Основы имитационного моделирования сложных экономических систем

Н.Б. Кобелев

Основы имитационного моделирования 

сложных экономических систем

Москва

Вузовский Учебник

2015

Н.Б. Кобелев

Основы имитационного моделирования 

сложных экономических систем

Москва

Вузовский учебник; Znanium.com

2015

Кобелев, Н.Б.

Основы имитационного моделирования сложных экономических 

систем / Н.Б. Кобелев. – М.: Вузовский учебник; Znanium.com, год. – 139 с.

Н.Б. Кобелев, 2015

Введение

Книга представляет собой учебно-методическое пособие для изучения и применения имитационных 

методов при моделировании сложных экономических объектов.

Современное развитие теории и практики изучения сложных социально-экономических и техниче
ских явлений перешло на принципиально иной уровень исследования, когда те или иные элементы теории 
должны быть предварительно апробированы не на реальных экономических объектах и людях, а на их аналогах, т.е. на моделях. Осуществление экономических, политических и крупных природно-технологических 
реформ и новаций с целью достижения каких-то желаемых результатов также требует экспериментальной 
проверки, чтобы иметь желаемые результаты с большей достоверностью и меньшим риском получения нежелаемых последствий.

Поведение большинства сложных технических систем, таких как самолеты, ракеты, подводные лод
ки, атомные реакторы, энергосистемы и т.п. уже давно исследуются на, так называемых, имитационных 
моделях. Их проектирование и натурные испытания предваряет апробация каждой составляющей системы 
или подсистемы на имитационной модели.

Аналогичные приемы осуществляются при исследовании процессов загрязнения и защиты окру
жающей среды, изучении погодных явлений, планировании военных действий и т.п.

Имитационное моделирование как инструмент  исследования отдельных объектов применяется с 

60-ых годов, однако получение реальных и достоверных результатов для достаточно крупных и сложных 
объектов стало возможным лишь в последние годы в связи с существенным расширением возможностей 
вычислительных систем.

Имитационные модели не являются представителями какого-то класса математических ме
тодов, они намного шире  аксиоматики любого математического метода, т.к. базируются на применении более общих категорий человеческого познания. К таким категориям можно отнести понятия: система, сложность, разнообразие, управление, устойчивость, надежность и т.п.

Основным принципом построения имитационных моделей является аналогия или исследование по 

аналогии. Этот принцип применяется фактически и в обычном математическом моделировании, однако 
принципиальное отличие заключается в ограниченности аксиоматики любого математического метода моделирования определенными рамками, например, гладкостью, стационарностью, непротиворечивостью, ординарностью и другими чисто формальными ограничениями конкретного математического метода.

Имитационное моделирование фактически не имеет каких-либо ограничений, по крайней мере, в 

постановочной части. Единственное ограничение связано с обязательным наличием достаточно мощной 
вычислительной системы, допускающей параллельное функционирование нескольких задач одновременно и 
соответствующего программного обеспечения.

Многие специалисты имитационного моделирования считают главным в этой сфере деятельности 

создание соответствующего программного обеспечения, оставляя за пределами серьезной теории методологию и методику, исследования по аналогии. По нашему мнению именно это и является сдерживающим 
фактором использования имитационных моделей в экономической теории и практике.

Ни в коей мере не умаляя значение и важность программного обеспечения имитационного модели
рования, как основного элемента, необходимого для обеспечения процесса имитации, следует заметить, что 
программное обеспечение только тогда будет эффективно, когда оно сочетается с достаточно универсальным языком описания объектов моделирования и построения эффективных имитационных моделей.

Язык описания объектов моделирования, используемый для применения имитационного подхо
да, не есть язык программного обеспечения. Это совершенно разные вещи.

Язык описания должен быть высокоинтеллектуальным, близким к языку пользователя этого объек
та, отображать все необходимые свойства последнего, не требовать большой специальной подготовки для 
пользователя и находиться в пределах владения общепринятыми пакетами программ типа Word, Exell и т.п. 
Наоборот, программное обеспечение может использовать любые свои самые современные достижения в 
области управления многофункциональными вычислительными комплексами с обеспечением любых аналитических исследований, оптимизации, графической визуализации, анимации и другими способами обработки и отображения данных.

