Коммутативные нормированные кольца

УДК 512.2
ББК 22.144
Г 32

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 10-01-07053

Ге л ь ф а н д
И. М.,
Р а й к о в
Д. А.,
Ш и л о в
Г. Е.
Коммутативные
нормированные
кольца.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ,
2011.
—
260
с.
—
ISBN 978-5-9221-1331-1.

В предлагаемой книге излагается теория коммутативных нормированных
колец с ее применениями к анализу и топологии. В конце книги в виде
приложения воспроизведена статья И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка «Нормированные кольца с инволюцией и их представления», могущая служить
введением в теорию некоммутативных нормированных колец с инволюцией.
Книга рассчитана на математиков (студентов старших курсов, аспирантов
и научных работников), занимающихся функциональным анализом и его приложениями.

ISBN 978-5-9221-1331-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2011

c⃝ И. М. Гельфанд, Д. А. Райков,
Г. Е. Шилов, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
6

ЧАСТЬ I

Г л а в а 1. Общая теория коммутативных нормированных колец . .. .
8

§ 1. Понятие нормированного кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
8
§ 2. Максимальные идеалы . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
13
§ 3. Абстрактные аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
20
§ 4. Функции на максимальных идеалах. Радикал кольца. . . .. . . .. .. .. .
22
§ 5. Пространство максимальных идеалов . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
29
§ 6. Аналитические функции от элемента кольца . . . . . . .. . . . . .. .. .. .
37

§ 7. Кольцо R функций x(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
41
§ 8. Кольца с инволюцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
46

Г л а в а 2. Общая
теория коммутативных
нормированных
колец
(продолжение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
55

§ 9. Связь между алгебраическим и топологическим изоморфизмами . .
55
§ 10. Обобщенные делители нуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
57
§ 11. Граница пространства максимальных идеалов. . . . . . . . . . . .. .. .. .
61
§ 12. Расширение максимальных идеалов . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
65
§ 13. Локально аналитические операции над несколькими элементами
кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
68
§ 14. Разложение нормированного кольца в прямую сумму идеалов . .. .. .
81
§ 15. Нормированное
пространство,
сопряженное
к
нормированному
кольцу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
83

Оглавление

ЧАСТЬ II

Г л а в а 3. Кольца абсолютно интегрируемых функций и их дискретные аналоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
86

§ 16. Кольцо V абсолютно интегрируемых функций на прямой . . . .. .. .. .
86
§ 17. Максимальные идеалы колец V и V+ . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
91
§ 18. Кольца абсолютно интегрируемых функций с весом. . . .. . . . .. .. .. .
98
§ 19. Дискретные аналоги колец абсолютно интегрируемых функций . .. .
101

Г л а в а 4. Гармонический анализ на коммутативных локально бикомпактных группах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
106

§ 20. Групповое кольцо коммутативной локально бикомпактной группы
108
§ 21. Максимальные идеалы группового кольца и характеры группы . .. .
114
§ 22. Теорема единственности для преобразования Фурье и достаточность множества характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
120
§ 23. Группа характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
125
§ 24. Инвариантный интеграл на группе характеров . . . . . . . . . . .. .. .. .
129
§ 25. Формулы обращения для преобразования Фурье . . . . . . . . . .. .. .. .
135
§ 26. Понтрягинский закон двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
140
§ 27. Положительно определенные функции. . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
142

Г л а в а 5. Кольцо функций с ограниченным изменением на прямой
147

§ 28. Функции с ограниченным изменением на прямой . . . . . . . . .. .. .. .
147
§ 29. Кольцо функций скачков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
149
§ 30. Абсолютно непрерывные и дискретные максимальные идеалы кольца V (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
157
§ 31. Сингулярные максимальные идеалы кольца V (b) . . . . . . . . . .. .. .. .
161
§ 32. Совершенные множества с линейно независимыми точками. Несимметричность кольца V (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
169

§ 33. Общий вид максимальных идеалов кольца V (b) . . . . . . . . . .. .. .. .
173

ЧАСТЬ III

Г л а в а 6. Регулярные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
177

§ 34. Определения, примеры и простейшие свойства . . . . . . . . . . .. .. .. .
177
§ 35. Локальная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
181
§ 36. Наименьшие идеалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
183

Оглавление
5

§ 37. Примарные идеалы. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
185
§ 38. Локально изоморфные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
187
§ 39. Связь между кольцами вычетов двух вложенных одно в другое
колец функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
189
§ 40. Тауберова теорема Винера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
191
§ 41. Примарные идеалы в однородных кольцах функций. . . . . . . .. .. .. .
193
§ 42. Замечания о любых замкнутых идеалах. Пример Л. Шварца. .. .. .. .
197

Г л а в а 7. Кольца с равномерной сходимостью . . . . . . . . . . . .. .. .. .
200
§ 43. Симметричные подкольца кольца C(S) и бикомпактные расширения пространства S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
200
§ 44. Вопрос о произвольных замкнутых подкольцах кольца C(S). .. .. .. .
204
§ 45. Идеалы в кольцах с равномерной сходимостью . . . . . .. . . . . .. .. .. .
211

