Методы управления нелинейными механическими системами

Черноусько Ф.Л.
Ананьевский И.М.

Решмин С.А.

Методы управления

нелинейными
механическими

системами

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 531.36
ББК 22.21
Ч 49

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 05-01-14054д

Ч е р н о у с ь к о
Ф. Л.,
А н а н ь е в с к и й
И. М.,
Р е ш м и н
С. А.
Методы управления нелинейными механическими системами. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 328 с. — ISBN 5-9221-0678-3.

Книга посвящена разработке эффективных методов управления сложными
механическими системами на основе математических моделей, отражающих
основные особенности таких систем: высокую размерность системы, динамическую зависимость между ее степенями свободы, наличие нелинейностей (в
том числе разрывных зависимостей типа сухого трения), сложные совместные
ограничения на управляющие воздействия и фазовые переменные, неполноту
информации о внешних возмущениях и собственных параметрах системы,
требование о приведении системы в терминальное состояние за конечное
время. Эффективность предложенных в монографии методов продемонстрирована путем построения законов управления для конкретных механических и
электромеханических систем, а также компьютерного моделирования динамики
этих систем.
Для научных работников и инженеров — специалистов по механике систем,
теории управления и их приложений, а также для студентов и аспирантов.

ISBN 5-9221-0678-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский,
С. А. Решмин, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Г л а в а 1. Метод декомпозиции управления (первый способ) . . . . .
19
§ 1.1. Управляемая механическая система. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
19
§ 1.2. Постановка задачи управления. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 1.3. Декомпозиция . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 1.4. Оптимальное управление подсистемой. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 1.5. Упрощенное управление подсистемой . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 1.6. Сравнительный анализ результатов. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
33
§ 1.7. Управление исходной системой. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§ 1.8. Модификация метода декомпозиции . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 1.9. Анализ управляемых движений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 1.10. Определение параметров . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 1.11. Подсистема с нелинейным сопротивлением . .. .. . . . . . . . . . . .
52
§ 1.12. Управление нелинейной подсистемой . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
54
§ 1.13. Приложение к робототехническим системам . .. . . . . . . . . . . .
69
§ 1.14. Синтез управления двузвенным манипулятором с безредукторными приводами. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 1.15. Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
79

Г л а в а 2. Метод декомпозиции управления (второй способ) . . . . .
89
§ 2.1. Управляемая механическая система. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
§ 2.2. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
§ 2.3. Управление при отсутствии внешних сил . .. . . . . . . . . . . . . . .
92
§ 2.4. Декомпозиция . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
94
§ 2.5. Построение синтеза управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
§ 2.6. Управление в общем случае. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 2.7. Обобщение на случай ненулевой конечной скорости . .. . . . . . .
104
§ 2.8. Задача об отслеживании траекторий механических систем . .. . .
111
§ 2.9. Приложения к робототехническим системам. .. . . . . . . . . . . . .
118
§ 2.10. Примеры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
123

Оглавление

Г л а в а 3. Кусочно-линейное управление механическими системами
в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
§ 3.1. Постановка задачи для склерономной системы . .. . . . . . . . . . .
133
§ 3.2. Вспомогательное рассуждение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
§ 3.3. Описание алгоритма управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
§ 3.4. Обоснование алгоритма. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
138
§ 3.5. Оценка времени движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
§ 3.6. Достаточное условие приведения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
§ 3.7. Результаты моделирования динамики двузвенника. .. . . . . . . . .
148
§ 3.8. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами
151
§ 3.9. Первый этап движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 3.10. Второй этап движения . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
161
§ 3.11. Система «груз на тележке» . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
§ 3.12. Система «физический маятник на тележке» . .. . . . . . . . . . . .
165
§ 3.13. Результаты моделирования. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
§ 3.14. Кусочно-линейное
управление
реономными
механическими
системами. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
§ 3.15. Описание алгоритма для реономных систем . .. . . . . . . . .. . . .
180
§ 3.16. Обоснование алгоритма для реономных систем . .. . . . . . . . . .
181
§ 3.17. Результаты моделирования. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

