Сопротивление материалов

Старовойтов Э.И.

Сопротивление

м атериалов

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 539.3 (075.8)
ББК 30.121
С 77

С т а р о в о й т о в Э. И. Сопротивление материалов: Учеб.: Для вузов. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-0883-6.

Учебник соответствует традиционной программе курса сопротивления материалов в технических вузах. Кроме теоретического курса приведены задачи и тестовые задания по всем разделам курса, соответствующие расчетнографическим и курсовым работам.
В отличие от известных изданий рассмотрено влияние температуры и нейтронного облучения на упругие постоянные, описаны вязкоупругие свойства
материалов.
Для студентов и аспирантов технических вузов.
Табл. 29. Ил. 233. Библиогр. 25 назв.

ISBN 978-5-9221-0883-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008, 2010

c⃝ Э. И. Старовойтов, 2008, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Г л а в а 1.
Введение в сопротивление материалов. . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Основные понятия сопротивления материалов. .. . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Гипотезы и допущения сопротивления материалов. .. . . . . . . . . . .
12
1.3. Внешние силы. Внутренние усилия в стержнях . .. . . . . . . . . . . .
15
1.4. Напряжения в точке тела . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5. Перемещения и деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6. Опоры. Расчетная схема сооружения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7. Статически определимые и статически неопределимые системы . .. .
24
1.8. Построение эпюр внутренних силовых факторов . .. . . . . . . . . . . .
25
1.9. Примеры построения эпюр. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
29

Г л а в а 2.
Растяжение и сжатие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.1. Внутренние силы и напряжения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2. Деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.3. Закон Гука при растяжении-сжатии . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
42
2.4. Перемещения при растяжении-сжатии. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.5. Дифференциальное соотношение при растяжении-сжатии. .. . . . . .
44
2.6. Потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.7. Напряжения на наклонных площадках . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8. Механические испытания материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.9. Диаграммы растяжения . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.10. Упругие и пластические деформации. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.11. Диаграммы сжатия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.12. Механические характеристики материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.13. Инженерные методы расчета на прочность. Расчет по допускаемым
напряжениям. .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.14. Расчет по допускаемым нагрузкам . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.15. Расчет по предельным состояниям . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.16. Расчеты стержней при растяжении-сжатии. .. . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.17. Влияние температуры и радиации на механические характеристики
материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.18. Вязкоупругие свойства материалов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

Оглавление

Г л а в а 3.
Сдвиг. Кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1. Чистый сдвиг . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.2. Расчет соединений, работающих на сдвиг . .. . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3. Кручение стержня круглого поперечного сечения . .. . . . . . . . . . .
82
3.4. Связь касательных напряжений и крутящего момента . .. . . . . . . .
84
3.5. Перемещения. Потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . .
86
3.6. Геометрические характеристики сечений при кручении. .. . . . . . . .
87
3.7. Расчеты на прочность и жесткость при кручении . .. . . . . . . . . . .
88
3.8. Кручение стержней некруглого поперечного сечения . .. . . . . . . . .
90

Г л а в а 4.
Геометрические характеристики плоских сечений. . . . . .
93
4.1. Статические моменты и центр тяжести сечения . .. . . . . . . . . . . .
93
4.2. Моменты инерции сечения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат . .. . . .
98
4.5. Главные оси и главные моменты инерции. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
100
4.6. Геометрические характеристики простейших фигур . .. . . . . . . . . .
102

Г л а в а 5.
Прямой изгиб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.1. Внутренние усилия при изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
107
5.2. Закон Гука при чистом изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . .
112
5.4. Потенциальная энергия деформации при чистом изгибе . .. . . . . . .
115
5.5. Напряжения при поперечном изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
5.6. Распределение напряжений по прямоугольному и двутавровому сечениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
119
5.7. Касательные напряжения при изгибе тонкостенных стержней . .. . .
122
5.8. Расчеты на прочность при изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
5.9. Расчет балок с учетом развития пластических деформаций . .. . . . .
126
5.10. Дифференциальное уравнение упругой линии балки . .. . . . . . . . .
130
5.11. Определение перемещений при изгибе. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
5.12. Примеры расчета балок при прямом изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . .
135
5.13. Балка на упругом основании . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
141
5.14. Изгиб бруса большой кривизны. Закон Гука. .. . . . . . . . . . . . . . .
144
5.15. Нормальные напряжения в кривом брусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
146
5.16. Радиус кривизны нейтрального слоя . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148

Г л а в а 6.
Сложное сопротивление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
6.1. Косой изгиб . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
6.2. Изгиб с растяжением (сжатием) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

Оглавление
5

6.3. Внецентренное растяжение (сжатие) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

