Модальные теории Яна Лукасевича

Российская Академия Наук
Институт философии
А.А.Ивин
МОДАЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
ЯНА  ЛУКАСЕВИЧА
Москва
2001

ББК 161.1
УДК 87.4 
И-25
В авторской редакции
Рецензенты:
доктор филос. наук А.С.Карпенко
доктор филос. наук В.Н.Переверзев
И-25
Ивин А.А.
Модальные теории Яна Лукасевича. – М., 2001. –
176.
В книге исследуются модальные идеи и теории выдающегося логика ХХ века Я.Лукасевича. В первых двух главах анализируются две построенные им модальные логики (трехзначная и
четырехзначная). В третьей главе предпринимается попытка развить и формализовать его интуитивные представления о детерминизме, истине и причинности. Книга, являющаяся первым в
логической литературе исследованием данного аспекта творчества Лукасевича, содержит новые идеи и логические результаты, касающиеся широко понимаемой модальной логики, прогностических высказываний, онтологических модальностей,
причинности, временной детерминации, каузального определения истины и др.
ISBN 5–201–02063–1
© А.А.Ивин, 2001
© ИФ РАН, 2001

 Предисловие
Начало логическому исследованию модальных понятий было
положено Аристотелем. Описанная им модальная силлогистика
энергично обсуждалась его учениками и комментаторами (Теофрастом, Евдемом, Александром Афродизийским и др.). Им удалось
не только упростить ее и изложить яснее, но и выявить, что наряду
с открытой Аристотелем модальной логикой терминов существует
также более фундаментальная модальная логика высказываний.
Анализ логических связей модальных высказываний, образуемых с помощью таких шести «модусов», как «возможно», «невозможно», «случайно», «необходимо», «истинно» и «ложно», являлся одной из постоянных и важных тем средневековой логики.
Для логики Нового времени была характерна, однако, тенденция к поверхностной и в известной мере пренебрежительной трактовке модальностей: модальная силлогистика Аристотеля не поддавалась рациональной реконструкции, а результаты средневековой
пропозициональной модальной логики были во многом забыты.
Эта тенденция сохранилась и в первый период развития современной (математической) логики (конец XIX – начало XX вв.).
Например, Б. Рассел полагал, что модальные понятия должны относиться не к высказываниям, имеющим определенное истинностное значение, но только к пропозициональным функциям. Деление высказываний на необходимые, возможные и невозможные не имеет ясного смысла и ведет философию к
безнадежному смешению понятий, так как его сторонники не в
состоянии указать, что добавляет понятие необходимости к понятию истины1. Когда в 1912 г. К. Льюис обратил внимание на
так называемые «парадоксы материальной импликации» и предложил первый вариант неклассической теории логического следования, в которой новое понятие строгой импликации определялось в терминах логической невозможности, Рассел обвинил
Льюиса в некомпетентности в вопросах логики. Только на рубеже 20-х годов Льюисом и Лукасевичем были построены первые в
современной логике модальные логики, рассматривавшие понятия
необходимости, возможности, случайности т.п. Тем самым была
возрождена тема модальностей, которой активно занимался еще
Аристотель и средневековые логики.
В 20-е гг. начали складываться также многозначная логика,
предполагающая, что высказывания являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значе3

