Математика. Базовый курс

УДК
51(07)
ББК
22.1я7
Г94

Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на IV Общероссийском конкурсе учебных изданий для высших учебных заведений
«Университетская книга — 2008»

Печатается по решению
Ученого совета Московской финансовопромышленной академии

Ответственный редактор серии
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин

Гулиян Б. Ш., Хамидуллин Р. Я.
Г94
Математика. Базовый курс : учебник / Б. Ш. Гулиян, Р. Я. Хамидуллин. — 2е изд., перераб. и доп. — М.: Московская финансовопромышленная академия, 2011. — 712 с. (Университетская серия).

ISBN 9785902597612

Агентство CIP РГБ
Настоящая книга включает основные разделы курса высшей математики:
линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Изложение теоретического материала иллюстрируется решением большого количества типовых примеров и задач, что значительно упрощает понимание курса и практического применения результатов теоретического материала.
Кроме того, в конце глав даются вопросы и упражнения для проверки понимания результатов каждой главы. Авторы стремились избежать усложняющих доказательства деталей для доступности и наглядности представленного материала.
Учебник предназначается для управленцев и студентов экономических
специальностей высших учебных заведений. Авторы надеются, что книга будет весьма полезна для молодых специалистов и при самостоятельном изучении курса.

УДК 51(07)
ББК 22.1я7

ISBN 9785902597612

© Гулиян Б. Ш., 2011
© Хамидуллин Р. Я., 2011
© Московская финансовопромышленная
академия, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Раздел I

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Глава 1. Элементы теории матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
. . . . . . . . . . .
20
1.3. Приложение теории матриц в решении систем линейных уравнений
. . . . . .
22
1.4. Теория определителей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.5. Вычисление обратной матрицы для квадратной определенной матрицы
. . . . .
40
1.6. Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений
. . . . . .
41
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Раздел II

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава 2. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
. . . . . . . . . .
47
2.1. Координаты на прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.2. Декартова прямоугольная система координат на плоскости
. . . . . . . . .
50
2.3. Полярная система координат на плоскости
. . . . . . . . . . . . . .
52
2.4. Простейшие задачи на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.5. Параллельный перенос осей координат на плоскости
. . . . . . . . . . .
62
2.6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте
осей координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.7. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала
и повороте осей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.8. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве . . . . . . . . . . .
66
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 3. Уравнение линии на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.1. Понятие уравнения линии на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . .
71
3.2. Параметрические уравнения линии на плоскости
. . . . . . . . . . . .
75
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

4
Университетская серия

Содержание

Глава 4. Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
4.1. Комплексное число и его геометрическое изображение
. . . . . . . . . .
78
4.2. Формы комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
4.3. Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Глава 5. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.2. Проекция вектора на оси координат
. . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.3. Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
5.4. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении . . . . .
95
5.5. Линейные операции над векторами
. . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.6. Разность векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.7. Основные теоремы о проекциях . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
5.8. Разложение вектора на компоненты
. . . . . . . . . . . . . . . .
105
5.9. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.10. Векторное произведение векторов и его основные свойства
. . . . . . . . .
115
5.11. Смешанное произведение трех векторов . . . . . . . . . . . . . . .
123
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
128

Глава 6. Линейные пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
6.1. Понятие линейного пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . .
133
6.2. Базис и размерность линейного пространства
. . . . . . . . . . . . .
135
6.3. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного пространства.
Прямое и обратное преобразование базисов . . . . . . . . . . . . . .
143
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
146

Глава 7. Линейные операторы в линейном пространстве . . . . . . . . . . . . .
147
7.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
7.2. Характеристический многочлен. Собственные числа и собственные векторы
матрицы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
153

Глава 8. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
8.1. Угловой коэффициент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
8.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
. . . . . . . . . . . . .
155
8.3. Общее уравнение прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
8.4. Уравнение прямой в отрезках
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
8.5. Пересечение двух прямых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
8.6. Нормальное уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
163

