Общая физика
Сб. задач: Учеб. пособие
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Общая физика
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Под ред.:
Струков Борис Анатольевич
Год издания: 2008
Кол-во страниц: 336
Дополнительно
Сборник задач по физике предназначен для студентов естественно-научных специальностей университетов, для которых физика не является профилирующей дисциплиной (биологи, геологи, географы и др.)- Задачник охватывает последовательно разделы общей физики — механику, молекулярную физику и термодинамику, электромагнетизм и оптику. Каждому разделу предшествует краткое теоретическое введение, по каждой теме вначале предлагаются простые качественные задачи, далее следуют типовые задачи с решениями, затем задачи для самостоятельного решения. В конце сборника приведены ответы ко всем задачам.
Тематика:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 02.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 03.03.03: Механика и математическое моделирование
- ВО - Магистратура
- 03.04.02: Физика
- 04.04.02: Химия, физика и механика материалов
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый сборник задач по физике предназначен для студентов естественно-научных специальностей университетов, для которых физика не является профилирующей дисциплиной. Рекомендованная Министерством образования и науки РФ примерная программа дисциплины «Физика» для студентов биологических, геологических, географических и почвенных факультетов охватывает последовательно изучаемые разделы физики — классическую механику, молекулярную физику и термодинамику, электромагнетизм, геометрическую, волновую и квантовую оптику. Этот весьма значительный объем материала изучается, как правило, в течение двух семестров, один из которых (весенний) укорочен в связи с производственной (полевой) практикой студентов. Поэтому семинарские занятия проходят в условиях жесткого лимита времени — 32 часа (16 занятий) в осенний семестр и 16 часов (8 занятий) в весенний семестр. Таким образом, на 21 тему семинаров приходится 24 занятия; с учетом времени, необходимого для контрольных работ, тестов, коллоквиумов, оказывается, что каждая тема может быть рассмотрена не более, чем на одном семинаре, и весьма существенную роль приобретает самостоятельная работа студентов. Основной упор на семинарских занятиях делается на углублении и закреплении материала, излагаемого на лекциях; практические занятия не ставят целью научить студента решению задач повышенной сложности. Их целью является освоение основных понятий физики, связей между ними в виде фундаментальных физических законов, применение этих законов для моделирования и количественного описания различных конкретных ситуаций. Предлагаются для решения, как правило, типовые задачи, требующие в ряде случаев применения высшей математики. Каждому разделу предшествует краткое теоретическое введение, позволяющее студенту представить объем необходимого для решения задач раздела теоретического материала. Разделы разбиты по темам; по каждой теме вначале предлагаются простые качественные задачи, не требующие для решения математических выкладок. Далее следуют типовые задачи с решениями, демонстри
рующие методические приемы, знание которых необходимо для формализации и математического описания предлагаемых моделей. Затем материал по каждой теме закрепляется самостоятельным решением задач. Ответы к задачам приведены в конце сборника. Мы полагаем, что уже имеющиеся пособия подобного рода, предназначенные, в основном, для специальностей с физической и технической ориентацией, не соответствуют в полной мере программе изучения физики на факультетах естественно-научного профиля в классических университетах. Целью данного издания является создание учебного пособия, соответствующего реально реализуемой программе по физике в той ее части, которую можно считать «инвариантной» и общей для всех указанных факультетов, и достаточно глубокое освоение которой будет являться основой для последующих специальных курсов — биофизики, геофизики, физики почв и т.д. Материал, содержащийся в сборнике, может быть использован для реализации индивидуальных учебных планов, организации самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ и коллоквиумов. Раздел «Механика» написан Л.А. Скипетровой, «Электричество и магнетизм» (кроме темы 3.4) — Л.Г. Антошиной, «Молекулярная физика и термодинамика», тема 3.4 раздела «Электричество и магнетизм» и «Оптика» — С.В. Павловым. Б.А. Струков
