Математический анализ: Производные графики функций

А.А.ТУГАНБАЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ПРОИЗВОДНЫЕИГРАФИКИ
ФУНКЦИЙ
Учебноепособие
2-е издание, дополненное
Москва
Издательство"ФЛИНТА"
2013

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
   Т81
Туганбаев А.А.
Т81
Математический 
анализ: 
Производные 
графики 
функций 
[Электронный ресурс]: учеб. пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 
2013. — 93 с.
ISBN 978-5-9765-1305-1
В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа:
теория и практическое вычисление производных, построение графиков. Книга
соответствует программам курсов математического анализа для студентов
различных нематематических специальностей и может выполнять функции
учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных
заведений.
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-1305-1 
© Издательство «ФЛИНТА», 2013 

Содержание
1. Производные
4
1.1. Свойства производных
. . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Производные элементарных функций . . . . . . .
12
1.3. Задачи с краткими решениями . . . . . . . . . . .
14
2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя и
Тейлора
18
2.1. Теоремы Ферма и Ролля
. . . . . . . . . . . . . .
18
2.2. Теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя . . . . . .
19
2.3. Формулы Тейлора и Маклорена . . . . . . . . . .
23
3. Исследование функций и их графиков
30
3.1. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2. Условия возрастания и убывания функции . . . .
31
3.3. Точки максимума и минимума . . . . . . . . . . .
33
3.4. Направления вогнутости графика . . . . . . . . .
38
3.5. Задачи с краткими решениями по графикам . . .
41
3.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . .
58
4. Контрольные вопросы и задания
63
4.1. Производные и исследование функций . . . . . .
63
4.2. Исследование функций и их графиков
. . . . . .
79
5. Приложения
84
5.1. Приложение 1: Пределы и непрерывность
. . . .
84
5.2. Приложение 2: Простейшие элементарные функции 85
5.3. Приложение 3: Справочный материал
. . . . . .
90
3

1.
Производные
1.1.
Свойства производных
1.1.1. Односторонние производные. Если для функции y =
∆x
(соf(x) существует правый предел
lim
∆x→0+
f(x0 + ∆x) −f(x0)
∆x
), то он называется
отв. левый предел
lim
∆x→0−
f(x0 + ∆x) −f(x0)
правой производной (соотв. левой производной ) функции f(x)
в точке x0 и обозначается через f ′
+(x0) (соотв. f ′
−(x0)).
1.1.2. Производная. Если для функции f(x) существует предел lim
x→x0
f(x) −f(x0)
x −x0
, то этот предел называется производной
(или первой производной) функции f(x) в точке x0 и обозначается через f ′(x0), y′(x0) или d
f
dx(x0).
Обозначим ∆x = x−x0, ∆y = f(x)−f(x0) = f(x0 +∆x)−f(x0).
Тогда
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x.
f ′(x0) = y′(x0) = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x) −f(x0)
Переходя
от
x0
к
x,
получаем,
что
f ′(x)
=
lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f(x)
∆x
.
Так
как
существование
предела
функции в точке равносильно тому, что в этой точке оба
односторонних предела существуют и совпадают, то
f ′(x0) существует в точности тогда, когда f ′
+(x0) и f ′
−(x0)
существуют и равны между собой; тогда f ′(x0) = f ′
+(x0) =
f ′
−(x0).
1.1.3. Дифференцируемые функции и дифференциал.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ее
приращение можно записать в виде
f(x + ∆x) −f(x) = A(x)∆x + o(∆x),
где A(x) не зависит от ∆x. В этих условиях выражение A(x)∆x
называется дифференциалом (или первым дифференциалом)
функции f(x) в точке x и обозначается через d
f(x) или dy.
1.1.4. ∆x = dx. Дифференциал независимой переменной равен
ее приращению. Иными словами, если f(x) = x, то d
f(x) =
∆x = dx.
4