Таким образом, проблема имитационного моделирования заключается в решении двух задач. Пер
вая – разработка достаточно универсального языка описания объектов имитационного моделирования на 
основе принципа аналогии. Вторая – создание достаточно мощного программного обеспечения для реализации имитационных процедур.

Первая проблема до настоящего времени не решена, хотя была поставлена в 60-х годах прошлого 

столетия. Вторая имеет довольно много вариантов решения, например, языки моделирования GPSS, GASPIV,SIMULA-67, Process Charter, Jthink, Pilgrim, Anylogic и др. Но, достаточно большое количество  пакетов 
имитационного моделирования связано с различным пониманием их авторов процедур имитационного моделирования. Несмотря на довольно высокую степень универсальности и развитости этих пакетов их применение требует высокой степени подготовки пользователя при их применении, что и ограничивает их использование кругом подготовленных специалистов. Обычный пользователь, как правило, не в состоя

нии провести достаточно полную аналогию между своим объектом и понятиями, применяемыми в 
существующих пакетах имитационного моделирования.

Однако имитационное моделирование уже довольно широко применяется многими пользователями 

во всем мире через специализированные организации и группы, реализующие имитационные модели, которые в большинстве своем объединены в национальные общества имитационного моделирования. Например, 
в США: Национальный центр имитационного моделирования, Международное общество компьютерного 
моделирования и т.п., в Европе: Федерация европейских обществ по моделированию (EUROSJM), Объединенное общество по моделированию (Австрия, Германия, Швейцария – ASJM), Хорватское общество имитационного моделирования (CROSSJM), Чешско-Словацкое общество имитационного моделирования 
(CSSS) и другие аналогичные национальные и межнациональные центры в Голландии, Франции, Бельгии, 
Венгрии, Италии, Дании, Швеции, Норвегии, Финляндии, Словении, Великобритании, Испании, Польши, 
Румынии, Латвии и т.д.

Наша страна, имея несколько школ имитационного моделирования с 60-х годов 20 века за послед
ние 15 лет несколько отстала в силу известных причин в развитии этого весьма важного инструментария для 
исследования сложных объектов, каким является, прежде всего, экономика.

Вместе с тем, начиная с 2000 года, тенденция отставания начала преодолеваться и в ряде городов 

Санкт-Петербурге, Москве, Новосибирске и др. появились группы ученых, занятых разработкой теории и 
практики имитационного моделирования. В 2003, 2005, 2007 и 2009 годах были проведены всероссийские 
научно-практические конференции по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности.

1.Имитационное моделирование – способ исследования и 

управления сложными экономическими объектами.

Практическое использование экономико–математических моделей при исследовании или управле
нии экономическими объектами обычно связано с двумя проблемами. Первая заключается в необходимости 
правильно применять конкретный математический метод к исследуемому объекту. Это достигается сочетанием профессиональных знаний об объекте, владением системным анализом и достаточным уровнем математической подготовки. Людей обладающих такой подготовкой часто называют системотехниками. Таким 
образом решение первой проблемы связано с наличием грамотного системотехника.

Вторая проблема более сложная. Она заключается в том, что большинство математических методов 

по своим возможностям очень ограничены и могут решать лишь отдельные частные задачи. Между тем реальный экономический объект будь то предприятие, отрасль и, тем более, экономика страны, намного разнообразнее любого математического метода. Кроме того, каждый математический метод ориентирован на 
определенную постановку задачи и заданную методику ее решения.

Таким образом, получается, что при применении той или иной математической модели, мы сущест
венно упрощаем моделируемый объект и, как правило, моделируем только какую–либо одну функцию или 
часть объекта. Модель упрощает реальный объект до уровня постановки задачи. Иногда такие упрощения 
могут дать определенную полезную информацию об объекте, если моделируемая функция или составная 
часть не слишком зависят от других функций или частей, или когда эти функции, или оставшиеся части, 
замещаются через какие-либо эквивалентные параметры. Однако такие замещения, как правило, удаются 
нечасто, да и не для всех методов.

Поэтому, применение оптимизационных, игровых методов и моделей, моделей управления запаса
ми, моделей систем массового обслуживания и многих других аналитических подходов сопряжено с большими трудностями при моделировании реальных экономических объектов. Будучи достаточно простыми и 
элегантными при применении на иллюстрационных примерах  в реальной  жизни они мало применимы.