Историко-литературные указания . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
217
Цитированная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
219

П р и л о ж е н и е. И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк. Нормированные
кольца с инволюцией и их представления . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
223
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
257

Предисловие

Настоящая книга посвящена изложению одного из разделов функционального анализа — теории коммутативных нормированных колец
с главнейшими ее применениями. В основе книги лежит наша статья,
написанная для «Успехов математических наук» в 1940 г. по горячим
следам событий начального периода развития этой теории. Обстоятельства военного времени сильно задержали опубликование статьи;
она была напечатана лишь в 1946 г. и притом из-за недостатка места
в сокращенном виде. В настоящей книге восстановлены (вернее, заново
написаны) некоторые опущенные разделы этой статьи (относящиеся
к гармоническому анализу на группах и регулярным кольцам) и изложен ряд результатов, полученных уже после опубликования статьи.
Кроме того, отчасти в связи с этим, существенно переделана и б´ольшая
часть старого текста.
Книга состоит из трех частей. Часть I, посвященная общей теории
коммутативных нормированных колец, разбита на две главы, первая
из которых содержит основы теории, вторая же посвящена более специальным ее вопросам. Наиболее существенным новшеством является
здесь распространение операционного исчисления на неоднолистные
аналитические функции от нескольких переменных (§ 13). Часть II,
посвященная применениям к гармоническому анализу, распадается на
три главы. В первой из них (гл. III) рассматривается кольцо абсолютно интегрируемых функций на прямой со свертыванием в качестве
умножения и находятся максимальные идеалы этого кольца (а также
некоторых его аналогов). В следующей главе (гл. IV) эти результаты
переносятся на произвольные коммутативные локально бикомпактные
группы и кладутся в основу построения гармонического анализа и теории характеров; новшеством являются здесь построение инвариантной
меры на группе характеров и доказательство формул обращения для
преобразования Фурье, совершенно не основывающиеся на теоремах
о представлении положительно определенных функций или положительных функционалов; в связи с этим и рассмотрение положительно
определенных функций перенесено в самый конец главы. Наконец,
последняя глава второй части (гл. V) — наиболее специальная из
всех глав книги — посвящена исследованию кольца функций с ограниченным изменением на прямой с умножением, определенным как
свертывание; основным добавлением к старому тексту является здесь
полное описание максимальных идеалов этого кольца. Последняя часть
книги — третья — распадается на две главы, посвященные рассмотрению двух важных классов колец функций: регулярных колец (гл. VI)
и колец с равномерной сходимостью (гл. VII). В первой из этих
глав изучается в основном строение идеалов в регулярных кольцах;

Предисловие
7

в качестве одного из применений доказывается в обобщенном виде
известная тауберова теорема Винера; глава заключается найденным
Л. Шварцем примером кольца функций, обладающего замкнутыми
идеалами, непредставимыми в виде пересечения максимальных идеалов. В последней главе (гл. VII) рассматриваются кольца C(S) всех
ограниченных непрерывных комплексных функций на вполне регулярных пространствах S и различные их подкольца; первый параграф
воспроизводит здесь (хотя и в совершенно новой редакции) результаты, содержавшиеся в статье: установление естественного соответствия
между бикомпактными расширениями вполне регулярного пространства S и симметричными подкольцами кольца C(S); остальные два
параграфа (посвященные произвольным подкольцам колец C(S) и их
идеалам) содержат преимущественно новые результаты 1).
Поскольку для теоретико-групповых применений важны некоммутативные нормированные кольца с инволюцией, в конце книги в виде приложения воспроизводится с некоторыми сокращениями статья
И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка «Нормированные кольца с инволюцией и их представления». Читатель, желающий подробнее ознакомиться с теорией некоммутативных нормированных колец, может найти обстоятельное изложение ее в большой монографии М. А. Наймарка
«Нормированные кольца». Эта монография содержит также изложение основ теории коммутативных нормированных колец, не касаясь,
однако, большинства ее аналитических применений. То же замечание
можно сделать и по поводу книги Л. Люмиса «Введение в абстрактный
гармонический анализ».
У читателя предполагается знание элементов теории нормированных пространств и теоретико-множественной топологии. Для понимания четвертой главы требуется еще знать, что такое топологическая
группа. Разумеется, основные понятия теории меры и интеграла Лебега
также предполагаются известными.
Чтобы не прерывать изложения, историко-литературные указания
выделены в конец книги. Цифры в квадратных скобках относятся
к списку литературы, приложенному к историко-литературным указаниям.

И. М. Гельфанд,
Д. А. Райков,
Г. Е. Шилов

1) Зависимость между главами книги такова. На главу I существенно опираются все дальнейшие главы. От главы II зависят лишь глава VI (опирающаяся
на § 9) и одно место § 44 (глава VII), опирающееся на § 14; кроме того,
в мелком шрифте главы III имеются две ссылки на § 13. От главы III зависят
главы IV и V (опирающиеся на §§ 16 и 17) и мелкий шрифт главы VI (где
в § 41 имеется ссылка также на § 19). Главы IV и V независимы, и дальнейшие
главы на них не опираются. На главу VI опираются последние два параграфа
главы VII.

