Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными слагаемыми. (Усреднение и асимптотики)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования

«ЮжНыЙ ФЕДЕРАЛЬНыЙ уНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

В. Б. Левенштам

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
 С БОЛЬШИМИ ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ

 СЛАГАЕМЫМИ

(Усреднение и асимптотики)

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2008

уДК 517.928
ББК 22.161.6
       Л 35

Печатается по решению редакционно-издательского

 совета Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор технических наук, главный научный сотрудник 

Южного научного центра РАН Ильичев В. Г.,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры 

дифференциальных и интегральных уравнений 

Южного федерального университета Карапетянц А. Н.

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта «Образование» по «Программе развития федерального государственного образова
тельного учреждения высшего профессионального образования 

«Южный федеральный университет на 2007–2010 гг.»

Левенштам В. Б.

Дифференциальные уравнения с большими высокочастотными 

слагаемыми. (усреднение и асимптотики) / В. Б. Левенштам. – 
Ростов н/Д: Изд-во ЮФу, 2008. – 368 с.

ISBN 978-5-9275-0414-5
Монография посвящена развитию теории метода усреднения Крылова–

Боголюбова для дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми, среди которых имеются пропорциональные положительным степеням частоты. Интерес к уравнениям с такой спецификой обусловлен прежде 
всего тем, что к ним относятся математические модели ряда физических 
явлений, в которых исследователями обнаружены важные высокочастотные 
эффекты. Здесь рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка. Решаются, в основном, следующие вопросы: для исходной задачи построение 
усредненной (предельной) задачи; обоснование метода усреднения (предельного перехода), включая для задач по всей оси изучение вопросов устойчивости и неустойчивости решений по Ляпунову; построение полных асимптотик решений и их обоснование.

Предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей и научных 

работников, интересующихся асимптотическими методами в теории дифференциальных уравнений и их обоснованием.

ISBN  978-5-9275-0414-5 
 
 
 
 
        УДК 517.928

 
 
 
 
 
 
 
        ББК 22.161.6

© Левенштам В. Б., 2008
© Южный федеральный университет, 2008
© Оформление. Макет. Издательство
   Южного федерального университета, 2008

Л 35

ВВЕДЕНИЕ

На начальном этапе создания теории дифференциальных уравнений основные усилия математиков были направлены на поиски точных решений, выраженных через интегралы
от элементарных функций. Однако позже выяснилось, что такие представления возможны лишь в очень редких случаях,
а потому все более актуальным становился вопрос о приближенных методах решения дифференциальных уравнений.

Приближенные методы подразделяются на два класса:
численные и асимптотические методы. Наиболее распространенными численными методами решения дифференциальных уравнений являются разностные методы. Эти методы
призваны получать приближенные значения решения в конечном наборе точек отрезка (в узлах сетки), на котором решение определено. Численными методами в этой монографии
мы непосредственно заниматься не будем. Асимптотические
методы призваны строить приближенные представления решения уравнения при малых или больших значениях параметра в виде известных функций. Нередко последние выражаются посредством решений определенных задач, которые
можно эффективно приближенно решить. При этом погрешность указанного представления должна становиться сколь
угодно малой при достаточно малых или больших значениях
параметра. Такие представления (их называют асимптотическими формулами — см. п. 2.4 гл. I) часто бывают удобными для описания качественного характера решения и могут
также служить основой для разработки численных алгорит

мов. Представление решения дифференциального уравнения
посредством асимптотической формулы или асимптотического разложения (асимптотики — см. п. 2.4 гл. I) называют
асимптотическим интегрированием этого уравнения.

Непосредственное применение разностных методов к
дифференциальным уравнениям с быстро осциллирующими
членами (частота осцилляций — большой параметр) связано
с известными серьезными проблемами. Дело в том, что для
сохранения точности приближений при возрастании частоты
осцилляций наибольшее расстояние между соседними узлами
сетки должно, вообще говоря, быть связано с частотой обратной пропорциональной зависимостью. В связи с этим при
больших частотах здесь возникает задача, которая очень трудоемка даже для самых современных компьютеров. По этим
причинам для приближенного решения уравнений с быстро
осциллирующими членами асимптотические методы необходимы, и важнейшим из них является метод усреднения.

Метод усреднения зародился в работах по небесной механике в то время, когда методов возмущений Лагранжа и
Лапласа оказалось уже недостаточно, поскольку при их использовании в приближенном решении появляются так называемые вековые члены. Идеи метода усреднения использовал Л. Эйлер при изучении движения Луны, а также К. Гаусс
и Ж. Лагранж при исследовании эволюции планетных орбит
под влиянием взаимного притяжения планет.

