Анализ градиентно-устойчивых численных алгоритмов по фон Нейману

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
41

ФИЗИКА. ХИМИЯ
2011. Вып. 1

УДК 541.49

А.А. Сысоева, В.Г. Лебедев

АНАЛИЗ ГРАДИЕНТНО-УСТОЙЧИВЫХ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ ПО ФОН НЕЙМАНУ

Проведён анализ устойчивости численных схем по фон Нейману для уравнений критической динамики первого 
и второго порядка по времени. Показано, что при выборе свободных параметров, гарантирующих градиентную 
устойчивость численных схем, такие схемы одновременно будут также устойчивы по фон Нейману.

Ключевые слова: градиентно-устойчивые методы, Фурье-преобразование, анализ устойчивости по фон Нейману.

Численное моделирование [1; 2] уравнений критической динамики является важным инстру
ментом исследования процессов структурообразования реальных систем [3], находящихся в неустойчивых, сильнонеравновесных состояниях, позволяя прогнозировать характеристики неравновесных 
физических процессов. Особенностью физико-математических моделей структурообразования является их нелинейность, необходимая для описания физической неустойчивости, связанной с зарождением и развитием микроструктур.

Отсутствие локального равновесия приводит к сингулярному возмущению классических уравне
ний структурообразования, в результате чего вместо первой производной по времени в уравнениях 
структурообразования появляется вторая производная по времени. Существующие вычислительные 
алгоритмы для таких задач, как правило, неустойчивы [4] или в лучшем случае неэффективны [5].

Градиентно-устойчивые методы [5-7], гарантирующие монотонное понижение свободной энер
гии при моделировании процессов структурообразования с произвольным шагом по времени, представляют из себя важное исключение среди других алгоритмов и приобретают в последнее время 
широкое распространение [8-10]. Обобщение градиентно-устойчивых методов на случай задач с отсутствием локального равновесия выполнено в работе [11].

Полученные в работе [11] результаты создают теоретический задел для практической разработ
ки алгоритмов в реальных задачах и нуждаются в дополнительном исследовании, позволяющем соотнести ограничения, накладываемые градиентной устойчивостью, с устойчивостью по фон Нейману 
и с численным тестированием.

Целью данной работы является анализ на устойчивость по фон Нейману градиентно
устойчивых численных алгоритмов для гиперболических уравнений Аллена-Кана (AC [12]), КанаХилларда (CH [13]), Свифта-Хоэнберга (SH [13]) и фазового поля кристаллов (PFC [1]) и сравнение 
полученных результатов с условиями устойчивости для локально-равновесного случая.

Анализ уравнений AC первого и второго порядка по времени
Градиентно-устойчивая численная схема по времени для уравнения AC, записанного в безраз
мерном виде как

,
3 








(1)

имеет вид [11]














)1
(
3

3
2
1

)1
(
)
1(
)
1(
)
1(
n
n
a
a
a
t







.
)
(
3

3
2
1

n
n
a
a
a
t











(2)

Соответствующая численная схема для модифицированного уравнения AC

3

n
 





  



(3)

может быть представлена в виде [11]

















)
1
(
3

3
2
1

2

)
1
(
)
1(
)
1(
)
1(
2

n

n

n
a
a
a
t

t








,
2

2

2

)
(
)
(
3

3
2
1

2

)
(
n

n

n
n

n

n
u
t
a
a
a
t

t





















(4)
















)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
2
n
n
n
n

t
u
u









.