Вместе с тем положение существенно меняется, когда эти и другие аналитические методы исполь
зуются совместно в рамках имитационного подхода или в рамках имитационной модели. Грамотный системотехник при построении экономико-математической модели в большинстве случаев выберет имитационную модель в которой применяются различные математические подходы, эвристические приемы и экспертные оценки.

Таким образом имитационное моделирование или имитационный подход это возможность совмест
ного применения математических, эвристических и экспертных методов, позволяющая осуществлять моделирование реальных объектов с большей точностью и, как правило, без существенной деформации структур, частей, элементов, отношений порядка и связей моделируемого объекта. Имитационная модель 
должна быть весьма похожей на объект, а получаемые решения по своей форме и используемым показателям аналогичны применяемым в реальной практике функционирования этого объекта (а не в 
постановке того или иного математического метода).

1.2. Понятие имитационной модели и ее особенности.

Термин имитация (от латинского imitation-подражание) используется для воспроизведения яв
лений, событий, действий, объектов и т. п. определенным образом. В известном смысле «имитация» является синонимом понятия модель (от латинского modulus – мера, образец), которая определяется как лю

бой образ материальный или не материальный (изображение, описание, схема, воспроизведение, материальное воплощение, представитель и т. п.).

Имитационные модели применяются для моделирования сложных объектов, которые трудно фор
мализовать в рамках аналитической математической модели. Трудности заключаются с одной стороны в 
невозможности достаточно полно в терминах определенного математического метода описать экономический объект, а с другой в сложности или невозможности аналитического решения. Последнее связано с вероятностным поведением объекта моделирования, нестабильностью его вероятностных характеристик и 
параметров потоков входных данных.

Имитационные модели строят, когда объект моделирования настолько сложен, что описать его 

поведение, например, математическими уравнениями невозможно или очень трудно. В некоторых случаях 
такой объект моделирования называют «черным ящиком», т.е. объектом с неизвестной внутренней структурой и, следовательно, с неизвестным поведением при воздействии на него как извне, так и при внутренних 
изменениях. В этих случаях имитационная модель позволяет задавать входные воздействия, сходные по параметрам с реальными или желаемыми воздействиями и, измеряя реакцию модели объекта на них, изучать 
структуру объекта и его поведение.

Другая особенность имитационного моделирования характерна разрешением конфликта между ма
тематиком, который не знает в достаточной мере объект как специалист, и специалистом (практиком) 
данного объекта, не владеющим профессионально математическими методами. Как правило, при построении имитационной модели математик использует сравнительно простые математические схемы, описывающие объект по частям, а практик подсказывает, как расчленить объект на более или менее независимые части, как осуществить их сопряжение и задает реальные, желаемые или пробные параметры внешних воздействий на имитационную модель объекта.

При этом с позиции математика иногда нарушается математическая строгость описания объекта в це
лом, т.к. части последнего могут быть описаны различными математическими схемами (методами) с различными не стыкующимися критериями или направлениями оптимизации с точки зрения математической 
теории. В этом случае имитационные модели позволяют использовать многокритериальные подходы и 
условия заданного компромисса [6] c.459 – 4631, что способствует, в определенной степени, разрешению 
проблем стыковки различных математических методов без нарушения строгости математического описания 
объекта.

Сопряжение различных математических методов в рамках имитационной модели упрощается 

также в связи с тем, что стыковка частей имитационной модели осуществляется не в терминах того или 
иного математического аппарата, а на языке цифр. Даже если моделирование частей объекта ведется на 
языках различных математических методов в имитационных моделях соединения частей объекта, оценка 
целей, критериев их достижения, результатов моделирования осуществляется через матрицы, потоки и иные 
общематематические понятия, задаваемые или получаемые исключительно в виде числовых, а не аналитических значений. Это, конечно, не означает полную количественную сопоставимость результатов, т.к. масштабы каждого числового значения могут быть различны, но упрощает процедуры сведения их к сопоставимости.