В самом начале 20-х гг. XX в. метод усреднения переоткрыл голландский инженер Ван-дер-Поль, использовавший его на интуитивном уровне строгости для приближен

ного решения задач теории колебаний с одной степенью свободы.
Первые работы по математическому обоснованию метода усреднения выполнены в 1928 г. П. Фату и в 1934 г.
Л. И. Мантельштамом и Н. Д. Папалекси для нормальных систем с начальными условиями и периодическими по времени
правыми частями.
К началу 30-х гг. уровень развития теории метода
усреднения можно охарактеризовать с учетом сказанного следующим образом. Существуют различные схемы усреднения,
применявшиеся в астрономии к консервативным системам.
Имеется метод Ван-дер-Поля, который позволяет строить
только главный член асимптотики решения. Метод усреднения обоснован лишь для уравнений очень частного вида. Для
полноты картины отметим еще, что к этому времени в теории
дифференциальных уравнений созданы мощные математические методы А. Пуанкаре и А. Ляпунова, но они относятся
лишь к периодическим решениям.
В начале 30-х гг. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов приступают к созданию нового раздела теории дифференциальных уравнений — нелинейной механики, важнейшая роль в
которой отводится методу усреднения. Развитие этого метода ведется ими по двум направлениям (см. Крылов, Боголюбов
[1]):
создание эффективных алгоритмов
построения
асимптотик решений для широких классов неконсервативных
систем с малым параметром; обоснование таких алгоритмов.
Основные теоремы классической теории метода усреднения доказаны Боголюбовым [1] для систем дифференци

альных уравнений вида1

dx
dt = f(x, ωt),
(0.1)

где вектор-функция f(x, τ) обладает средним по τ:

F(x) = lim
N→∞
1
N

N
0
f(x, τ)dτ ≡ ⟨f(x, τ)⟩,

ω — большой параметр. Суть метода усреднения состоит в замене какой-либо задачи для уравнения (0.1) соответствующей
задачей для более простого уравнения

dy
dt = F(y),
(0.2)

которое называют усредненным. Обоснование метода усреднения заключается в доказательстве асимптотической близости при ω → ∞ соответствующих решений указанных задач,
а также, если (0.1) и (0.2) рассматриваются на всей временной оси (или на полуоси), в выводе свойств устойчивости и
неустойчивости по Ляпунову решения системы (0.1) из определенных аналогичных свойств решения системы (0.2). Далее метод усреднения развивается до такого асимптотического метода, который для любого m > 0 позволяет эффективно
построить приближение решения (0.1) с точностью O
ω−m,

1 Точнее говоря, в монографии Боголюбова [1] рассматриваются системы уравнений в так называемой стандартной форме

dx
dτ = εf(x, τ),
ε ≪ 1,
(∗)

которые преобразуются к виду (0.1) заменой τ = ωt, ε = ω−1. При этом исследование
системы (∗) на участке τ ∈ [0, Lε−1], L = const > 0, сводится к исследованию системы
(0.1) на участке t ∈ [0, L].

ω → ∞. Другими словами, указанным методом осуществляется эффективное асимптотическое интегрирование соответствующей задачи для системы (0.1). Все это составляет предмет классической математической теории метода усреднения
Боголюбова [1].
В настоящее время многие результаты классической
теории перенесены на различные новые классы уравнений
(см., например, монографии Боголюбова, Митропольского [1],
Митропольского [1] и указанную в них литературу) и, в частности, на параболические задачи и абстрактные параболические уравнения (см. книгу Симоненко [1] и указанную в ней
литературу) вида

du
dt = Au + g(u, ωt).
(0.3)

Здесь A — линейный неограниченный оператор (в случае параболической задачи он порожден соответствующим эллиптическим дифференциальным выражением и граничными
условиями), а вектор-функция g(u, τ) в определенном смысле
подчинена A и обладает средним по τ.
Наряду с распространением теории метода усреднения
на различные широкие классы уравнений идеи этого метода
использовались исследователями и при изучении некоторых
конкретных задач, описывающих различные физические явления, связанные с высокочастотными вибрациями. Наиболее известны такие явления: 1) верхнее положение математического маятника в результате высокочастотных вибраций
его точки подвеса может стать устойчивым (Боголюбов [2],
Капица [1, 2]); 2) высокочастотные сжатия-растяжения бал

ки могут стабилизировать ее прямолинейную форму (Челомей [1]); 3) с помощью вертикальных высокочастотных колебаний сосуда с подогреваемой в нем жидкостью можно подавить конвекцию (Зеньковская, Симоненко [1]). Математические модели этих трех и целого ряда других физических явлений представлены дифференциальными уравнениями, которые содержат высокочастотные слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты осцилляций. Именно из-за этой специфики они не укладывались
в рамки тех широких классов уравнений, на которые была
распространена теория метода усреднения. В связи с этим
данные модели изучались в указанных выше работах непосредственно.