◁Для функции y = x можно написать ∆y = (x + ∆x) −x =
1 · ∆x + 0 · ∆x. Поэтому dx = ∆x. ▷
1.1.5. Cовпадение функций, имеющих производную, и
дифференцируемых функций.
1) Если
функция
f(x)
дифференцируема
в
точке
x,
то
f(x)
имеет
в
точке
x
производную,
причем
d
f(x) = f ′(x)∆x = f ′(x)dx.
2) Если функция f(x) имеет в точке x производную, то в этой
точке f(x) дифференцируема.
◁1). Так как f(x) дифференцируема, то f(x + ∆x) −f(x) =
= A(x)∆x+α(∆x)∆x, где A(x) не зависит от ∆x и lim
∆x→0α(∆x) =
0. Тогда
∆x
= f ′(x),
A(x) = lim
∆x→0(A(x) + α(∆x)) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f(x)
т.е. производная f ′(x) существует и равна A(x). По 1.1.4 ∆x =
dx, откуда d
f(x) = f ′(x)∆x = f ′(x)dx.
2).
Так
как
f(x)
имеет
производную
∆x
, то в силу утверждения 5.1.2
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f(x)
из Приложения 1 существует такая функция
α(∆x), что
lim
∆x→0α(∆x) = 0 и
f(x + ∆x) −f(x)
∆x
= f ′(x) + α(∆x). Домножая это равенство на
∆x, получаем, что приращение f(x+∆x)−f(x) можно записать
в виде
f(x + ∆x) −f(x)
∆x
∆x = f ′(x)∆x + α(∆x)∆x. Поэтому f(x) дифференцируема. ▷
1.1.6. Непрерывность и дифференцируемость. Каждая
функция f(x), имеющая в точке x производную, непрерывна
в x. Кроме того, существует непрерывная в точке x функция
без производной в этой точке.
◁1). Пусть f(x) имеет в точке x производную. В силу 1.1.5 f(x)
дифференцируема в точке x и поэтому
lim
∆x→0(f(x + ∆x) −f(x)) = lim
∆x→0 ((A(x) + α(∆x)) ∆x) =
= lim
∆x→0 (A(x) + α(∆x)) · lim
∆x→0 (∆x) = A(x) · 0 = 0.
5

Так как непрерывность f(x) равносильна тому, что lim
∆x→0∆y = 0,
то получаем требуемое утверждение.
2). Рассмотрим, например, функцию f(x) = |x| в точке x = 0.
Тогда
lim
∆x→0|f(x + ∆x) −f(x)| = lim
∆x→0 ||x + ∆x| −|x|| ≤lim
∆x→0 |∆x| = 0.
Поэтому lim
∆x→0(f(x + ∆x) −f(x)) = 0 и функция |x| непрерывна
в любой точке x. С другой стороны,
∆x
= 1,
lim
∆x→0+
f(0 + ∆x) −f(0)
∆x
=
lim
∆x→0+
(0 + ∆x) −0
∆x
= −1,
∆x
=
lim
∆x→0−
−(0 + ∆x) −0
lim
∆x→0−
f(0 + ∆x) −f(0)
и поэтому в точке x = 0 производная |x|′ не существует. ▷
1.1.7. Касательная, нормаль и геометрический смысл
производной
и
дифференциала.
Рассмотрим
точки
A(x, f(x)) и B(x+∆x, f(x+∆x)) на графике функции y = f(x)
и прямую LAB, проходящую через точки A и B под углом ϕ
к оси OX. Если существует такая прямая LAC, проходящая
через точку A и образующая угол α с осью OX, что lim
∆x→0 ϕ = α
(т.е. угол между прямыми LAB и LAC стремится к нулю при
любом стремлении точки B на графике к точке A), то прямая
LAC называется касательной к графику функции y = f(x) в
точке A. В случае, когда α = π
2 , касательная LAC называется
вертикальной, а в случае, когда α ̸= π
2 , касательная LAC
называется невертикальной. Прямая, проходящая через точку
A и перпендикулярная к касательной к графику y = f(x) в
точке A, называется нормалью к графику в точке A.
Существование невертикальной касательной LAC равносильно
тому, что
∆x
= f ′(x).
tg α = lim
∆x→0 tg ϕ = lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f(x)
Поэтому существование в точке A невертикальной касательной к графику функции y = f(x) равносильно существованию в
точке x производной f ′(x), причем геометрический смысл производной f ′(x) заключается в том, что она равна тангенсу
угла наклона этой касательной к оси OX.
6