ния (Лукасевич, Э. Пост); деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных высказываний (Э. Малли, К. Менгер)
и др. Эти новые разделы логики не были непосредственно связаны с математикой и положили начало неклассической логике.
50-60-е гг. ознаменовались новым всплеском идей в модальной логике. В этот период сложилась релевантная логика, претендующая на более адекватное, чем даваемое классической логикой,
описание логического следования (Р. Аккерман, А.Р. Андерсон,
Н.Д. Белнап); логика времени, описывающая логические связи
высказываний, у которых временной параметр включается в логическую формулу (А.Н. Прайор); логика причинности (А. Беркс);
логика предпочтений, имеющая дело с понятиями «лучше», «равноценно», «хуже» (С. Халлден, Г.Х. фон Вригт); логика абсолютных оценок, исследующая логическую структуру и логические связи высказываний с «хорошо», «безразлично», «плохо», (А.А.
Ивин); логика изменения (фон Вригт) и др.
Лукасевич был одним из первых авторов, систематически занявшихся проблематикой модальной логики в рамках современной логики. Первой его работой, посвященной этой теме, являлась статья «О понятии возможности», опубликованная в 1920 г.,
то есть в то самое время, когда Льюисом была дана первая строгая
формулировка его модальной системы S3 2.
В дальнейшем Лукасевич до конца своей жизни сохранял устойчивый интерес к модальной логике. В четырех последних его
работах, написанных в начале 50-х годов, обсуждались именно вопросы, касающиеся построения адекватной логической теории модальностей и ее приложений в арифметике и истории логики. Само
открытие Лукасевичем многозначной логики было связано – что
он сам неоднократно отмечал3 – как раз с его размышлениями о
модальных высказываниях.
Несмотря на то, что работы Лукасевича по модальной логике
занимают значительное место в его творчестве, предложенные им
модальные системы к настоящему времени исследованы слабо и
даже сам общий его подход к построению теории модальностей
пока не был предметом всестороннего анализа. Обсуждались лишь
отдельные особенности модальных логик Лукасевича. Причиной
этого является большое своеобразие как подхода Лукасевича к
модальной логике, так и тех конкретных систем, которые явились
реализацией этого подхода. Интересные идеи Лукасевича, касающиеся детерминизма, временного понятия истины, причинности почти не затрагивались и не связывались с широко понимаемой модальной логикой.
4

В настоящей работе (главы 1, 2) рассматриваются две модальные логики, построенные Лукасевичем: трехзначная логика 1920
г. и четырехзначная логика 1953 г. Основное внимание уделяется
второй из них, так как первая самим Лукасевичем была признана
неудовлетворительной и имеет в настоящее время с точки зрения
модальной логики чисто исторический интерес. Нашей задачей
является не только исследование технических деталей, связанных
с модальными системами, но и выявление особенностей его подхода к построению модальной логики, тех содержательных предпосылок, которыми он руководствовался, строя свои модальные
системы, сопоставление этих систем с другими современными логическими теориями модальностей и с исторической традицией.
Самостоятельной задачей (глава 3) является систематизация
и развитие идей Лукасевича о детерминизме, истине и причинности и построение на этой основе логики детерминизма, каузального определения истины, логики причинности и теории онтологических модальностей.
* * *
Несколько слов о жизни и творчестве Лукасевича (1978-1956).
Лукасевич обучался во Львове (1896-1900) под руководством основателя Львовско-Варшавской школы К. Твардовского. В 1915-1939 гг. Лукасевич – профессор философии в Варшавском университете. Дважды избирался ректором этого университета (1922-1923 и 1931-1932). После второй мировой войны
эмигрировал в Ирландию, где был профессором математической
логики в Королевской академии наук в Дублине.
В научном творчестве Лукасевича можно выделить два этапа:
первый, «философский», приходится на 1902-1918 гг., второй,
«логический», на 1918-1956 гг.4 Как философ, Лукасевич является сторонником научной философии, опирающейся на точные
понятия и ясные методологические принципы, и вместе с тем не
отказывающейся от классических философских проблем, в частности проблем причинности и детерминизма. Приверженность
аналитической философии и неприязнь к философским спекуляциям Лукасевич сохраняет в течение всей своей научной деятельности. Вместе с тем он настаивает на восстановлении аристотелевской традиции в философии и с большим уважением относится к метафизике. «Борьба Юма, и Канта с метафизикой, –
писал он в 1907 г., – не является борьбой с метафизикой. Ни Кант,
5