Г л а в а 7.
Основы теории напряженного и деформированного состояний. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.1. Напряженное состояние в точке . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.2. Напряжения на произвольной площадке . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .
163
7.3. Главные оси и главные значения тензора напряжений . .. . . . . . . .
165
7.4. Вычисление главных значений тензора напряжений . .. . . . . . . . . .
167
7.5. Напряжения на октаэдрических площадках . .. . . . . . . . . . . . . . .
169
7.6. Плоское напряженное состояние. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
7.7. Деформированное состояние в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
7.8. Обобщенный закон Гука . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
176
7.9. Объемная деформация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
7.10. Полная потенциальная энергия деформации . .. . . . . . . . . . . . . . .
178
7.11. Потенциальные энергии изменения объема и формы . .. . . . . . . . .
178

Г л а в а 8.
Tеории прочности и разрушения. . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
8.1. Прочность при сложном напряженном состоянии . .. . . . . . . . . . .
180
8.2. Теория максимальныx нормальныx напряжений (первая теория
прочности) . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
8.3. Теория максимальныx линейныx деформаций (вторая теория прочности) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
8.4. Теория максимальныx касательныx напряжений Треска–Сен-Венана (третья теория прочности). .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
8.5. Энергетическая теория Xубера–Mизеса–Xенки (четвертая теория
прочности) . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
8.6. Теория предельныx состояний Mора (пятая теория прочности) . .. .
188
8.7. Теории разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
8.8. Расчет пространственного бруса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
8.9. Изгиб с кручением стержней круглого сечения . .. . . . . . . . . . . . .
204

Г л а в а 9.
Перемещения в стержневыx системаx . .. . . . . . . . . . . . .
211
9.1. Потенциальная энергия стержневой системы . .. . . . . . . . . . . . . .
211
9.2. Теорема Кастилиано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
9.3. Интеграл Mора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
9.4. Теxника вычисления интеграла Mора . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
219
9.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений . .. . . . . . . . . . . . . .
223
9.6. Статическая неопределимость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
9.7. Расчет статически неопределимыx систем методом сил. .. . . . . . . .
227

Г л а в а 10.
Устойчивость сжатыx стержней. . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
10.1. Понятие об устойчивости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241

Оглавление

10.2. Задача Эйлера. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
10.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня . .
245
10.4. Потеря устойчивости при напряженияx, превышающиx предел пропорциональности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
10.5. Практический метод расчета стержней на устойчивость . .. . . . . . .
249
10.6. Продольно-поперечный изгиб . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
10.7. Изгибающий момент при продольно-поперечном изгибе . .. . . . . . .
260
10.8. Приближенный метод решения задач при продольно-поперечном
изгибе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
10.9. Допускаемая нагрузка при продольно-поперечном изгибе . .. . . . . .
262
10.10. Энергетический метод oпределения критическиx нагрузок . .. . . . .
262

Г л а в а 11.
Динамические нагружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.1. Удар . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
11.2. Удар по массивной системе. Продольный удар. .. . . . . . . . . . . . . .
268
11.3. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. .. . . . . . .
272
11.4. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы . .. . . .
275
11.5. Рассеяние энергии при колебанияx . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
11.6. Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды . .. . . . . .
281
11.7. Резонансные кривые. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
283
11.8. Крутильные колебания вала с одной степенью свободы . .. . . . . . .
285

Г л а в а 12.
Прочность при циклическиx напряженияx . . . . . . . . . .
286
12.1. Усталость материалов. Xарактеристики циклов напряжений . .. . . .
286
12.2. Кривые усталости. Предел выносливости материалов . .. . . . . . . . .
290
12.3. Диаграмма предельныx амплитуд . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
12.4. Концентрация напряжений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
12.5. Mасштабный эффект. Коэффициент качества обработки поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
12.6. Коэффициент запаса прочности при циклическиx напряженияx . .. .
297
12.7. Понятие о малоцикловой усталости материалов. .. . . . . . . . . . . . .
299

Г л а в а 13.
Контактные напряжения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
13.1. Общие сведения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
13.2. Сжатие шаров . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
13.3. Сжатие цилиндров . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
13.4. Общий случай контакта двуx тел . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
13.5. Проверка прочности при контактном взаимодействии. .. . . . . . . . .
309

Г л а в а 14.
Тестовые задания. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
14.1. Введение в сопротивление материалов. Растяжение, сжатие и кручение стержней . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313

Оглавление
7

14.2. Геометрические характеристики плоских сечений. Изгиб . .. . . . . .
319
14.3. Сложное сопротивление. Напряженное и деформированное состояния. Теории прочности и разрушения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
14.4. Перемещения в стержневых системах. Устойчивость сжатых стержней . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
14.5. Динамика. Циклические напряжения. Контактная задача . .. . . . . .
337
Приложение А. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
345
Приложение Б. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
Приложение В. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359

Список литературы . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
Именной указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
Contents . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
English annotation . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383