В этом случае дифференциал dy = d
f(x) в точке x равен
f ′(x)∆x = |CD|, где D  точка пересечения проходящей через A
горизонтальной прямой и проходящей через точку B вертикальной прямой, а C  точка пересечения касательной с проходящей
через точку B вертикальной прямой.
Поэтому геометрический смысл дифференциала заключается в
том, что
дифференциал равен приращению ординаты точки касательной к графику функции y = f(x) в точке A при изменении
абсциссы точки касательной от x до x + ∆x.
y
6
B
C
A
D
α
ϕ


-
0
x x + ∆x
Допустим, что существует f ′(x0). Так как f ′(x0) совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику в точке (x0, f(x0)),
то уравнение невертикальной касательной к графику y = f(x)
в точке (x0, f(x0)) имеет вид
y = f(x0) + f ′(x0)(x −x0).
В этом случае уравнение нормали к графику y = f(x) в точке
(x0, f(x0)) имеет вид
y = f(x0) −
1
f ′(x0)(x −x0) при f ′(x0) ̸= 0 и x = x0 при f ′(x0) = 0.
1.1.8. Производная постоянной функции f(x) = C равна нулю.
∆x
= 0. ▷
∆x
= lim
∆x→0
C −C
◁C′ = lim
∆x→0
f(x + ∆x) −f(x)
1.1.9. Свойства производных. Пусть функция v(x) имеет
производную в точке x.
1) Если C  число, то функция C · v(x) имеет производную
C · v′(x).
v
2) Если v(x) ̸= 0 в точке x, то в этой точке производная
1
′
v2.
существует и равна −v′
7

3) Пусть u(x)  еще одна функция, имеющая в той же точке
x производную. Тогда функции u(x)+v(x), u(x)v(x) имеют
в точке x производные, причем (u + v)′ = u′ + v′, (uv)′ =
u′v + uv′.
v
v2
.
Кроме того, если v(x) ̸= 0, то
u
′
= u′v −uv′
∆x
=
◁1). (Cv(x))′ = lim
∆x→0
Cv(x + ∆x) −Cv(x)
∆x
= Cv′(x).
= C · lim
∆x→0
v(x + ∆x) −v(x)
2). Так как дифференцируемая функция v непрерывна и v(x) ̸=
0, то в x функция 1
v(x + ∆x) =
1
v(x).
v непрерывна, т.е.
lim
∆x→0
1
Поэтому
1
v(x)
v(x + ∆x) −
1
v
v(x + ∆x)v(x)∆x =
∆x
= lim
∆x→0
v(x) −v(x + ∆x)
′
= lim
∆x→0
1
v2(x).
v(x) = −v′(x)
∆x
· lim
∆x→0
1
= −lim
∆x→0
v(x + ∆x) −v(x)
v(x + ∆x) · lim
∆x→0
1
∆x
=
3). Ясно, что (u + v)′ = lim
∆x→0
u(x + ∆x) + v(x + ∆x) −u(x) −v(x)
∆x
= u′(x) + v′(x),
= lim
∆x→0
u(x + ∆x) −u(x)
∆x
+ lim
∆x→0
v(x + ∆x) −v(x)
∆x
=
(uv)′ = lim
∆x→0
u(x + ∆x)v(x + ∆x) −u(x)v(x)
∆x
+
= lim
∆x→0
u(x + ∆x)v(x + ∆x) −u(x)v(x + ∆x)
∆x
=
+ lim
∆x→0
u(x)v(x + ∆x) −u(x)v(x)
∆x
=
= lim
∆x→0
u(x + ∆x) −u(x)
∆x
· lim
∆x→0v(x + ∆x) + u(x) · lim
∆x→0
v(x + ∆x) −v(x)
= u′v + uv′.
Из 2) и равенства (uv)′ = u′v + uv′ следует, что
v
v
v2
v2
. ▷
′
= u′ 1
v + u

