Численное моделирование спинодального распада неа основе вариационного подхода

ВЕСТНИК УДМУРТСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
31

ФИЗИКА. ХИМИЯ
2011. Вып. 1

Теоретическая физика

УДК 536.424.1, 536.424.5

А.В. Обухов, А.A. Обухов, В.Г. Лебедев, Т.А. Новикова

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПИНОДАЛЬНОГО РАСПАДА 
НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО ПОДХОДА

На основе вариационного принципа, полученного в работе [1], для уравнения Кана – Хилларда  построен неявный 
численный алгоритм с аппроксимацией высокого порядка точности по пространственным и временным переменным. Представлены результаты численного моделирования спинодального распада для одномерной задачи.

Ключевые слова: спинодальный распад, микроструктура, вариационный принцип, компьютерное 
моделирование.

Существующие вычислительные алгоритмы весьма неэффективны при интегрировании урав
нения Кана – Хилларда (Cahn – Hilliard) [2] по времени. Например, интегрирование по методу Эйлера 
[3-7] уравнения Кана – Хилларда становится неустойчивым при выборе шага по времени, превышающего пространственное расстояние x

– так называемой «checkerboard» неустойчивости [8]. Это 

приводит к  фиксированному шагу по времени, не имеющему отношения к естественному временному масштабу, определяемому физической динамикой. Более того, постепенное увеличение размеров 
структурной неоднородности [9; 10] делает моделирование с таким постоянным шагом по времени 
избыточно точным и ресурсо-затратным.

В качестве альтернативы в работе [1] был рассмотрен вариационный принцип, учитывающий

динамику некоторых вспомогательных степеней свободы, экстремаль которого воспроизводит уравнение Кана – Хилларда в каждый момент времени. Используя предложенный в [1] подход, в данной 
работе на основе полученного вариационного принципа построен неявный численный алгоритм с аппроксимацией высокого порядка точности по пространственным и временным переменным. Представлены результаты численного моделирования одномерной задачи спинодального распада с помощью полученного численного алгоритма.

Спинодальный распад

Спинодальный распад – особый случай начальной стадии фазового превращения, когда систе
му предварительно удается привести в нестабильное состояние. Тогда релаксация системы сопровождается усилением случайных неоднородностей концентрации частиц. Если некоторая интенсивная 
переменная системы (температура, давление и т.д.) резко меняется на конечную величину, то может 
случиться, что она пересечет линию фазовых переходов первого рода. Система становится неустойчивой, и в ходе процесса релаксации развивается другая фаза. Благодаря тепловым флуктуациям появляются маленькие кластеры новой фазы на фоне старой, а затем они начинают разрастаться до образования макроскопических доменов.

Спинодаль ограничивает область неустойчивых однородных состояний и определяется услови
ем зануления второй производной свободной энергии по концентрации. В критической точке спинодаль соприкасается с линией равновесия сосуществующих фаз – бинодалью, определяемой занулением первой производной свободной энергии по концентрации (рис. 1).

Исследование спинодального распада является сложной экспериментальной задачей [11]. Для 

иллюстрации приведен пример спинодального распада в капле расплава Co-Cu, наблюдаемый в экспериментах с электромагнитной  левитацией. На фотографии с изображением микроструктуры образца Co-Cu отчетливо наблюдается расслоение по составу (рис. 2) [12; 13].

Экспериментально наблюдаемые явления спинодального распада в жидком и твердом состоя
ниях могут занимать интервалы времени от нескольких секунд до нескольких лет, требуя сложной 
аппаратуры и высокого экспериментального  мастерства. По этим причинам количественное изучение спинодального распада требует много времени  и средств, вследствие чего для изучения данного 
явления в последнее время активно применяется компьютерное моделирование.