ЧАСТЬ I

Г л а в а 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КОММУТАТИВНЫХ

НОРМИРОВАННЫХ КОЛЕЦ

§ 1. Понятие нормированного кольца

О п р е д е л е н и е 1. Нормированным кольцом 1) называется комплексное банаховское пространство, для элементов которого определено ассоциативное умножение, перестановочное с умножением на
комплексные числа, дистрибутивное относительно сложения и непрерывное по каждому множителю.
В дальнейшем мы будем предполагать, что умножение коммутативно.
Каждое нормированное кольцо, не содержащее единицы e относительно умножения, можно дополнить до нормированного кольца
с единицей, формально присоединив последнюю, т. е. образовав кольцо
формальных сумм λe + x, где λ пробегает все комплексные числа,
x — все элементы рассматриваемого кольца, а e есть присоединенная
единица; операции в расширенном кольце определяются естественным

1) В другой терминологии: банаховской алгеброй. Всюду в дальнейшем под
«кольцом» понимается алгебра над телом комплексных чисел.

§ 1. Понятие нормированного кольца
9

образом:

(λe + x) + (µe + y) = (λ + µ) e + (x + y),
µ(λe + x) = µλe + µx,
(λe + x)(µe + y) = λµe + (µx + λy + xy),

норма же задается формулой

∥λe + x∥ = |λ| + ∥x∥.

Поэтому при построении общей теории нормированных колец можно
ограничиться рассмотрением нормированных колец с единицей, что
мы и будем делать.
Приведем несколько примеров нормированных колец.
1◦. Пусть C — пространство всех комплексных функций, определенных и непрерывных на отрезке [0, 1], наделенное нормой ∥x∥ =
= max
0⩽t⩽1 |x(t)|. C есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1)

относительно обычного умножения (очевидно, удовлетворяющего всем
условиям определения 1).
2◦. Пусть Dn — пространство всех комплексных функций, определенных и обладающих непрерывной n-й производной на отрезке [0, 1],
наделенное нормой

∥x∥ =

n
k=0
max
0⩽t⩽1 |x(k)(t)|.
(1)

Dn есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1) относительно
обычного умножения (которое, как нетрудно проверить, непрерывно
в норме (1) по совокупности обоих сомножителей и, очевидно, удовлетворяет также всем остальным условиям определения 1).
3◦. Пусть W — пространство всех комплексных функций вещественного переменного, разложимых в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд, наделенное нормой

∥z∥ =

∞
n=−∞
cneint
=
∞
n=−∞
|cn|
(2)

(однозначно определяемой вместе с этим рядом его суммой z = z(t)).
Если
x(t) =
∞
k=−∞
akeikt ∈ W
и
y(t) =
∞
k=−∞
bleilt ∈ W,

то также z(t) = x(t)y(t) ∈ W. Действительно, произведение абсолютно

сходящихся рядов
∞
k=−∞
akeikt и
∞
l=−∞
bleilt есть абсолютно сходящийся

Гл. 1. Общая теория коммутативных нормированных колец

ряд
∞
n=−∞
cneint, где

cn =
k+l=n
akbl =
∞
l=−∞
an−lbl.

Так как при этом

∥z∥ =
∞
n=−∞
|cn| ⩽
∞
n=−∞

∞
l=−∞
|an−l| |bl| =

=
∞
l=−∞

∞
n=−∞
|an−l|

|bl| =

=
∞
k=−∞
|ak|
∞
l=−∞
|bl| = ∥x∥ ∥y∥,

то умножение непрерывно в норме (2) по совокупности обоих сомножителей. Тем самым W есть нормированное кольцо (с единицей x(t) ≡ 1)
относительно обычного умножения.
4◦. Пусть I(n) — кольцо с единицей, порожденное оператором дифференцирования D в пространстве полиномов степени ⩽ n от одного
переменного с комплексными коэффициентами. Так как Dn+1 = 0, то

элементами этого кольца являются всевозможные полиномы
nk=0
akDk,

где ak — произвольные комплексные числа и D0 — единичный оператор. Положим
n
k=0
akDk
=
n
k=0
|ak|.

Тогда I(n) будет нормированным кольцом относительно умножения
операторов с единицей e = D0.
5◦. Пусть L1(0, 1) — пространство всех абсолютно интегрируемых
измеримых комплексных функций на отрезке [0, 1], наделенное нормой

∥x∥ =
10
|x(t)| dt. С помощью теоремы Фубини о связи двойного инте
грала Лебега с повторными можно показать, что, каковы бы ни были
функции x(t) и y(t) из L1(0, 1), их «свертка»

(x ∗ y)(t) =

t0
x(t − τ) y(τ) dτ
(0 ⩽ t ⩽ 1)
(3)

существует почти для всех t и принадлежит L1(0, 1), а операция
«свертывания» (3) ассоциативна 1). Эта операция, очевидно, билинейна,

1) Подробнее об этом см. § 16.