Раздел 1 МЕХАНИКА ТЕМА 1.1 КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Кинематика описывает движения тел (материальных точек) независимо от вызвавшей их причины. Основной прием описания движения материальной точки состоит во введении зависящего от времени радиус-вектора r t( ), т.е. вектора, проведенного из начала координат в данную точку. Перемещение Δr точки есть вектор, проведенный из ее начального положения в конечное и равный приращению радиус-вектора данной точки. Скорость определяется как производная от радиус-вектора движущейся точки по времени: v r t = d d / . Ускорение находится из соотношения a v t = = d d / r t = d d / 2 2. В случае равномерного движения (v = const) выполняется соотношение Δr = vΔt. Формулы движения с постоянным ускорением имеют вид v v at = + 0 , (1.1.1) Δ r v t at = + 0 2 2 , (1.1.2) где v0 — начальная скорость. В криволинейном движении точки полное ускорение a есть векторная сумма тангенциального aτ и нормального an ускорений. Модуль полного ускорения равен при этом a a an = + τ 2 2, (1.1.3) a v R n n = 2 , (1.1.4) a v t v v τ τ τ = = d d , , (1.1.5) R — радиус кривизны траектории в данной точке, v — скорость точки, n — единичный вектор, направленный перпендикулярно к скорости. Если материальная точка движется в одном измерении, то достаточно задать скалярную, зависящую от времени координату
x(t). По известной зависимости x(t) легко найти значения скорости vx = dx/dt и ускорения ax = dvx/dt = d2x/dt2. В соответствии со своими определениями величины x(t), vх(t) и aх(t) связаны математически следующими соотношениями: x x v t t x ( ) ( ) , τ τ = + ∫ 0 0 d (1.1.6) v v a t t x ( ) ( ) , τ τ = + ∫ 0 0 d (1.1.7) где x0 и v0 — начальные координата и скорость, τ — время. В случае прямолинейного равнопеременного движения (движения с постоянным ускорением) формулы (1.1.1), (1.1.2) записываются в виде v v at = ± ± 0 , (1.1.8) x x v t at = ± ± ± 0 0 2 2 . (1.1.9) Перед x0, v0 и a знак «плюс» берется, когда начальная скорость v0, координата x0 и ускорение a направлены вдоль оси Х, а знак «минус», если их направление противоположно оси. Качественные задачи 1.1.1. На рис. 1.1 представлены графики изменения координат трех тел, движущихся прямолинейно. Написать законы движения каждого из тел и определить, какое тело имело большую скорость. Рис. 1.1
1.1.2. Зависит ли форма траектории от выбора системы отсчета? Свой ответ проиллюстрируйте примерами. 1.1.3. Велосипедист движется со скоростью 10 м/с. Его обгоняет мотоциклист, движущийся со скоростью 54 км/ч. Какова скорость мотоциклиста относительно велосипедиста? 1.1.4. Две материальные точки движутся со скоростями v1 = = 4 м/с и v2 = 3 м/с, направленными под прямым углом друг к другу. С какой скоростью удаляются материальные точки друг от друга? На сколько переместится первая точка в системе координат, связанной со второй точкой, за время τ = 10 с? 1.1.5. Какие из приведенных зависимостей описывают равномерное движение? а) s = 2t + 3; б) s = 5t2; в) s = 3t; г) v = 4 – t; д) v = 7, где s — путь, v — скорость, t — время*. 1.1.6. Три тела брошены так: первое — вниз без начальной скорости, второе — вниз с начальной скоростью, третье — вертикально вверх. Тела движутся в поле сил тяжести. Что можно сказать об ускорениях этих тел ? Сопротивление воздуха не учитывать. 1.1.7. Из окна железнодорожного вагона свободно падает тело. Будут ли равны между собой времена падения тела, вычисленные для случаев: а) вагон неподвижен, б) вагон движется с постоянной скоростью v, в) вагон движется с постоянным ускорением a? 1.1.8. Какие из приведенных зависимостей описывают равнопеременное движение? * В подобных записях, если нет других указаний, числовым и буквенным коэффициентам следует приписывать такие размерности, чтобы при подстановке времени в секундах значения координаты, пройденного пути, перемещения получались в метрах, значение скорости — в метрах в секунду и т.д. Рис. 1.2