Г л а в а 4. Управление системами с распределенными параметрами
194
§ 4.1. Управление системой осцилляторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 4.2. Задача быстродействия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
§ 4.3. Постановка задачи управления системой с распределенными
параметрами . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
§ 4.4. Декомпозиция . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
§ 4.5. Уравнение первого порядка по времени . .. . . . . . . . . . . . . . . .
206
§ 4.6. Уравнение второго порядка по времени . .. . . . . . . . . . . . . . . .
207
§ 4.7. Анализ ограничений и построение управления . .. . . . . . . . . . .
209
§ 4.8. Примеры . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
§ 4.9. Условия разрешимости в общем случае . .. . . . . . . . . . . . . . . .
220

Г л а в а 5. Управляемые системы при сложных ограничениях . . . . .
225
§ 5.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
§ 5.2. Обобщение метода Калмана. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
227
§ 5.3. Управление системой осцилляторов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
§ 5.4. Маятник с управляемой по ускорению точкой подвеса . .. . . . . .
238
§ 5.5. Маятник с управляемой по ускорению точкой подвеса (продолжение) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
§ 5.6. Маятник с управляемой по скорости точкой подвеса . .. . . . . . .
249

Оглавление
5

§ 5.7. Модель электромеханической системы. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
256
§ 5.8. Анализ упрощенной модели. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
§ 5.9. Управление электромеханической системой четвертого порядка
263
§ 5.10. Активный динамический гаситель. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

Г л а в а 6. Некоторые задачи оптимального управления при сложных ограничениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
§ 6.1. Введение . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
§ 6.2. Постановка задачи оптимального быстродействия при смешанных и фазовых ограничениях . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
§ 6.3. Оптимальное быстродействие при ограничениях на скорость
и ускорение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
§ 6.4. Задача управления электродвигателем. .. . . . . . . . . . . . .. . . . .
289
§ 6.5. Постановка задачи оптимального быстродействия при ограничении на скорость изменения ускорения . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
294
§ 6.6. Программное оптимальное управление . .. . . . . . . . . . . . . . . .
295
§ 6.7. Синтез оптимального управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
§ 6.8. Постановка задачи оптимального быстродействия при ограничениях на ускорение и скорость его изменения . .. . . . . . . . . . . .
306
§ 6.9. Возможные типы управлений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
§ 6.10. Построение траекторий . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320

Предисловие

Предлагаемая монография посвящена ряду новых методов управления механическими системами со многими степенями свободы.
Рассматриваются, как правило, нелинейные системы при наличии
различных ограничений, наложенных на управляющие воздействия
и фазовые координаты, а также на их совокупности. В значительной
части книги принимается во внимание наличие неопределенностей
различной природы, в том числе воздействие неизвестных, но ограниченных возмущений, а также наличие неопределенных параметров
системы.
При этих условиях, которые отражают реальные свойства многих
управляемых систем, встречающихся на практике, построение управления встречает большие трудности.
В книге изложен ряд достаточно общих методов, позволяющих
эффективно, часто в явном виде, построить искомые управления. Представлены методы, основанные на декомпозиции нелинейных управляемых систем, кусочно-линейные алгоритмы управления по обратной
связи, а также другие методы, использующие и развивающие подходы,
известные в теории линейных управляемых систем и в теории оптимального управления.
Построенные управления удовлетворяют всем наложенным ограничениям и приводят динамическую систему, подверженную неизвестным, но ограниченным возмущениям, в заданное терминальное
состояние за конечное время. Получены явные оценки сверху времени
процесса управления. Во всех случаях дается строгое обоснование
алгоритмов управления и полученных оценок.
В большинстве случаев не ставится и не решается задача оптимального управления для рассматриваемых нелинейных систем. Однако при
построении управлений используются элементы теории оптимальных
процессов и проводится оптимизация времени движения по параметрам, так что предложенные методы можно назвать субоптимальными
по быстродействию. Впрочем, в последней главе дается также точное
решение ряда новых задач оптимального управления.
Изложение
методов
иллюстрируется
большим
количеством
задач управления для различных механических и электромеханических
систем:
манипуляционных
роботов,
маятниковых
систем,

Предисловие

электроприводов, многомассовых систем с сухим трением, активных
гасителей колебаний. Во всех случаях решение доводится до конца:
получены законы управления, проведен анализ динамики систем,
оценено
время
движения,
приведены
результаты
компьютерного
моделирования.
Книга основана на работах авторов, опубликованных в последние
15
лет
и
приведенных
в
списке
литературы.
Авторы
надеются,
что
предлагаемая
монография
послужит
полезным
дополнением
к обширной литературе по теории и методам управления динамическими системами. Книга представляет интерес для научных работников
и инженеров — специалистов по механике систем, теории управления
и их приложений, а также для студентов и аспирантов.
Авторы выражают признательность Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 02-01-14072) за финансовую поддержку
публикации этой книги.

