Репетитор по математике для срашеклассников и поступающих в вузы

Абитуриент

Э. Н. Балаян

РЕПЕТИТОР
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ
И ПОСТУПАЮЩИХ
В ВУЗЫ

✓ Задачи трех уровней сложности
(типа А, B, С)
✓ 1000 задач с решениями
✓ 3000 задач для самостоятельного
    решения
✓ Олимпиадные задачи
✓ Тесты для подготовки к ЕГЭ

Издание девятое,
переработанное и дополненное

РостовнаДону
«Феникс»
2010

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
КТК 444
         Б20

Балаян Э. Н.
Б20   Репетитор по математике для срашеклассников
и поступающих в вузы / Э. Н. Балаян. — Изд. 9е,
перераб. и доп. — Ростов н/Д: Феникс, 2010. —
773, [1] с. — (Абитуриент).

ISВN 9785222172841

Книга написана на основе действующей программы по
математике для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Она содержит около 4000 задач, из которых более 1000
даны с решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения.
Каждая глава сопровождается краткими теоретическими сведениями и включает достаточное количество примеров с подробными решениями.
Задачи тщательно подобраны по принципу однородности тем, типов, методов решения и разбиты на две группы по
уровню сложности.
В 12й главе приводятся «нестандартные задачи» к ЕГЭ
(типа С) с решениями и для самостоятельного решения, причем, значительная часть решена различными способами, что
способствует творческой активности учащихся и повышению интереса к изучению математики.
Наличие различных идей и методов решения примеров
и задач, позволяет эффективно подготовиться к олимпиадам
различного уровня, а победителей зачислять в вузы без вступительных испытаний.
В заключительной 13й главе приводятся 10 вариантов
новых тестов для подготовки к ЕГЭ.
Репетитор предназначен выпускникам и абитуриентам
для самостоятельной подготовки к сдаче экзаменов в вузы,
слушателям подготовительных отделений, а также учителям математики и репетиторам.

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729

© Балаян Э. Н., 2010
© ООО «Феникс», оформление, 2010

ISВN 9785222172841

Эдуард Николаевич Балаян — профессор РАЕ,
обладатель серебрянной медали
им. В.И. Вернадского, известный учитель
математики

Светлой памяти заслуженного
учителя РФ Т. Х. Оганесовой
посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию чителя книга предназначена для самостоятельного повторения основных тем
школьного курса математики. Она поможет школьникам старших классов при подготовке к ЕГЭ и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.
Учитывая то, что уровень подготовки каждого выпускника отличается, автор счел необходимым расположить задания для самостоятельного решения по
двум группам – А и Б (за исключением главы 12).
Следует отметить, что задачи группы А по уровню их
сложности примерно соответствуют заданиям базового и среднего уровня, поэтому умение решать задачи
группы А достаточно для получения положительной
оценки на ЕГЭ, но недостаточно для получения более
высокой оценки. Задачи группы Б содержат упражнения, направленные на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований. Эти
задачи предназначены учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению математики. Упражнения этой группы (особенно главы 12) могут быть использованы учителем на факультативных занятиях,
для организации индивидуальной работы на уроках
с сильными учениками, а также в работе математического кружка.
Наличие в книге задач двух уровней несомненно
поможет учителю вести дифференцированное обучение учащихся. Задачи группы Б по сложности примерно соответствуют уровню требований технического вуза.
Назначение предлагаемой книги определило и ее
структуру. Книга состоит из 13 глав. Каждая глава
состоит из нескольких параграфов. Все параграфы
построены в основном по одной и той же схеме. Они
содержат: необходимый справочный материал, задачи с решениями (всего около 1000) и задачи для самостоятельного решения (всего около 3000).

Раздел «Справочные материалы» содержит необходимые формулы, рисунки, методические рекомендации и т. д. Этот раздел является своеобразным консультантом по вопросам теории.
Глава 10 (планиметрия) и глава 11 (стереометрия)
содержат основные сведения из геометрии и достаточное количество задач с подробными решениями и для
самостоятельного решения.
Особо следует отметить 12ю главу «Нестандартные задачи» к ЕГЭ (тип С), посвященную уравнениям высших степеней, нелинейным системам алгебраических уравнений, иррациональным уравнениям и
системам уравнений, тригонометрическим уравнениям, уравнениям и неравенствам с параметрами.
Все задачи этой главы (их около 430) авторские,
составлены в разные годы.
Необходимость включения этой главы объясняется тем, что в последние годы на школьных экзаменах,
а также на вступительных экзаменах в вузы предлагаются задачи, решаемые нешкольными методами.
Они требуют сообразительности, хорошего владения
некоторыми разделами элементарной математики,
психологической подготовки и, конечно, высокой
логической культуры.
Надо отметить, что нет и не может быть универсального метода решения «нестандартных» задач, основная сложность которых – непривычность. В 12й главе приводятся подробные решения различных задач,
причем в некоторых случаях – различные способы
решения, что способствует творческой активности
учащихся и повышению интереса к изучению математики.
Автор рекомендует читателю выбирать вначале те
упражнения, которые соответствуют уровню его математической подготовки, а затем по мере приобретения навыков и умений переходить к более трудным.
12ю главу следует изучать на заключительной стадии подготовки к экзаменам.
Для удобства пользования и контроля знаний в
конце книги приводятся ответы на все задания для
самостоятельного решения.
В последней, 13й главе приводятся 10 новых авторских тестов, написанных в соответствии с новым

кодификатором элементов содержания, спецификация и инструкция по выполнению работы.
В экзаменационную работу не включены задания
с выбором ответа (типа А). Кроме того, по сравнению
с предыдущими моделями экзаменационной работы
уменьшено общее число заданий, одновременно увеличено число заданий с кратким и с развернутыми
ответами.
В заключение отметим, что в рамках одной книги
невозможно рассмотреть весь спектр задач ввиду их
разнообразия, тем более, что развитие элементарной
математики, математики конкурсного экзамена непрерывно продолжается и ее копилка пополняется новыми оригинальными идеями.

