Быстро сходящиеся ортогональные ряды

УДК 681.518.3
А.Н. Дегтярев
Севастопольский национальный технический университет,
Университетская, 33, г. Севастополь, 99053, Украина
vm@sevgtu.sebastopol.ua
БЫСТРО СХОДЯЩИЕСЯ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Постановка задачи. Многие задачи науки и техники связаны с пред
ставлениями функций в виде ортогональных рядов. Быструю сходимость рядов обеспечивает разложение Карунена-Лоева-Пугачева (К-Л-П-разложение), 
базис которого определяется достаточно сложно [1], [2]. Актуально разработать простой метод получения ортогонального базиса, который обеспечивает
быструю сходимость рядов.

Выбор ортогонального базиса. Пусть случайный процесс 
)
(t
x
с корре
ляционной функцией 
)
,
(t
Rx
описывается конечной суммой ряда по функци
ям
)
(t
k
, которые ортогональны с весом
)
(t
h
:

N

k

k
k
t
y
t
x

1

)
(
)
(
(1)

Тогда 
)
(t
k
, которые минимизируют функционал ошибки

T
N

k

k
k
t
t
h
t
y
t
x
I

0

2

1

d
)
(
])
(
)
(
[
M
,              
(2)

должны являться собственными функциями ядра интегрального уравнения

)
(
d
)
(
)
(
)
,
(
2

0

t
h
t
R
k
k

T

k
x
,
(3)

где 
...
M
– математическое ожидание,
2
k – дисперсии коэффициентов 
ky .

Средняя квадратическая ошибка аппроксимации случайного процесса 

суммой (1) равна 
.

1

2
2

N
n

n
a
I

Если 

0

)
(
)
(

k

k
k
t
y
t
x
(4)

является эргодическим случайным процессом, то 

,)
(
d
)
(
)
(
)
(
)
,
(

0
0
k
n

kn
n
k
x
x
R
y
y
t
t
x
t
x
R
t
R
(5)

где 
t
t
t
R
n
k
kn
d
)
(
)
(
)
(
.

Преобразование Фурье от обеих частей равенства (5) дает