Имитационные модели, несмотря на то, что воспроизводят сложные объекты, при разумном под
ходе обеспечивают бóльшую близость модели и моделируемого объекта, чем при применении какоголибо одного точного математического метода. Бóльшая близость получается за счет воспроизведения тех 
или иных свойств объекта или воздействий на него в форме понятной большему количеству людей, являющихся специалистами по различным аспектам деятельности данного объекта. Таким образом, экспертами 
при имитационном моделировании может выступать больший круг людей, а, следовательно, обеспечивается 
большая адекватность модели реальному объекту.

Часто задают вопрос о том, насколько сложно строить имитационные модели и когда это следует де
лать.

Построение имитационных моделей не намного сложнее, чем применение стандартных матема
тических схем. Конечно, решить типовую задачу линейного программирования, например, на нахождение 
оптимального плана производства каких-либо изделий на предприятии максимизирующую прибыль с применением типового пакета программ на компьютере проще, чем построить имитационную модель этого 
предприятия с тем же критерием оптимальности. Однако информативность имитационной модели несравненно выше, она позволяет найти такие характеристики, которые при решении задачи линейного программирования просто отсутствуют.

Поэтому разработчик модели должен четко, заранее не обманывая себя и заказчика модели, оце
нить эффективность будущей модели с позиции ее практической необходимости и точности. Он должен выбрать одну из двух альтернатив. Первая заключается в том, ждет ли заказчик от заказываемой модели 
каких-либо реальных рекомендаций? Его задача, может быть, заключается в ознакомлении с возможностями 
моделирования, в желании просто поиграть с моделями, в попытке создать рекламу своему объекту или дать 
видимость серьезной аналитической проработки будущего своего объекта. Могут быть и другие цели по
1 См. также методику, приведенную в разделе 2.2.3.

строения модели, не связанные с действительным отображением на модели данного объекта. В этом случае 
разработчик может смело браться  за построение модели любого типа, а лучше всего того типа, математическим аппаратом которого он владеет лучше всего.

Другая альтернатива заключена в том, что заказчик желает построить реальную модель своего 

объекта или своей проблемы. Он хочет получить реальные данные о функционировании своего объекта или 
его части, или он пытается оценить поведение объекта и выбрать оптимальную траекторию его развития. 
Всегда, когда заказчик имеет желание получить какое-то новое эффективное решение, разработчик модели 
должен выбрать тот тип модели, который сможет дать нужное решение. В большинстве случаев, если речь 
не идет о решении простых рутинных проблем, а в постановке задачи стоит вопрос об исследовании сложной, противоречивой динамической системы, то целесообразно выбрать имитационную модель.

Имитационные модели в сравнениями с аналитическими обладают следующими достоинствами:
позволяют сопрягать различные математические подходы при моделировании определенных частей 
или свойств объекта;
допускает наличие нестабильности вероятностных характеристик объекта и параметров потоков 
входных данных;
могут использовать многокритериальные подходы и целевые установки (цели объекта) не деформированные математической формализацией;
могут применять входные данные (потоки) не ограниченные требованиями ординарности, стационарности, отсутствия последействия и т.п.;
применяются при решении различных задач моделирования: оптимизационных, исследующих тенденций, балансовых, игровых, задач самоорганизации и т.п.;
точнее и нагляднее без существенной деформации структур, воспроизводят моделируемые объекты;
легче понимаются специалистами по данному объекту моделирования;
более информативны, чем аналитические модели;
позволяют получать решения не только для установившегося состояния, но и в переходном режиме;
позволяют вести исследования объекта моделирования на надежность, эффективность, устойчивость, управляемость и т.п.

Имитационное моделирование базируется на представлении объекта моделирования в виде систем, со
стоящих из совокупности элементов, упорядоченных определенным образом, взаимосвязанных между собой.

Системой называется совокупность разнообразия элементов, отношений порядка и взаимо
связей между элементами действующих в направлении достижения общей цели функционирования 
объекта.

Формализация моделируемых объектов в виде систем является основой имитационного моделирования. 
Имитационные модели в своей постановке достаточно разнообразны и могут быть условно разделены 

на две группы: универсальные имитационные модели и специальные (эвристические) имитационные 
модели. 