В 1991 г. В. И. Юдович на своем семинаре в Ростовском госуниверситете (теперь Южный федеральный университет) прочитал цикл лекций, посвященных асимптотическому анализу некоторых задач с указанной выше спецификой
(задача о поведении механических систем с конечным числом степеней свободы под действием вибрационных сил и связей — Юдович [1–4]; задача о движении неоднородной несжимаемой идеальной жидкости при воздействии на нее вибрационных сил и при вибрации границы — Юдович [3]). Для
указанных задач В. И. Юдович построил усредненные (предельные) задачи, которые затем глубоко изучил и выявил
эффекты вибраций, в определенном смысле сходные, как и
во всех предыдущих примерах, с теми, что были обнаружены Н. Н. Боголюбовым и П. Л. Капицей в случае перевернутого маятника (в связи с такого рода эффектами см. еще ин

тересную экспериментальную работу Челомея [2]). Процесс
усреднения осуществлялся им при этом формально, т. е. без
обоснования. В своих лекциях В. И. Юдович подчеркивал актуальность развития систематической теории метода усреднения для дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные положительным
степеням частоты, поскольку среди таких уравнений содержатся математические модели многих интересных физических процессов.
Через десять лет после упомянутых лекций автор монографии с учениками приступил к развитию теории метода
усреднения для уравнений с указанной спецификой, которые
мы называем дифференциальными уравнениями с большими
высокочастотными слагаемыми. Работу в этом направлении
мы начали с перенесения теории метода усреднения для систем уравнений вида (0.1) и (0.3) на системы обыкновенных
дифференциальных уравнений вида

dx
dt = f(x, ωt) + ωαf1(x, ωt),
ω ≫ 1,
(0.4)

и, соответственно, на абстрактные параболические и параболические уравнения вида

du
dt = Au + g(u, ωt) + ωαg1(u, ωt),
ω ≫ 1;
(0.5)

позже рассмотрели уравнения второго порядка вида

d2x
dt2 = ϕ(x, dx

dt , ωt) + ωβϕ1(x, ωt),
ω ≫ 1,
(0.6)

и некоторые другие широкие классы уравнений. При этом
средние
больших
слагаемых
предполагаются
нулевыми

(⟨f1(u, τ)⟩ = 0, ⟨g1(u, τ)⟩ = 0, ⟨ϕ1(u, τ)⟩ = 0), и мы рассматриваем задачи с начальными данными на конечном временном
промежутке и задачи о периодических и о почти периодических решениях на всей временной оси. Значения положительных показателей α и β, которые допускает построенная
теория, будут указаны ниже.
Для каждого класса уравнений (и каждой задачи для
него) развитие теории метода усреднения осуществляется, в
основном, по следующей схеме:
1. Построение для исходной (возмущенной) задачи
усредненной (предельной при ω → ∞) задачи. При этом в
случае обыкновенных дифференциальных уравнений используются классические замены переменных Крылова–Боголюбова, а в случае уравнений с частными производными — аналоги таких замен2 типа замены у Симоненко [2].
2. Обоснование метода усреднения (предельного перехода), т. е. доказательство асимптотической близости по определенной норме соответствующих решений возмущенной и
усредненной задач. Здесь используются замены переменных
типа замены Крылова–Боголюбова, переход к интегральному уравнению и теорема о неявных операторах или принцип
сжатых отображений.
Если рассматривается задача на всей временной оси,
то к этому пункту относится также исследование вопросов

2 В работах Ландау и Лифшица [1, гл. V, § 30], Зеньковской, Симоненко [1] и
Юдовича [1–4] при выводе предельной задачи используется иной подход, восходящий
к работе Капицы [1]: решение возмущенной задачи представляется суммой плавного
и быстрого слагаемых; быстрое слагаемое выражается через плавное и после этого
для последнего выводится искомая усредненная задача.