Г л а в а  1

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ

§ 1. Выполнение
арифметических действий

При решении задач на выполнение арифметических действий следует прежде всего определить порядок действий и обратить внимание на форму представления чисел. Складывать и вычитать десятичные
дроби легче, чем обыкновенные, тогда как умножать
и делить десятичные дроби, как правило, относительно сложнее, чем обыкновенные.
Поэтому важно выбрать подходящее представление чисел, а затем постараться максимально упростить арифметическое выражение.
Для нахождения наибольшего общего делителя
(НОД) двух (и более) натуральных чисел надо:
1) разложить каждое из данных чисел на простые
множители;
2) найти произведение простых множителей, входящих в каждое из данных чисел (с наименьшим из
показателей, с которыми они встречаются в разложениях).
Если НОД чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Например, числа 8 и 15 взаимно простые, так как НОД (8; 15) = 1.
Для нахождения наименьшего общего кратного
(НОК) двух (и более) натуральных чисел надо:
1) разложить каждое из данных чисел на простые
множители;
2) выписать все множители одного из чисел и дописать все недостающие множители из других чисел,
а затем перемножить их (каждый множитель берет

ся с наибольшим показателем из встречающихся в
разложениях).
Для разложения числа на простые множители
надо:
а) подобрать наименьшее простое число, на которое
делится данное число;
б) представить данное число как произведение найденного простого множителя и некоторого натурального числа;
в) повторяем пункты а) и б) для нового натурального числа до тех пор, пока оно не станет равным единице.

Пример 1. Вычислить: 
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝

⎛
+
−
.

Решение

1) 
=
+
−
=
+
−
= 
;

2) 
=
=
=
=
⋅
⋅
=

=
.

Ответ: 

.

Пример 2. Вычислить:

⎟⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

+
−
⋅
⎟⎟
⎟
⎟

⎠

⎞

⎜⎜
⎜
⎜

⎝

⎛

+

−
⋅
−

+

.

Решение

1) 
=
+
=
+
=
+
;

2) 
=
−
=
−
=
−
;

3) 
=
=
⋅
⋅
=
=
;

4) 

=
−
=
−
=
−
;

5) 

=
+
=
+
;

6) 
=
=
⋅
⋅
=
=
;

7) 

=
⋅
;

8) 
=
−
=
−
=
−
=
−
;

9) 
=
⋅
=
;

10) 2,8 + 5,7 = 8,5;

11) 
=
⋅
=
⋅
;

12) 8,5 : 8,5 = 1.
Ответ: 1.

Пример 3. Разложить на простые множители числа:
а) 320; б) 825.
Решение
а)
б)

   320 = 26 · 5

825 = 3 · 52 · 11.

825
275
55
11
1

3
5
5
11

320
160
80
40
20
10
5
1

2
2
2
2
2
2
5

Пример 4. Найти НОД чисел: а) 12 и 18; б) 280 и 120;
в) 120, 144 и 324.
Решение
а)
12 = 22 · 3
18 = 2 · 32
НОД (12; 18) = 2 · 3 = 6
Ответ: 6.

б)
280 = 23 · 5 · 7
120 = 23 · 3 · 5
НОД (280; 120) = 23 = 8
Ответ: 8.

в)
120 = 23 · 3 · 5
144 = 24 · 32
324 = 22 · 34
НОД (120, 144, 324) =
= 22 · 3 = 12
Ответ: 12.

Пример 5. Найти НОК чисел: а) 12 и 18; б) 270; 315;
300.
Решение
а) 12 = 22 · 3, 18 = 2 · 32.
НОК (12; 18) = 22 · 32 = 36.
Ответ: 36.

б)
270 = 2 · 33 · 5
315 = 32 · 5 · 7
300 = 22 · 3 · 52
НОК (270; 315; 300) =
=22 · 33 · 52 · 7 = 18900
Ответ: 18900.

12
6
3
1

2
2
3

18
9
3
1

2
3
3

280
140
70
35
7
1

2
2
2
5
7

120
60
30
15
5
1

2
2
2
3
5

144
72
36
18
9
3
1

2
2
2
2
3
3

324
162
81
27
9
3
1

2
2
3
3
3
3

270
135
45
15
5
1

2
3
3
3
5

300
150
75
25
5
1

2
2
3
5
5

315
105
35
7
1

3
3
5
7

§ 2. Преобразование алгебраических
выражений

Формулы сокращенного умножения

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – квадрат суммы.
2. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 – квадрат разности.
3. a2 – b2 = (a – b) (a + b) – разность квадратов.
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 +
+ 3ab (a + b) – куб суммы.
5. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 –
– 3ab (a – b) – куб разности.
6. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) – сумма кубов.
7. a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) – разность кубов.

Свойства степеней:
Для любых x, y и a > 0, b > 0 верны равенства:
1. a0 = 1;
2. ax · ay = ax + y;
3. ax : ay = ax – y;

4. (ax)y = axy; 5. (ab)x = axbx;
6.
=
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝

⎛
;

7. 
=
−
; 8. 
=
−
.

Свойства арифметических корней

Для любых натуральных n > 1 и k > 1 и любых
a ≥ 0, b ≥ 0 верны равенства:

1. 
⋅
=
;
2. 
=
 (b≠0);

3. (
)
=
;
4. 
=
;

5. 
=
;
6. (
)
=
 (a ≥ 0);

7. 
<
, если 0 ≤ a < b;

8. 
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
=

9. 
=
;