ни Юм не знали, что такое метафизика; их работы не указывают
на то, что они заглядывали когда-нибудь в Аристотеля… Это не
могло быть их виной; в философии Нового времени в какой-то
момент было утрачено правильное понимание метафизики и за
исключением, может быть, неосхоластов никто сегодня не отдает
себе отчета, как следует понимать эту королеву наук»5. Нет свидетельств того, что Лукасевич, уже как логик, принципиально изменил свои философские воззрения. «Очевидно, он меньше верил в возможность научной метафизики, и определенно не считал, что ее удастся достичь путем обновления аристотелизма, –
пишет Я. Воленьский. – Вместо восхищения Аристотелем как метафизиком появилось восхищение Аристотелем как логиком»6.
Воленьский отмечает, что в Польше утвердилось мнение, что
Львовско-Варшавская школа представляла собой вариант логического эмпиризма; против такой квалификации выступали ведущие представители этой школы – в том числе и Лукасевич.
В книге «О принципе противоречия у Аристотеля» (1910),
посвященной прежде всего философии и истории философии,
Лукасевич формулирует три истолковании закона противоречия:
онтологическое (ни один предмет не может иметь некоторое свойство и не иметь его), логическое (противоречащие друг другу суждения не являются одновременно истинными) и психологическое (два утверждения, которым соответствуют противоречащие
друг другу суждения, не могут вместе существовать в одном и том
же уме). Первые два истолкования Лукасевич считает, вслед за
Аристотелем, логически эквивалентными; психологический
принцип противоречия не выводим, вопреки Аристотелю, из онтологического (или логического) и является слабо обоснованным
и даже сомнительным эмпирическим законом. «Поскольку в применении к вещам принцип противоречия не удается доказать, хотя
он и требует доказательства, это означает, что он не имеет логического значения. Тем не менее он обладает важной практически-этической ценностью, являясь единственной защитой от ошибок и лжи. Поэтому мы должны его принять»7. Отрицание Лукасевичем самоочевидности логического закона противоречия
оказало позднее влияние на формирование идей паранепротиворечивой логики, не содержащей этого закона и не позволяющей
выводить из противоречия все что угодно8.
Наиболее важным достижением Лукасевича является открытие многозначной логики. Размышляя над проблемами детерминизма и свободы воли, он приходит к заключению, что в основе клас6

сической (двузначной) логики лежат принципы, предполагающие
строгий детерминизм. По мысли Лукасевича, высказывания о будущих случайных событиях в момент их произнесения не являются ни истинными, ни ложными, они только возможны, то есть
имеют третье логическое значение. В 1918 г. Лукасевич описывает трехзначную логику, затем обобщает ее до логики с произвольным, но конечным числом значений и, наконец, предлагает бесконечнозначную многозначную логику.
В 1920 г. Лукасевич указывает, что ни один из функторов классической логики высказываний нельзя интерпретировать как возможность и истолковывает свою трехзначную логику как модальную систему9.
В 1927 г. Лукасевич показывает, что стоики явились создателями логики высказываний, и намечает общую программу исследований в области истории логики. Суть этой программы сводится к тому, что вся история логики должна быть пересмотрена с
точки зрения современной логики, дающей ключ к адекватному
пониманию прошлого и аппарат для реконструкции старых идей.
Эффективность этого подхода была продемонстрирована самим
Лукасевичем на примере формализации логики Аристотеля10 .
В дальнейшем в русле данного подхода была постепенно пересмотрена вся история логики11. Это позволило увидеть, например, зачатки логики времени в античной логике, а деонтической
логики – в средневековой логике.
Лукасевичу принадлежат также многие другие интересные
логические результаты. Он ввел бесскобочную логическую символику, названную его именем. Предложил ряд оригинальных
аксиоматизаций классического исчисления высказываний, в том
числе аксиоматизации с единственной аксиомой, с набором самых коротких аксиом и др. Исследовал частичные исчисления
высказываний. Сформулировал исчисление высказываний с переменными функторами и дал на его основе элегантную формализацию интуиционистской логики.
XX век был наиболее продуктивным во всей, более чем двухтысячелетней истории логики. Имя Лукасевича стоит в ряду таких
блестящих логиков этого века, как Б. Рассел, К. Гёдель, А. Тарский, К. Льюис, А. Чёрч, У. Куайн и др.

ГЛАВА 1
ТРЕХЗНАЧНАЯ МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА
1.1. Две задачи построения модальной логики
Интерес К. Льюиса к модальным понятиям был связан прежде всего с анализом определенных «парадоксальных» утверждений классической логики высказываний, не согласующихся с
обычным смыслом слова «импликация». Естественной реакцией
на системы, содержащие «парадоксы», была попытка сформулировать логику, в которой «имплицирует» использовалось бы в
смысле, более близком к привычному. Первой такой логикой явились системы строгой импликации, в которой импликативное
отношение двух высказываний p и q вводилось в качестве сокращения выражения «невозможно p и не-q».
Таким образом, модальности были введены Льюисом в связи со специальной целью построения теории необходимой, или
строгой, импликации, логические законы которой находились
бы в лучшем соответствии с понятием импликации как отношения, оправдывающего выводимость. Сам Льюис таким образом характеризовал стоящую перед ним цель: «… наша задача – развить исчисление, основывающееся на таком значении
понятия «имплицирует», в случае которого выражение «p имплицирует q» было бы синонимично с выражением «p дедуцируемо из q». Отношение материальной импликации, фигурирующее в большинстве логических исчислений высказываний, не
согласуется с этим обычным значением «имплицирует». Оно ведет к таким парадоксам, как «ложное высказывание имплицирует каждое высказывание» и «истинное высказывание имплицируется любым высказывание». С другой стороны, если мы
принимаем, что «p совместимо с q» означает «p не имплицирует
8