Первая группа предполагает наличие некой универсальной модели, которая способна настраивать
ся на моделируемый объект. Основы универсальных имитационных моделей были заложены член – корр. 
АН СССР Н.П. Бусленко в 60-е годы прошлого столетия 1-2 и заключается во введении и описании некого 
агрегата, представляющего модель сложной системы, а также в создании теории агрегативных систем.
Главное, в универсальных имитационных моделях является наличие языка пользователя

Что же такое язык пользователя? Прежде всего, это язык высокого уровня. Это не язык про
граммирования для ЭВМ и не язык программиста. Это язык, на котором достаточно квалифицированный пользователь самостоятельно, без постороннего специализированного вмешательства, описывает свой объект моделирования. Под квалифицированным пользователем понимается человек – владелец или руководитель данного объекта, главный конструктор какого-либо проекта, старший офицерский 
состав вооруженных сил, руководители министерств и ведомств, политики и т.п., имеющие специальное 
образование по своей профессии, обычное владение компьютером и математическую подготовку на уровне 
среднего технического или  экономического ВУЗа. Для овладения языком пользователя должно быть достаточно 2-3-х недельного курса подготовки в институтах повышения квалификации.

Здесь же следует отметить, что язык пользователя должен иметь специальный транслятор или 

трансляторы на соответствующие языки имитационного моделирования. Сейчас, такой транслятор в 
России сделан на языке GPSS. 
При наличии такого транслятора, пользователь может  решить многие 

сформулированные выше проблемы и, в том числе, появится возможность массового применения имитационного моделирования, снизится цена построения и реализации моделей и, может быть.

В 2008г. ВЗФЭИ разработаны типовыми имитационными процедуры и их взаимное воссоединение в 

рамках системного подхода позволяет существенно ускорить процессы массового применения имитационного моделирования для управления сложными объектами.

Ко второй группе принадлежат имитационные модели в которых могут быть использованы раз
личные математические схемы (системы массового обслуживания (СМО), конечные автоматы (КА), дифференциальные уравнения (ДУ) и т.п.), а также придуманные, свойственные для данного объекта процедуры 
или правила поведения, включая способы пошаговой оптимизации и т.п.

Ниже будут рассмотрены универсальные имитационные модели (УИМ) и некоторые специальные.

1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ

ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ.

Суть имитационного моделирования заключается в том, чтобы как можно точнее, полнее, на
гляднее отобразить моделируемый объект и динамику его функционирования. По возможности нужно как 
можно меньше деформировать структуру объекта, т.е. желательно, чтобы в модели все части объекта 
имели реальное отображение, а потоки информации о них представляли реальные потоки заказов, ресурсов, 
людей, идей и т.п.

Наиболее полное воплощение высказанных пожеланий обеспечивается, если в основу имитационного 

моделирования закладывается системный анализ объекта и системный синтез при построении модели. 
Оба приведенных понятия связаны с определением системы и атрибутов с ней связанных, а также с оценкой 
сложности систем, качеством управления системами, их надежностью и самоорганизацией. Будем рассматривать эти категории с единых позиций как основу формирования общего языка имитационного моделирования.

1.3.1. СИСТЕМА.

Понятие системы давно стало ходовым и часто употребимым термином. Мы используем его всякий 

раз, когда необходимо описать какое-нибудь сложное явление или объект, обладающий многими составными частями различного назначения, взаимосвязанными между собой общими законами функционирования. 
Мы говорим "система управления предприятием" и подразумеваем совокупность лиц и подразделений административного аппарата управления (директор, главный инженер, плановый отдел, отдел труда и заработной платы, начальники производственных подразделений и т.п.); совокупность уровней и субординаций 
между ними, вытекающую из конкретных задач каждого подразделения; совокупность информационных 
связей и взаимосвязей, необходимых для функционирования всей системы управления в соответствии с общей целью управления предприятием.

При экономико-математическом моделировании понятие системы дается в более формализованном 

виде, очищенном от содержательных характеристик элементов, отношений порядка и связей между ними. 
Рассмотрим логическую последовательность определений, из которых вытекает понятие системы.

Первым, самым элементарным уровнем описания системы, является множество элементов или 

разнообразие элементов множества. Под разнообразием элементов множества понимают совокупность 
каких—либо объектов, которые являются составными частями системы. Выше мы перечисляли совокупность элементов, входящим в состав системы управления предприятием. Народное хозяйство тоже является 
системой и состоит из разнообразного множества элементов или объектов, таких как отрасли, управляющие 
органы, органы материально-технического снабжения и т.п.