Введение

Как известно, существуют различные методы построения управления динамическими системами.
Классические
методы
теории
автоматического
регулирования,
применимые к линейным системам, представляют управление в виде
линейного
оператора
от
текущего
фазового
состояния
системы.
Недостатки такого подхода проявляются как в окрестности заданного
терминального состояния, так и вдали от него. Вблизи терминального
состояния управление становится малым, и не используются все его
возможности. В результате, время процесса управления оказывается,
строго говоря, бесконечным, и можно рассчитывать лишь на асимптотическое стремление фазового состояния к заданному терминальному
состоянию.
Вдали
же
от
терминального
состояния
управление
оказывается большим по величине и может нарушать ограничения,
которые обычно накладываются на управляющие воздействия. Поэтому
учет наложенных ограничений при использовании линейных методов
затруднен и часто невозможен. Кроме того, применение этих методов,
основанных на линейных моделях, к нелинейным системам обычно
оказывается неоправданным.
Для управления нелинейными системами могут быть использованы
методы теории оптимального управления. Эти методы учитывают
различные ограничения, наложенные на управление, а также, хотя
и ценой значительного усложнения, и на фазовые координаты. Данные
методы позволяют привести управляемую систему в терминальное
состояние оптимальным, в том или ином смысле, образом, например,
за
минимальное
время.
Однако
построение
оптимального
закона
управления для нелинейной системы — задача весьма сложная,
и
ее
точное
решение
возможно
сравнительно
редко.
Особенно
трудным
является
построение
оптимального
синтеза
управления,
т. е. управления по принципу обратной связи.
Существует целый ряд других общих методов управления: метод
систем переменной структуры [31, 58, 59, 98, 99], метод линеаризации
по обратной связи [86, 87, 91] и различные их обобщения. Эти методы,
однако, обычно не учитывают ограничения, наложенные на управления
и фазовые координаты. Кроме того, в силу большой общности, данные
методы не принимают во внимание специфику механических систем,

Введение

например, законы сохранения или структуру уравнений движения
в форме Лагранжа или Гамильтона. Некоторые другие методы управления, применимые к нелинейным механическим системам, развиты
в работах [48, 51, 52, 60, 84, 85, 88, 90, 100].
В данной книге предлагаются методы управления нелинейными
механическими системами при наличии возмущений, неопределенностей
и
различных
ограничений,
наложенных
на
управляющие
воздействия
и фазовые координаты.
Использование механической
природы уравнений движения позволяет продвинуться по сравнению
с методами, рассчитанными на системы общего вида, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Авторы поставили цель разработать методы, которые обладали бы
следующими свойствами.

1. Методы
применимы
к
нелинейным
механическим
системам,
описываемым уравнениями типа Лагранжа.
2. Методы применимы к системам со многими степенями свободы.
3. Методы
позволяют
учитывать
ограничения,
наложенные
на управляющие воздействия, а в ряде случаев — также на
фазовые координаты и на совокупность управлений и фазовых
координат.
4. Методы обеспечивают приведение системы в заданное терминальное состояние за конечное время, для которого имеется
эффективная верхняя оценка.
5. Методы позволяют строить управление при наличии неопределенных, но ограниченных внешних возмущений и при неопределенности параметров системы. Тем самым, эти методы обладают
свойством робастности.
6. Имеется эффективный алгоритм построения искомого управления
по обратной связи.
7. Во всех случаях дается строгое математическое обоснование
методов.

Ясно, что перечисленные свойства весьма важны и полезны как
с точки зрения теории управления, так и для практических ее приложений.
В монографии предложен и разработан ряд методов, и не все из них
обладают всеми свойствами 1–7, перечисленными выше. Свойства
3, 4, 7 выполнены всегда, но для некоторых из излагаемых методов
свойства 1, 2, 5, 6 могут не иметь места.
В первых двух главах книги рассматриваются нелинейные управляемые механические системы со многими степенями свободы, описываемые уравнениями Лагранжа вида

d
dt
∂T
∂ ˙qi
− ∂T

∂qi
= Ui + Qi,
i = 1, ... , n;
(0.1)