ложность q» и «q независимо от p» означает «p не имплицирует
q», то в соответствии с теорией материальной импликации никакие два высказывания не могут быть одновременно совместимыми и независимыми. Как мы увидим, вполне возможно
построить такое исчисление высказываний, которое находится в согласии с обычным значением слова «имплицирует» и
включает отношение совместимости, обладающее обычными
свойствами»12 .
Стоящая перед Льюисом задача усовершенствования импликативного отношения определила характер его подхода к модальным понятиям. До его работ модальности использовались
для выражения онтологических понятий, для проведения различия между необходимыми законами и фактическими данными, миром возможностей и действительным миром и т.д., они
понимались как способ, каким нечто существует или происходит. Льюис принял во внимание только один из тех смыслов, которые присущи модальным понятиям в обычном языке, а именно их логический смысл. Построенные им теории логических модальностей в дальнейшем приобрели самостоятельный интерес,
не связанный с описанием строгой импликации, и были детально исследованы. Отвлекаясь от различий в трактовке этих модальностей, можно сказать, что высказывание логически возможно, если оно не является внутренне противоречивым, и высказывание логически необходимо, если его отрицание логически
невозможно13 .
Лукасевича парадоксы материальной импликации никогда
не интересовали, и он никогда не связывал построение модальной логики с задачей создания непарадоксальной импликации.
Исследование модальных понятий имеет, по мысли Лукасевича, самостоятельный интерес, обусловленный тем, что они выполняют специфические функции в процессе познания и не могут быть замещены никакими иными понятиями. «Модальная
логика, – писал он, – важна как теория возможности. Существуют истинные проблематические высказывания, которые не могли бы быть истинными в качестве ассерторических высказываний. Имеются другие истинные высказывания, которые не могут быть доказаны без введения возможности. Высказывания
обоих этих видов расширяют наше знание, выводя его за пределы множества тех истин, которые могут быть получены с помощью немодальной логики»14 .
9

2.1. Требования к модальной логике
Под модальными высказываниями Лукасевич понимает высказывания, имеющие одну из следующих форм:
(1)
возможно, что p – символически: Mp,
(2)
невозможно, что p – ~Mp,
(3)
возможно, что не-p – M~p,
(4)
невозможно, что не-p – ~M~p
(необходимо, что p),
M соответствует словам «возможно, что», p означает некоторое высказывание15.
Лукасевич выделяет три группы утверждений, касающихся
модальных высказываний и имеющих большую историческую
традицию. К первой из них относятся хорошо известные из истории логики утверждения:
(a)
Ab oportere ad esse valet consequentia (Правильно заключать от должного к тому, что есть),
(b)
Ab esse ad posse valet consequentia (Правильно заключать
от того, что есть, к возможному),
(c)
Ab non posse ad non esse valet consequentia (Правильно заключать от невозможного к несуществующему).
В качестве типичного представителя первой группы Лукасевич избирает утверждение:
I. Если невозможно, что p, то не-p, ~Mp ⊃ ~p.
Ко второй группе относится менее известное, но представляющееся Лукасевичу совершенно очевидным положение Лейбница:
(d)
Unumquodque, quando est, oportet esse (Все, что бы то ни
было, когда оно существует, является необходимым).
Это положение нелегко истолковать правильно. Встречающееся в нем слово «quando» является не условной, а временной частицей. Лукасевич думает, однако, что временная форма переходит в условную, когда в высказываниях, содержащих ссылку на
время, указание времени включается в содержание высказываний.
Основываясь на этом, он в качестве типичного представителя второй группы модальных утверждений, включающей положение
Лейбница и связанные с ним положения, избирает условное высказывание:
II. Если предполагается, что не-p, то (в силу этого положения)
невозможно, что p; ~p ⊃ ~Mp.
10