а) v = 3 + 2t; б) s = 3 + 2t; в) s = 5t2; г) s = 4t – t2; д) s = 2 – – 3t + 4t2, где s — путь, v — скорость, t — время. 1.1.9. Зависимость скорости движущегося тела от времени v = 5 + 4t. Какова зависимость от времени пройденного пути s(t)? 1.1.10. Материальная точка движется вдоль оси х. На рис. 1.2 приведена зависимость проекции ускорения ax на ось x от времени t. В какой момент времени скорость vx достигает наибольшего значения? Начальная скорость движения равна нулю. 1.1.11. Каковы направления нормального an и тангенциального aτ ускорений относительно траектории, чем определяются их абсолютные значения, какова их роль в изменении скорости? 1.1.12. Определить, во сколько раз численное значение нормального ускорения точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения составляет угол α = 30° с вектором ее линейной скорости? 1.1.13. Оказалось, что график зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела vmax, время движения τ. Определить путь, пройденный телом. 1.1.14. Модуль скорости v частицы меняется со временем по закону v = kt + b, где k и b — положительные постоянные. Модуль ускорения равен a = 3k. Найдите значения тангенциального и нормального ускорений, а также зависимость радиуса кривизны траектории от времени R(t). 1.1.15. Зависимость радиус-вектора частицы от времени имеет вид r kti bt j = − 2 , где i , j — единичные орты вдоль осей x и y; k и b — положительные постоянные. Определите а) уравнение траектории; б) скорость v и ускорение a частицы. 1.1.16. Даны уравнения движения точки: x = 8 – t2; y = t2 – cost. Определите проекцию ускорения ау в момент времени, когда координата х = 0. 1.1.17. Даны графики ускорений an(t) и aτ(t) (рис. 1.3). Определите tgϕ, где ϕ — угол, который образует полное ускорение с направлением скорости в момент времени t = 2 с. 1.1.18. Тело брошено вертикально вверх. Во сколько раз нужно изменить скорость тела в момент бросания, чтобы максимальная высота подъема изменилась в k раз? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.1.19. Какую скорость набирает тело в конце первой минуты свободного падения? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения равно g. 1.1.20. Под каким углом к горизонту следует бросить тело, чтобы максимальная высота подъема равнялась ¼ дальности его полета? Сопротивлением воздуха пренебречь. Задачи с решениями 1.1.21. Материальная точка движется в плоскости согласно уравнениям x = A1 + B1t + C1t2 и y = A2 + B2t + C2t2, где B1 = 7 м/c, C1 = –2 м/с2, B2 = –1 м/с, С2 = 0,2 м/с2. Найти модули скорости v и ускорения a точки в момент времени t = 5 с. Решение. Рассмотрим два независимых движения вдоль оси х и вдоль оси у. Используя формулы v x t x = d d , v y t y = d d , получаем vx = B1 + 2C1t, vy = B2 + 2C2t. Так как векторы vx и vy взаимно перпендикулярны, то модуль скорости v определяется по теореме Пифагора: v v v B C t B C t x y = + = + + + ≈ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 13 ( ) ( ) м/с. Составляющие ax и ay ускорения точки найдем по формулам a x t x = d d 2 2 , a y t y = d d 2 2 : ax = 2C1, ay = 2C2. Соответственно модуль ускорения определяется выражением a a a C C x y = + = + ≈ 2 2 1 2 2 2 2 2 4 м с / . Ответ: v ≈ 13 м/с, a ≈ 4 м/с2. Рис. 1.3
1.1.22. Человек в лодке переплывает реку, отправляясь из точки А (рис. 1.4). Если он будет держать курс перпендикулярно берегам, то через t⊥ = 10 мин после отправления попадет в точку С, лежащую на расстоянии s = 120 м ниже точки В по течению реки. Если он будет держать курс под некоторым углом α к прямой АВ против течения, то через tα = 12,5 мин попадет в точку В. Определить ширину реки L, скорость лодки относительно воды v, угол α, под которым плыл лодочник во втором случае, скорость течения реки u. Решение. Делаем схематический чертеж и вводим обозначения: L — ширина реки, u — скорость течения реки, v — скорость лодки относительно воды. Выбираем систему координат хОу и рассматриваем движение лодки по х и у. Лодочник держит курс перпендикулярно берегам: x = ut⊥ = s; y = vt⊥ = L. Лодочник держит курс под углом α к АВ: vх = u – v sinα, x = (u – v sinα)tα; vу = v cosα, y = v cosα · tα. Решаем полученную систему уравнений: u = s/t⊥ = 0,33 м/с; cosα = t⊥/tα = 0,8; v = u/sinα = u/ 1 2 − cos α = 0,55 м/с; L = vt⊥ = 198 м. Ответ: u = 0,33 м/с; cosα = 0,8; v = 0,55 м/с; L = 198 м. Рис. 1.4