èíäåêñ Standard&Poor’s 500 ñ 1 ÿíâàðÿ 1980 ãîäà
ïî 31 ìàÿ 2004-ãî (äàííûå ïðåäîñòàâëåíû êîìïàíèåé Chicago Board of Option Exchange,
CBOE; http://www.cboe.com). Îöåíèâàíèå îñóùåñòâëÿëîñü êàê äëÿ öåí è âîëàòèëüíîñòåé,
òàê è äëÿ èõ ïðèðàùåíèé ïðè âðåìåííûõ ëàãàõ 2 4 8 16
, , ,
ìèí. (äíåé) è ëàãîì ïðè ðàñ÷åòå
âîëàòèëüíîñòè t 5. Äèíàìèêà ýòèõ ôèíàíñîâûõ âðåìåííûõ ðÿäîâ ïðåäñòàâëåíà íà
ðèñ. 1 è 2.
Îòìåòèì, ÷òî êîòèðîâêè àêöèé Ãàçïðîìà íà ÌÌÂÁ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
ñðåäíåå — 254,77 ðóá., ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå — 36,5 ðóá., êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè —
0,79, êóðòîñèñ (ýêñöåññ) — 2,44. Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ èíäåêñíîãî îïöèîíà SPX: ñðåäíåå —
527,28 äîëë., ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå — 397,06 äîëë., êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè — 0,82,
êóðòîñèñ (ýêñöåññ) — (–0,68).
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü êîýôôèöèåíòû â ìîäåëÿõ ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè (2) è (3)
ïî ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì áûëè ðàññ÷èòàíû ýìïèðè÷åñêèå îäíîìåðíûå è äâóìåðíûå áåçóñ-
ëîâíûå è óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïðèðàùåíèé ñòîèìîñòåé ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ. Çàòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (7)–(8) è ( 7 )–( 8 ) áûëè ïîëó÷åíû ìàññèâû çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ äðåéôà è äèôôóçèè D
x
1(
, )
, D
x
2(
, )
, D3 (
, )
è D4 (
, )
. Äàëåå ïðè óñëîâèè âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (9) äëÿ ýòèõ îöåíîê áûëè íàéäåíû ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè â âèäå
ïîëèíîìèàëüíîé ðåãðåññèè. Ñòåïåíü ïîëèíîìà âûáèðàëàñü èç ìèíèìóìà îòíîñèòåëüíîé
ïîãðåøíîñòè, íî èñêóññòâåííî îãðàíè÷èâàëàñü, åñëè ïðèíèìàëà ñëèøêîì âûñîêèå çíà÷åíèÿ. Ïîëèíîìèàëüíàÿ ðåãðåññèÿ òðàíñôîðìèðîâàëàñü â ëèíåéíóþ, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû
ïîñëåäíåé îïðåäåëÿëèñü ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ.

8
Рынки ценных бумаг Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности

Ðèñ. 1. Äèíàìèêà ðóáëåâûõ öåí àêöèé ÎÀÎ Ãàçïðîì íà ÌÌÂÁ

Ïðîâåäåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëàãàåìûì ìåòîäîì âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè íàèáîëåå òî÷íî çàäàþòñÿ ïîëèíîìàìè 6–9 ñòåïåíè. Êîýôôèöèåíòû ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè äëÿ ïîëó÷åííûõ ïðèáëèæåíèé ïðèíÿëè çíà÷åíèÿ â äèàïàçîíå
0,85–0,99. Èõ ãðàôè÷åñêèé âèä ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3–6.

Рынки ценных бумаг
9

О.Л. Крицкий, Е.С. Лисок

Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà D1 îò x äëÿ ïðèðàùåíèé èíäåêñíîãî îïöèîíà SPX

Ðèñ. 2. Äèíàìèêà èíäåêñíîãî îïöèîíà SPX íà àìåðèêàíñêèé èíäåêñ Standard&Poor’s 500

Рынки ценных бумаг Асимптотическое оценивание коэффициентов модели стохастической волатильности

Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà D2 îò x äëÿ ïðèðàùåíèé SPX

Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà D1 îò x
äëÿ ïðèðàùåíèé àêöèé ÎÀÎ Ãàçïðîì íà ÌÌÂÁ

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî êîýôôèöèåíòû è äðåéôà, è âîëàòèëüíîñòè ñòðåìÿòñÿ ê íåêîòîðîìó
ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ ïðèt , ñâèäåòåëüñòâóÿ î òîì, ÷òî âîëàòèëüíîñòü è äðåéô ñî âðåìåíåì ñòðåìÿòñÿ ê ïîñòîÿííîìó óðîâíþ, à âåðîÿòíîñòü ýêñòðåìàëüíî áîëüøèõ ñêà÷êîâ èõ
çíà÷åíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, äàííûå òîðãîâîãî äíÿ è åæåäíåâíûõ êîòèðîâîê èìåþò ñõîæåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ê ðàçëè÷íûì òèïàì äàííûõ è ðàçëè÷íûì ðèñêîâûì àêòèâàì êàê íà ðîññèéñêîì, òàê è íà ìèðîâîì ôîíäîâûõ
ðûíêàõ. Êðîìå òîãî, àäåêâàòíîñòü ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëåé
(2) è (3) ñëåäóåò èç îäíîçíà÷íîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÔÏÊ.

4. Заключение

Ïðîâåäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå îöåíèâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîé âîëàòèëüíîñòè, äëÿ ÷åãî àíàëèòè÷åñêè ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå ÔÏÊ (6) ñ ÷èñëåííî îïðåäåëåííûìè
êîýôôèöèåíòàìè (7)–(8) îòíîñèòåëüíî ïðèðàùåíèé öåí è âîëàòèëüíîñòåé, à â äàëüíåéøåì
è ñàìèõ öåí. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ïàðàìåòðîâ ìîäåëè ê íèì ïðèìåíÿåòñÿ íåëèíåéíàÿ ïîëèíîìèàëüíàÿ ðåãðåññèÿ, è íàõîäèòñÿ èõ ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.
Êàê èçâåñòíî, íàèáîëüøèì öåíîâûì êîëåáàíèÿì íà ôèíàíñîâîì ðûíêå ïîäâåðæåíû
âíóòðèäíåâíûå (intraday) êîòèðîâêè ðèñêîâûõ àêòèâîâ, ÷òî ñâÿçàíî ñ ïîñòîÿííî ìåíÿþùèìñÿ èíôîðìàöèîííûì ïîëåì è áîëüøèì ÷èñëîì ó÷àñòâóþùèõ â òîðãàõ ïîêóïàòåëåé è ïðîäàâöîâ, äåéñòâóþùèõ ñîãëàñíî ðàçðàáîòàííûì èìè ñòðàòåãèÿì. Ïîñòðîåííûé àëãîðèòì ïîçâî
Рынки ценных бумаг
11

О.Л. Крицкий, Е.С. Лисок

Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà D2 îò x äëÿ ïðèðàùåíèé àêöèé Ãàçïðîìà