Если все разнообразие элементов множества рассредоточить в определенном порядке, т.е. упорядо
чить по каким-либо признакам, например, по решаемым задачам, подчиненности, ответственности и т.п., то 
получим упорядоченную совокупность элементов множества. Например, в системе народного хозяйства 
каждая отрасль имеет определенные задачи и цели. Следовательно, частью упорядоченной совокупности 
элементов системы народного хозяйства можно назвать описание отраслей в определенной последовательности. Такие описания, к примеру, дает Госкомстат при составлении отчетов о деятельности отраслей народного хозяйства.

Дополнение упорядоченного множества элементов совокупностью связей и взаимосвязей между 

ними образует некоторую организацию. Таким образом, под организацией понимается совокупность разнообразия элементов множества, разнообразия отношений порядка и разнообразия взаимосвязей между элементами. Мы часто говорим -научная организация (институт), строительная организация (трест), 
научная организация труда и т.п., подразумевая под этим совокупность подразделений, задач, их содержательный смысл и определенную взаимосвязь всех элементов. Под системой будем подразумевать организацию, образующую целостное единство и имеющую общую цель функционирования. Всякая реальная 
система обладает организацией, но не всякая организация есть система. Организация становится системой 
только при наличии общей цели функционирования для всех ее элементов. Из этого определения системы 
берет свое название системный подход — метод исследования организаций, имеющих общую цель. 
Приведенные ранее примеры организаций (предприятие, народное хозяйство) являются системами, т.к. 
имеют общие цели функционирования для всех своих элементов. Не является системой организация, со

стоящая из научно-исследовательского института и промышленного предприятия, даже в одной отрасли 
промышленности, если институт и предприятие не входят в научно-производственное объединение.

Понятие организация, система относительны, т.к. элементы и связи между ними могут быть 

всегда агрегированы в более крупные и расчленены на более мелкие. Поэтому в зависимости от степени дробления элементов и связей внутри каждой организации и системы всегда можно выделить другие организации и системы.

Если в системе происходит изменение отношений порядка между элементами или изменяются взаи
мосвязи, то говорят, что система изменила свою структуру. Например, на предприятии произошла реорганизация аппарата управления, изменена ответственность и подчиненность с целью сокращения промежуточных звеньев прохождения информации. Предприятие выпускает одну и ту же продукцию, цель функционирования предприятия осталась прежней. В этом случае налицо изменение структуры системы управления 
предприятием.

Таким образом, под структурой системы будем понимать способ существования организации 

или системы, фиксирующий вполне определенные приоритеты и взаимосвязи элементов системы между 
собой. Для каждой системы можно построить несколько типов структур.

Понятие структуры можно использовать не только для системы, но и для организации. Структура ор
ганизации - это способ составления организации из ее элементов.

Таким образом, объект и, в частности, экономический объект для целей имитационного моделирова
ния может быть представлен в виде системы, организации или структуры. Эти понятия являются основным «строительным материалом» для имитационной модели. Формализация системы и ее элементов будет 
дана ниже. 

На основе определенной системы, организации, структуры и их атрибутов осуществляется построе
ние имитационных моделей систем, организаций и их структур. Таким образом, имитационные модели 
имеют дело с объектами или проблемами (задачами), которые формализуются как системы, организации или структуры.

Схема имитационной модели системы на примере представлена на рис. 1.3.1 

СИСТЕМА

1 , 
2 ................., 
к

Z1 , Z2 ................., Zl

X1

X2

…………
Xn

Y1

Y2

……….

Ym

В
Н
С

Е
Р

Ш
Е

Н
Д

Я
А

Я

В
Н
С

Е
Р

Ш
Е

Н
Д

Я
А

Я

Рис. 1.3.1. Имитационная модель системы.

Элементы Х1, Х2, ..., Хn называются входами системы (входными переменными), Y1, Y2, ...,Ym - выхо
дами системы (выходными переменными), Z1, Z2, ...,Zl характеризуют состояние системы. Индексами 
1, 

2, ...,
к обозначают параметры системы. Входы и выходы осуществляют связь системы с внешней сре
дой, т.е. другими Системами. Состояния Z1, Z2, ..., Zl фиксируют все изменения, происходящие в системе за 
счет прихода входных сигналов или по причине внутренних изменений, происходящих в системе.