От автора

Содержание книги основано на лекционном курсе «Сопротивление
материалов», который автор в течение ряда лет читал для студентов
строительных специальностей Белорусского государственного университета транспорта. Учебник в достаточной мере отражает и теоретический материал, и весь комплекс задач, соответствующих расчетнографическим и курсовым работам. Для закрепления знаний в процессе
обучения разработаны и приведены тестовые задания. Список литературы лишь указывает на те источники, которые в той или иной мере
были использованы.
В своей работе я во многом опирался на труды и идеи моих университетских учителей — Алексея Антоновича Ильюшина (1911–1998),
Виктора Васильевича Москвитина (1922–1983), Анатолия Герасимовича Горшкова (1941–2006), памяти которых и посвящаю эту книгу.
В подготовке книги к изданию мне большую помощь оказали
д. ф.-м. н. А. В. Яровая и к. ф.-м. н. Д. В. Леоненко, которым я выражаю
глубокую признательность.
Буду благодарен всем читателям за замечания любого характера
(edstar@server.by).

Г л а в а 1

ВВЕДЕНИЕ

В СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Сопротивление материалов является одним из разделов механики
деформируемого твердого тела. Это исключительно важная техническая дисциплина, необходимая для инженеров любой специальности.
Без фундаментальных знаний в этой области невозможно создать различного рода машины и механизмы, промышленные и гражданские
сооружения, мосты, линии электропередач, антенны, ангары, корабли,
самолеты, агрегаты атомных станций, ракетной и реактивной техники и др.

1.1. Основные понятия сопротивления материалов

С о п р о т и в л е н и е
м а т е р и а л о в — это инженерная наука
о методах расчета наиболее распространенных элементов конструкций
на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.
Прочность — способность материала или конструкции воспринимать внешние воздействия (нагрузки, температурные перепады, просадки грунтов и т. п.), не разрушаясь и не претерпевая беспрепятственного
деформирования.
Жесткость — способность конструктивных элементов деформироваться при внешнем воздействии без существенного изменения геометрических размеров.
Устойчивость — способность конструкций и их элементов сохранять под нагрузкой первоначальные форму и положение равновесия.
Надежной считается конструкция, которая сохраняет свою эксплуатационную способность (прочность, жесткость, устойчивость) в течение заранее предусмотренного промежутка времени.
Сопротивление материалов позволяет установить в каждом конкретном случае оптимальные размеры элементов, при которых надежность
обеспечивается без лишних запасов, удовлетворяя экономическим требованиям проблемы.
Основной задачей сопротивления материалов является создание
удобных для практики простых приемов расчета типичных, наиболее
часто встречающихся элементов конструкций. Эта задача решается

Гл. 1. Введение в сопротивление материалов

с использованием теоретических гипотез и экспериментальных данных,
имеющих в сопротивлении материалов одинаково большое значение.
Широко используются различные приближенные методы и результаты,
полученные более строгими методами других разделов механики деформируемого твердого тела.

Связь с другими науками. В теоретической части сопротивление
материалов базируется на математике и теоретической механике,
в экспериментальной части — на физике и материаловедении.
Теоретическая механика изучает равновесие и движение абсолютно твердых тел. Поэтому постановка вопроса о расчете на прочность
в ее рамках лишена смысла: в самой терминологии заложена идея
неразрушимости и отсутствия каких бы то ни было деформаций. Так
как все твердые тела в той или иной степени деформируемы, сопротивление материалов можно рассматривать как следующий шаг после
теоретической механики на пути приближения к расчету реальных
конструкций и сооружений.
Поведение деформируемых твердых тел под нагрузкой изучается
математической теорией упругости, теорией пластичности, теорией вязкоупругости, но с других позиций и в более строгой математической постановке. Результаты, полученные этими науками, в сопротивлении материалов используются для дальнейших теоретических
и практических исследований.
Расчетный аппарат сопротивления материалов широко используется
в курсах статики сооружений и специальных дисциплинах, связанных с проектированием деталей машин, строительных конструкций, мостов и дорог. Эта наука позволяет правильно понимать работу
сооружения в реальных условиях. Библиография по ней обширна, здесь
указаны книги [1–25], использованные автором в процессе работы.

Развитие сопротивления материалов как науки. Наиболее ранние из опытов по изучению прочностных свойств материалов были
поставлены Леонардо да Винчи 1), однако его работы не были опубликованы и остались для его современников неизвестными.
Начало исследований сопротивления твердых тел разрушению связывают обычно с именем знаменитого итальянского физика, математика и астронома Галилео Галилея 2), который в 1638 г. предложил
решения некоторых важных задач динамики и сопротивления материалов. Хотя он считал твердые тела неупругими и не владел законом,
связывающим перемещения и силы, но его работы указали путь, по
которому пошли исследователи в дальнейшем.

1) Леонардо Да Винчи (Leonardo da Vinci) (1452–1519) — великий итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый, инженер.
2) Галилей Галилео (Galileo Galilei) (1564–1642) — итальянский ученый,
один из основателей современной механики, выдвинул идею об относительности движения, установил законы инерции, первым исследовал прочность балок.