Практикум по теории вероятностей: случайные события и величины

ПРАКТИКУИ ПО ТЕОРИИ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СЛУЧАЙНЫЕ 

СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ

Методическое пособие для студентов

Костиков Ю. А., Мокряков А. В., Павлов В. Ю., Романенков А. М.

МОСКВА

Практикум по теории вероятностей

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ

Методическое пособие для студентов

Практикум по теории вероятностей: случайные события и величины. 

Методическое пособие для студентов. 2014. — 62с.

В работу включено краткое изложение основ комбинаторики, 

элементарной теории вероятности и техники работы с дискретными и 

непрерывными случайными величинами. Приведены решения типовых задач. 

Теоретический 
материал 
сопровождают 
упражнения 
разного 
уровня 

сложности. Пособие содержит большое количество расчетных заданий на 

темы «случайные события», законы распределения, случайные величины, а 

также
небольшой список упражнений на моделирование в теории 

вероятностей.

Для студентов кафедры «Прикладная математика и информационные 

технологии». 

Практикум по теории вероятностей: случайные события и величины.

Методическое пособие для студентов.

Под редакцией авторов

СОДЕРЖАНИЕ

Основные понятия комбинаторики
4

Классическое определение вероятности
11

Геометрические вероятности
16

Теоремы сложения и умножения вероятностей.
20

Схема Бернулли
21

Формула полной вероятности. Формула Байеса.
29

Случайные величины
39

Производящие функции
42

Нормальное распределение
50

Литература
61

Основные понятия комбинаторики.

Комбинаторика –
это раздел математики, изучающий конечные 

множества. Определим классические комбинаторные понятия.

Размещения. Пусть есть 𝑛 различных шаров, и есть 𝑘 (0 < 𝑘 ≤ 𝑛)

различимых между собой ячеек. (Например, каждая ячейка имеет свой номер.) 

Заполним все ячейки шарами. Спрашивается, сколько существует способов 

произвести такое заполнение, или сколькими способами можно разместить 𝑛

шаров в 𝑘 ячейках. 

И так, заполнить 1-ую ячейку можно ровно 𝑛 способами: в нашем 

распоряжении все шары. После размещения первого шара возможностей 

заполнить вторую ячейку ровно 𝑛 − 1 (1 шар уже использован), для третьей 

ячейки - 𝑛 − 2, для четвертой - 𝑛 − 3, …, для заполнения последней 𝑘 −ой 

ячейки нужно произвести выбор из 𝑛 − (𝑘 − 1) = 𝑛 − 𝑘 + 1
шаров. 

Подсчитаем количество размещений. Для этого воспользуемся следующим 

утверждением:

Если объект 𝑄 можно выбрать 𝑖 способами и если после каждого такого 

выбора объект 𝑅 можно выбрать 𝑗 способами, то выбор пары (𝑄, 𝑅) в 

указанном порядке можно осуществить ровно 𝑖𝑗 способами.

Упражнение 1. Докажите утверждение.

Согласно сформулированному утверждению, получаем, что количество 

размещений из 𝑛 элементов по 𝑘 выражается формулой:

𝐴𝑛

𝑘 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ … ∙ (𝑛 − 𝑘 + 1)         (1)

Перестановки. Положим 𝑘 = 𝑛 в формуле (1). Тогда 𝐴𝑛

𝑛 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙

… ∙ 2 ∙ 1. Мы получили, что число размещений 𝑛 шаров по 𝑛 ячейкам равно 

произведению всех натуральных чисел от 𝑛 до 1; такое произведение 

называется факториалом числа 𝑛 и обозначается 𝑛!. Заметим, что такое 

размещение является перестановкой: мы выбрали все шары и расставили их в 

другом порядке. Число перестановок 𝑛 объектов:

𝑃𝑛 = 𝑛!          (2)

Замечание. По определению полагаем 0! = 1.

Упражнение 2. Найдите факториалы чисел 5, 6, 7, 8.

Упражнение 3. Докажите, что 𝑃𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑃𝑛−1.

Упражнение 4. Докажите, что 𝐴𝑛

𝑘 =

𝑛!

(𝑛−𝑘)!.