Университетская серия
5

Содержание

8.7. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой . . . . . .
165
8.8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
. . . . . . . . . .
166
8.9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
8.10. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
.
167
8.11. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
191

Глава 9. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.1. Понятие о кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.2. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
9.3. Эллипс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
9.4. Гипербола
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
9.5. Парабола
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
9.6. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы
. . . . . . . . . . .
233
9.7. Исследование общего уравнения второй степени
. . . . . . . . . . . .
234
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Глава 10. Плоскость в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
10.1. Плоскость как поверхность первого порядка . . . . . . . . . . . . . .
240
10.2. Уравнение плоскости в отрезках
. . . . . . . . . . . . . . . . .
243
10.3. Исследование общего уравнения плоскости
. . . . . . . . . . . . . .
244
10.4. Нормальное уравнение плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
246
10.5. Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
10.6. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
.
249
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
256

Глава 11. Прямая в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.1. Параметрические уравнения прямой
. . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.2. Канонические уравнения прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . .
259
11.3. Уравнения прямой, проходящей через две точки
. . . . . . . . . . . .
260
11.4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей
. . . . . . . . . . . .
260
11.5. Пересечение прямой и плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . .
261
11.6. Угол между двумя прямыми в пространстве
. . . . . . . . . . . . . .
262
11.7. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
11.8. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . .
264
11.9. Угол между прямой и плоскостью
. . . . . . . . . . . . . . . . .
265
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

6
Университетская серия

Содержание

Глава 12. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве
. . . . . . . . .
282
12.1. Уравнение линии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
12.2. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными одной из координатных осей
. . . . . . . . . . . . .
285
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
289

Глава 13. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения
. . . . . . . . .
291
13.1. Поверхности вращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
13.2. Поверхности вращения второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . .
292
13.3. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения
. . . . . . . . .
296
13.4. Исследование вида поверхности второго порядка методом сечений . . . . . . .
298
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
300

Раздел III

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 14. Множества. Функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
14.1. Элементы теории множеств
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
14.2. Функция. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
14.3. Способы задания функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
14.4. Классификация функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
313

Глава 15. Теория пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
15.1. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . .
315
15.2. Свойства последовательностей, имеющих предел
. . . . . . . . . . . .
321
15.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами . . . . . .
323
15.4. Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
15.5. Неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
328
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

Глава 16. Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
16.1. Предел функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
16.2. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
16.3. Точки разрыва функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
16.4. Свойства функций, непрерывных на замкнутом интервале
. . . . . . . . .
343

Университетская серия
7

Содержание

16.5. Замечательные пределы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
16.6. Сравнение бесконечно малых величин
. . . . . . . . . . . . . . .
352
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
356

Глава 17. Производная и дифференциал функций
. . . . . . . . . . . . . . .
358
17.1. Задачи, приводящие к понятию производной . . . . . . . . . . . . . .
358
17.2. Односторонние производные. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции .
362
17.3. Простейшие правила отыскания производных
. . . . . . . . . . . . .
369
17.4. Производная сложной функции. Производная обратной функции
. . . . . . .
373
17.5. Производная основных элементарных функций
. . . . . . . . . . . . .
375
17.6. Производная функции, заданной параметрически
. . . . . . . . . . . .
381
17.7. Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383
17.8. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
17.9. Геометрический смысл дифференциала функции
. . . . . . . . . . . .
389
17.10. Основные формулы дифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . .
390
17.11. Инвариантность формы первого дифференциала
. . . . . . . . . . . .
391
17.12. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . .
391
17.13. Аналитические приложения дифференцируемых функций . . . . . . . . . .
394
17.14. Возрастание и убывание функции
. . . . . . . . . . . . . . . . .
402
17.15. Экстремум функции одной переменной
. . . . . . . . . . . . . . .
406
17.16. Наибольшее и наименьшее значения функции
. . . . . . . . . . . . .
413
17.17. Выпуклость и вогнутость графика функции
. . . . . . . . . . . . . .
414
17.18. Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
17.19. Асимптоты графика функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
420
17.20. Общая схема исследования функции и построения ее графика . . . . . . . .
423
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
427
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
429