−v′

= u′v −uv′
u
′
=

u1
8

1.1.10. Производная сложной функции. Если функция u =
u(x) имеет производную в точке x0 и функция y = y(u) имеет
производную в точке u0 = u(x0), то сложная функция f(u(x))
имеет производную в точке x0 и
d
d
dx.
du · du
dx (y[u(x)])




x=x0
= d
du (y(u))




u=u0
dx{u(x)}




x=x0
, т.е.
dy
dx = dy
◁Придадим значению x = x0 приращение ∆x. Тогда функция
u = ϕ(x) получит приращение ∆u, что, в свою очередь, при
∆u ̸= 0 вызовет приращение ∆y функции y = f(u). В силу 1.1.5
функция y(u) дифференцируема и поэтому
∆y = f ′(u0)∆u + α(∆u)∆u,
где
lim
∆u→0α(∆u) = 0.
(∗)
Положим α(0) = 0. Тогда функция α(∆u) непрерывна при ∆u =
0. Разделим равенство (∗) на ∆x ̸= 0 и перейдем к пределу при
∆x →0.
Тогда
∆x + α(∆u)∆u
∆x
lim
∆x→0
∆y
∆x = lim
∆x→0

.
(∗∗)

f ′(u0)∆u
В силу непрерывности дифференцируемых функций lim
∆x→0∆u =
∆x
0. Тогда lim
∆x→0α(∆x) = 0,
lim
∆x→0
∆u

= ϕ′(u0) и получаем требуемое утверждение. ▷
1.1.11. Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть функция y = y(u) дифференцируема в точке u. Если
u  не независимая переменная, а дифференцируемая в точке
x функция u = u(x), то дифференциал dy сложной функции
y(u(x)) имеет тот же вид dy = y′(u)du = y′(u(x))u′(x)dx.
1.1.11 следует из 1.1.10 и 1.1.5.
1.1.12. Взаимно однозначные и обратные отображения
и функции. Отображение f : X →Y называется взаимно однозначным, если для любого y ∈Y найдется в точности один
элемент x ∈X с условием f(x) = y; такой элемент x обозначается через f −1(y).
Для любого взаимно однозначного отображения f : X →Y правилом x = f −1(y) определяется взаимно однозначное отображение f −1 : Y →X, называемое обратным отображением для f,
причем f −1(f(x)) = x для всех x ∈X и f(f −1(y)) для всех
y ∈Y . Поэтому f  обратное отображение для f −1.
9

Пусть функция y = f(x) взаимно однозначно отображает промежуток Dx оси Ox на промежуток Dy оси Oy. На промежутке
Dy зададим функцию x = ϕ(y), сопоставляя каждому y ∈D то
единственное значение x ∈D, для которого f(x) = y. Функция
x = ϕ(y) называется обратной функцией для y = f(x) и взаимно однозначно отображает промежуток Dy на промежуток Dx.
Заметим, что функция y = f(x) является обратной функцией
для функции x = ϕ(y) и ϕ(f(x)) = x, f(ϕ(y)) = y для любых
x ∈Dx и y ∈Dy.
1.1.13. Существование и непрерывность обратной функции.1 Пусть функция y = f(x) непрерывна и строго возрастает
(строго убывает) на отрезке [a, b], f(a) = α и f(b) = β. Тогда
на отрезке [α, β] (отрезке [β, α]) определена непрерывная строго
возрастающая (строго убывающая) функция x = ϕ(y), являющаяся обратной функцией для функции y = f(x).
1.1.14. Производная обратной функции. Пусть функция
f(x) имеет ненулевую производную f ′(x0) в точке x0, причем
f(x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) в некоторой окрестности x0. Тогда для обратной функции x = ϕ(y)
в соответствующей точке y0 = f(x0) существует производная,
равная
1
f ′(x0).
◁По 1.1.13 на отрезке [α, β] (отрезке [β, α]) определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция x =
ϕ(y), являющаяся обратной функцией для y = f(x). Придавая
значению y = y0 приращение ∆y, получим приращение ∆x обратной функции x = ϕ(y). Так как функция y = f(x) строго
возрастает (строго убывает), то ∆x ̸= 0 при ∆y ̸= 0. Поэтому
∆x
∆y =
1
∆y/∆x.
(∗)
В силу непрерывности обратной функции
lim
∆y→0∆x = 0. Поэтому знаменатель правой части равенства (∗) стремится к пределу f ′(x0) ̸= 0. Тогда существует предел и левой части (∗),
равный производной функции x = ϕ(y) в точке y0. Поэтому
ϕ′(y0) =
1
f ′(x0). ▷
1.1.15. Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f(x) имеет производную f ′(x) на интервале
11.1.13 приводится без доказательства.
10