Сочетания. При получении формулы (1) для числа размещений был 

важен порядок расстановки шаров. Откажемся от этого ограничения: 

отождествим все размещения, отличающиеся только порядком следования 

элементов. Иными словами, нас интересует только состав комбинации из 𝑘

элементов.

Сочетаниями из 𝑛 элементов по 𝑘 называют любой набор 𝑘 элементов из 

имеющихся различных 𝑛 элементов. Число сочетаний обозначается 𝐶𝑛

𝑘. Для 

получения формулы числа сочетаний сначала найдем 𝐴𝑛

𝑘. Так как в сочетании 

не важен порядок следования элементов, то есть не важна перестановка 

элементов в данном сочетании, то число сочетаний в точности в 𝑃𝑘 раз меньше 

чем 𝐴𝑛

𝑘:

𝐶𝑛

𝑘 = 𝐴𝑛

𝑘

𝑃𝑘

         (3)

Воспользовавшись упражнением 4, и формулой 3 получаем:

𝐶𝑛

𝑘 =
𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!        (4)

Упражнение 5. Найдите 𝐶𝑛

0, 𝐶𝑛

1, 𝐶𝑛

2. 

Упражнение 6. Докажите, что 𝐶𝑛

𝑘 = 𝐶𝑛

𝑛−𝑘

Упражнение 7. Сколько существует k-элементных подмножеств из 

множества мощностью n элементов?

Упражнение 8.Докажите, что 𝐶𝑛+1

𝑘
= 𝐶𝑛

𝑘 + 𝐶𝑛

𝑘−1

Упражнение 9. Бином Ньютона. Докажите, что

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛

𝑘𝑎𝑘

𝑛

𝑘=0

𝑏𝑛−𝑘

Указание. Воспользуйтесь принципом математической индукции 

и упражнением 8.

Формула Стирлинга.

𝑛! ~√2𝜋𝑛𝑛+1

2𝑒−𝑛

где ~ означает, что 
1

2

!
lim

2
1







n
n
n

e
n

n



.

Доказательство. Рассмотрим логарифм факториала числа 𝑛:

ln 𝑛! = ∑ ln 𝑘

𝑛

𝑘=1

Логарифм – монотонная функция своего аргумента, поэтому

∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑘

𝑘−1

< ln 𝑘 < ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑘+1

𝑘

Просуммируем эти неравенства по 𝑘 = 1, … , 𝑛:

∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑛

0

< ln 𝑛! < ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑛+1

1

После интегрирования, получаем следующие неравенство:

𝑛 ln 𝑛 − 𝑛 < ln 𝑛! < (𝑛 + 1) ln(𝑛 + 1) − 𝑛 . 

Это двойное неравенство наводит на мысль сравнить ln 𝑛! с некоторой 

величиной, близкой к среднему арифметическому крайних членов. Такой 

величиной будет (𝑛 +

1

2) ln 𝑛 − 𝑛. Оценим разность 𝑑𝑛 = ln 𝑛! −

(𝑛 +

1

2) ln 𝑛 + 𝑛. Рассмотрим

𝑑𝑛 − 𝑑𝑛+1 = (𝑛 + 1

2) ln 𝑛 + 1

𝑛
− 1

Заметим, что 

𝑛+1

𝑛 =

1+
1

2𝑛+1

1−
1

2𝑛+1

. Используя, разложение логарифма в ряд Тейлора 

получим: 𝑑𝑛 − 𝑑𝑛+1 =

1

3(2𝑛+1)2 +

1

5(2𝑛+1)4 + ⋯. 

Упражнение 10. Получите разложение функции ln(1 + 𝑥) в ряд 

Тейлора. При каких 𝑥 это разложение справедливо?

Упражнение 11. Получите разложение в ряд Тейлора функции ln

1+𝑥

1−𝑥. 

При каких 𝑥 это разложение справедливо?