Глава 18. Неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
18.1. Первообразная функции. Неопределенный интеграл
. . . . . . . . . . .
432
18.2. Основные свойства неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . .
434
18.3. Таблица простейших неопределенных интегралов
. . . . . . . . . . . .
436
18.4. Методы интегрирования неопределенных интегралов
. . . . . . . . . . .
441
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

Глава 19. Определенный интеграл
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470
19.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла . . . . . . . . . .
470
19.2. Основные свойства определенного интеграла
. . . . . . . . . . . . .
473
19.3. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
. . . .
477

8
Университетская серия

Содержание

19.4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона—Лейбница
. . . . . .
479
19.5. Вычисление определенных интегралов путем замены переменной
. . . . . . .
481
19.6. Интегрирование по частям определенного интеграла
. . . . . . . . . . .
483
19.7. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . .
486
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
501
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
501

Глава 20. Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505
20.1. Несобственные интегралы от непрерывных функций с бесконечными пределами
(несобственные интегралы первого рода) . . . . . . . . . . . . . . .
505
20.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
. . . . . . . . . . . .
511
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
513
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
513

Глава 21. Функции нескольких переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . .
515
21.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515
21.2. Частные производные первого порядка. Частные дифференциалы функций
двух переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
21.3. Полный дифференциал функции двух переменных . . . . . . . . . . . .
522
21.4. Дифференцируемость функции нескольких переменных
. . . . . . . . . .
528
21.5. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
21.6. Инвариантность формы полного дифференциала
. . . . . . . . . . . .
531
21.7. Дифференцирование неявных функций
. . . . . . . . . . . . . . .
532
21.8. Частные производные высших порядков
. . . . . . . . . . . . . . .
534
21.9. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . .
535
21.10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
. . . . . . . . . . . .
537
21.11. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . .
538
21.12. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
. . . . . .
542
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
545
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
546

Глава 22. Двойной интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550
22.1. Задача, приводящая к понятию двойного интеграла
. . . . . . . . . . .
550
22.2. Понятие двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
551
22.3. Геометрический смысл двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . .
553
22.4. Свойства двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
554
22.5. Вычисление двойного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . .
558
22.6. Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле . . . . . . . . .
560
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
564
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
565

Университетская серия
9

Содержание

Глава 23. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
23.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
567
23.2. Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
568
23.3. Необходимый признак сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . .
569
23.4. Признаки сравнения положительных рядов
. . . . . . . . . . . . . .
569
23.5. Признак Даламбера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574
23.6. Интегральный признак Маклорена—Коши . . . . . . . . . . . . . . .
575
23.7. Знакопеременные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
577
23.8. Знакочередующиеся ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
582
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
582

Глава 24. Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
24.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
585
24.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
587
24.3. Ряды Тейлора и Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
24.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597
24.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды . . . . . . . . . . .
598
24.6. Приложения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
605
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
611
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
612

Глава 25. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
25.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
25.2. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
. . . . . . . . . . . . . .
617
25.3. Сдвиг основного промежутка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
619
25.4. Разложение в ряд Фурье функции с любым периодом . . . . . . . . . . .
621
25.5. Разложение в ряд Фурье непериодической функции
. . . . . . . . . . .
625
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
627
Задания для самоподготовки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
627

Раздел IV

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 26. Обыкновенные дифференциальные уравнения
. . . . . . . . . . . . .
628
26.1. Задачи физического и геометрического содержания,
приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . .
629
26.2. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка.
Поле направлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
634
26.3. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
. .
635
26.4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . .
641
26.5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
. . . . . . . . .
644

10
Университетская серия