Допустим, необходимо построить модель предприятия занятого выпуском велосипедов. Представим 

предприятие в виде системы и построим ее модель. Тогда, в качестве входов системы можно принять такие 
переменные: X1 — поставки сырья для производства велосипедов, X2 — поставки оборудования, X3 - поток 
людей, нанимающихся на работу, X4 — план выпуска продукции и т.п. Состояниями такой системы можно 
назвать: Z1 — текущее время , Z2 — дефицит оборудования, Z3 — соответствие фактической численности 
работающих нормативной, Z4 — степень  выполнения плана на текущий момент и т.п. Параметры системы 

ka
a
a
,...,
,
2
1
могут характеризовать всевозможные нормы и нормативы, принятые для данного предприятия. 

Выходы системы отображают результаты функционирования системы и могут иметь следующие значения: 
Y1 - количество выпущенной продукции, Y2 — ее стоимость, Y3 — производительность труда, Y4 — величина полученной прибыли и другие показатели деятельности предприятия.

В конкретных моделях систем входы, выходы и состояния связаны между собой функциональными 

или статистическими зависимостями. Задавая определенные значения входных сигналов, исходных параметров, зависимости между переменными при помощи определенных экономико-математических методов 
осуществляют исследование модели по интересующим показателям.

Модели различных систем могут образовывать более крупные и более сложные модели. Для этого 

осуществляют соединение отдельных моделей через их входы и выходы. На рис. 1.3.2. показано соединение 
трех моделей систем в одну.

Рис. 1.3.2. Соединение трех моделей систем в одну.

Сопряжение моделей между собой задается при помощи операторов сопряжений, которые указы
вают на наличие или отсутствие связей между отдельными входами и выходами. Запишем оператор сопряжения для модели, изображенной на рис. 1.3.2.

Оператор сопряжения в данном случае представлен в матричной форме (табл. 1.3.1.). При наличии 

связей между входа и выходами в матрице проставляется цифра 1, в противном случае клетка матрицы остается пустой. Всякую совокупность моделей систем, сопряженных друг с другом, можно представить в виде 
одной модели системы с новыми наборами входов, выходов, состояние и параметров.

Таблица 1.3.1. Оператор сопряжения.

Входы
Выходы

Y1

1
Y2

1
Y1

2
Y2

2
Y3

2
Y1

3
Y2

3
Y3

3

X1

1
1

X2

1

X3

1

X1

2
1

X2

2
1

X1

3
1

X2

3
1

Функционирование системы во времени характеризуется появлением входных, выходных сигналов и 

изменением состояний в векторных пространствах входных, выходных сигналов и состояний.

Под пространством сигналов или состояний понимается n-мерное векторное пространство типа

n
A
A
A
A
.....
2
1
, 
n
,1

Точка в пространстве соответствует конкретному значению сигнала или состояния. Так, если задано 

пространство состояний 
n
Z
Z
Z
Z
...
2
1
, где
Z
Z
- ось пространства, то задание конкретного 

состояния системы означает задание точки 
Z
Z
в пространстве состояний ее координатами. Координа
тами точки Z
в пространстве Z
являются проекции этой точки на все оси пространства, т.е. 

Z
Z Z
Zn
(
,
,...,
)
1
2
.

Частными случаями пространств сигналов и состояний являются двумерное и трехмерное простран
ства. Наиболее наглядно двумерное пространство. На рис. 1.3.3. показано задание состояния некоторой системы в пространстве состояний.

Последовательность состояний системы в различные моменты времени t t
tn
1
2
,
,...,
называется 

траекторией движения системы. Траектория системы показывает изменение состояния системы во времени.

Реакция системы на какой-либо входной сигнал называется переходным процессом. Понятие пере
ходного процесса можно применять как для состояний, так и для выходов системы. Поскольку при моделировании нас интересует значение выходов системы, то чаще переходный процесс системы относят к выходным сигналам. Переходные процессы систем изображены на рис. 1.3.4. Эти процессы характеризуются временем переходного процесса T, величиной перерегулирования 
(максимальное отклонение Y от Y0 за 

время переходного процесса), величиной колебательности переходного процесса
, (коэффициент демп
фирования) и т.п. Переходный процесс — это показатель функционирования системы во времени, ука