Заметим, что последовательность 𝑑𝑛 убывает. Оценим сверху сумму 

(

1

3(2𝑛+1)2 +

1

5(2𝑛+1)4 + ⋯ ) геометрической прогрессией со знаменателем 

1

(2𝑛+1)2:

0 < 𝑑𝑛 − 𝑑𝑛+1 <
1

3((2𝑛 + 1)2 − 1) =
1

12𝑛 −
1

12(𝑛 + 1)

Из последнего неравенства видно, что последовательность 𝑑𝑛 −

1

12𝑛

возрастает, а это значит, что существует конечный предел 
n
n
d
C



 lim
. И, 

используя свойства логарифма, получим, что 𝑛! ~𝑒𝐶𝑛𝑛+1

2𝑒−𝑛.

Замечание.  Пока не доказано, что 𝑒𝐶 = √2𝜋, но на данном этапе этот 

факт стоит принять на веру. 

Примеры.

1. Сколько существует  пятизначных телефонных номеров, все цифры 

которых различны?

Решение. Перефразируем задачу: Сколькими способами можно 

разместить 10 цифр на 5 позициях. Тогда по формуле 1:

𝐴10

5 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 30240.

2. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь?

Решение. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться формулой 

(2), так все 8 человек различимы, то фактически необходимо найти, 

сколько существует перестановок из 8 элементов.

𝑃8 = 8! = 40320

3. Сколькими способами из 12 спортсменов можно отобрать команду из 

6 человек?

Решение. Очевидно, команда из 7 человек является 7-элементым 

подмножеством множества из 12 элементов, то есть сочетанием из 12 

элементов по 7. Искомое число способов равно 𝐶12

7 =

12!

7!∙5! =

7!∙8∙9∙10∙11∙12

7!∙2∙3∙4∙5
= 8 ∙ 9 ∙ 11 = 792.

4. Докажите, что

∑ 𝐶𝑛

𝑘 = 2𝑛

𝑛

𝑘=0

Решение. Воспользуемся биномом Ньютона (упражнение 9). 

Положим 𝑎 = 𝑏 = 1, тогда автоматом получается требуемое 

соотношение.

5. Докажите, что

∑ 𝑘𝐶𝑛

𝑘 = 𝑛2𝑛−1

𝑛

𝑘=0

Решение. Воспользуемся упражнением 9. Положим 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 1:

(𝑥 + 1)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛

𝑘𝑥𝑘

𝑛

𝑘=0

Продифференцируем это тождество:

𝑛(𝑥 + 1)𝑛−1 = ∑ 𝐶𝑛

𝑘𝑘𝑥𝑘−1

𝑛

𝑘=0

Теперь положим 𝑥 = 1 и тождество доказано.

Задачи.

1. В совете директоров некоторого «ОАО» числится 30 человек. Из 

членов совета нужно выбрать председателя, заместителя председателя, 

главного менеджера и его заместителя, а так же секретаря. Сколькими 

способами можно сделать этот выбор, если каждый член совета 

директоров может занимать один пост?

2. Доказать тождество:

𝐶𝑛

𝑘 = 𝐶𝑛−2

𝑘
+ 2𝐶𝑛−2

𝑘−1 + 𝐶𝑛−2

𝑘−2

3. В некоторой операционной системе имена пользователей могут 

начинаться с буквы U. Скольким пользователям можно присвоить 

различные имена, если имена состоят из 4 букв, причем эти буквы могут 

повторяться? (Указание: в латинском алфавите 26 букв.)

4. Доказать, что

∑ 2𝑘𝐶𝑁

𝑘 = 3𝑁

𝑁

𝑘=0

5. В микроавтобусе 15 мест, включая место водителя. Сколькими 

способами  15 человек может разместиться в микроавтобусе, если 

место водителя могут занять только 4 из них?

6. Докажите, что

∑(−1)𝑘𝐶𝑁

𝑘 = 0

𝑁

𝑘=0

7. Доказать тождество

𝐶𝑁

𝑘𝐶𝑘

𝑙 = 𝐶𝑁

𝑙 𝐶𝑁−𝑙

𝑘−𝑙,
𝑙 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁

8. В некоторой операционной системе имена пользователей могут 

начинаться с буквы U. Скольким пользователям можно присвоить 

различные имена, если имена пользователей состоят из 6 букв, которые 

не повторяются? (Указание: в латинском алфавите 26 букв.)

9. Докажите тождество