Цифровая фильтрация и синтез цифровых фильтров

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




А.Н. ЯКОВЛЕВ, Д.О. СОКОЛОВА

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК

2012

УДК 621.372.54.037.372(076.5) Я 474





Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. С.П. Новицкий, д-р техн. наук, доц. В.П. Разинкин

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ радиотехники для студентов II—III курсов радиотехнических специальностей


            Яковлев А.Н.


Я 474 Цифровая фильтрация и синтез цифровых фильтров: учеб. пособие / А.Н. Яковлев, Д.О. Соколова. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 64 с.


          ISBN978-5-7782-1964-9

          В учебном пособии приведены теоретические сведения по аналоговым и цифровым фильтрам и фильтрации. Даны сведения по синтезу и анализу фильтров: аналоговых, рекурсивных и нерекурсивных цифровых.
          Пособие предназначено для студентов при выполнении практических и лабораторных работ, при курсовом и дипломном проектировании, а также для инженерно-технических работников, занимающихся вопросами цифровой обработки сигналов.




УДК 621.372.54.037.372(076.5)




ISBN 978-5-7782-1964-9

                    © Яковлев АН., Соколова Д.О., 2012 © Новосибирский государственный технический университет, 2012

                ПРЕДИСЛОВИЕ




   Настоящее учебное пособие содержит описание двух лабораторных работ по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС). Оно может быть использовано также для изучения других дисциплин, таких как «Теория электрической связи», «Основы радиотехники», «Основы радиотехники и электроники», «Теоретические основы радиотехники», «Основы теории цепей и сигналов» и других, включающих в свою программу теорию сигналов, теорию радиоцепей, методы исследования воздействия сигналов на линейные аналоговые, дискретные и цифровые цепи.
   Лабораторные работы поставлены так, что позволяют преподавателю индивидуализировать как сами работы, так и задания, выдаваемые кажд-ому студенту или каждой бригаде.
   При разработке заданий авторы исходили из необходимости проведения студентами предварительных расчетов, а затем практической проверки результатов на стенде, сопоставительного анализа экспериментальных данных с расчетными.
   В конце каждой работы приведены контрольные вопросы. В приложениях представлены основы теории фильтрации и синтеза фильтров.
   Работы выполнены с использованием программной среды «MATLAB ».
   Большая часть пособия написана А.Н. Яковлевым. Описание устройства и практические задания написаны совместно с Д.О. Соколовой. В разработке и наладке программ соответствующих блоков (режимов) устройства участвовали дипломницы А.Н. Яковлева -О.А. Асеева (гр. РТС9-51) и Н.А. Лузина (РТС96-61), Н.В. Хаников (гр. РТС 9-71).
   Авторы благодарят рецензентов профессоров С.П. Новицкого и В.П. Разинкина, старшего преподавателя Е.А. Толстоногова, ведущего курс «Цифровая обработка сигнала», за сделанные критические замечания.

ГЛАВА 1





                ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ И ФИЛЬТРАХ





            1.1. АНАЛОГОВЫЕ, ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ



   Наряду с континуальной обработкой сигналов в последние годы получила широкое развитие дискретная и цифровая обработки. На рис. 1.1. приведены виды сигналов и соответствующие им цепи [1].

Рис. 1.1. Цепи и сигналы

   В настоящей работе рассматривается частный случай обработки сигналов и цепей - фильтрация и фильтры.
   Основными задачами фильтрации являются следующие: усиление сигнала и снижение уровня (подавление) помехи; сглаживание сигнала, т. е. уменьшение в реализации сигнала уровня высокочастотных составляющих (принадлежащих, как правило, искажающей высокочас

4

тотной аддитивной помехе); спектральный анализ сигнала, т. е. выделение совокупности гармонических составляющих определенного диапазона частот; дифференцирование сигнала (в том числе, зашумленного аддитивной помехой); интегрирование сигнала и др.
   Указанные задачи решаются путем применения линейных фильтров, которые в зависимости от вида обрабатываемого сигнала подразделяются на непрерывные (иначе аналоговые или континуальные), дискретные и цифровые (рис. 1.1).
   В аналоговом фильтре (АФ) на входе и выходе действуют непрерывные сигналы х (t) и у (t).
   На входе и выходе дискретного фильтра (ДФ) действуют дискретные сигналы хп = х[пТ] и у п = у[пТ]; Т = Тл = 1 / f* - шаг дискретизации по времени t, f, - частота дискретизации; п = 0,1,., N. При
обработке непрерывного сигнала в ДФ необходимы еще два преобразования: дискретизация сигнала по времени на входе фильтра и обратное преобразование на его выходе, т. е. восстановление непрерывной структуры по времени.
   Вначале аналоговый сигнал подвергается дискретизации по времени (рис. 1.2, а). Шаг (интервал) дискретизации Дt = Т выбирается в соответствии с теоремой Котельникова: Т < 1/ 2Fₘ, где Fₘ - максимальная частота в спектре исходного сигнала.
   При цифровой обработке сигналов (ЦОС) требуется еще два дополнительных преобразования (рис. 1): А-Ц - аналог-цифра (т. е. дискретизация по уровню с шагом Дх, иначе квантование, и цифровое кодирование) на входе ЦФ и обратное преобразование Ц-А - цифра-аналог, т. е. декодирование и восстановление непрерывной формы сигнала на выходе ЦФ.
   Квантование (дискретизация по уровню с шагом Дх) заключается в замене точного значения отсчетов их приближенными дозволенными значениями (рис. 1.2, б, в).
   Кодирование - это представление квантованной величины в виде кодовой комбинации. Обычно квантование и кодирование осуществляются в одном устройстве - аналого-цифровом преобразователе (АЦП). В нем используется двоичная система счисления и, следовательно, двоичный код. Каждому отсчету сигнала (числу) ставится в соответствие кодовая комбинация. При этом нулю соответствует отсутствие импульса, а единице - импульс прямоугольной формы. Пояс
5

нение дано на рис. 1.2, г. Такая процедура оцифровки сигнала называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ) или кодово-импульсной модуляцией (КИМ).

Рис. 1.2. Аналоговый х(t), дискретный хд (t), квантованный л'кв (t) и цифровой хки м (t) сигналы

   При цифровой фильтрации в реальном времени требуется высокое быстродействие дискретизации и особенно преобразования аналог-цифра. Требования возрастают с ростом частоты сигнала (и, следовательно, частоты дискретизации /д).
   При исследовании ЦФ можно исходить из допущения, что преобразования аналог-цифра и цифра-аналог не имеют решающего значения, т. е. рассматривать фильтры с не квантованными на входе и выходе отсчетами (т. е. ДФ). Поэтому ниже рассматриваются принципы функционирования и характеристики фильтров без учета АЦП и ЦАП, а оценка погрешностей, связанной с квантованием по уровню, изучается при проведении практических занятий на компьютере.
   И, наконец, ДФ и ЦФ классифицируются еще на рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ) или трансверсальные. Кроме того, они подразделяются на каузальные, некаузальные и антикаузальные. Для каузальных фильтров импульсная характеристика имеет нулевые значения при п < 0. Для анимкаузальных фильтров эта характеристика равна нулю при п > 0. Ниже, в основном, будем придерживаться этой классификации.

6

   Ввиду высокой разрядности современных персональных компьютеров на них можно реализовать не только ЦФ и ДФ, но также имитировать ЛФ.


            1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ


   Математической моделью фильтра является соотношение, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами фильтра:
У⁽t⁾ = L{X(t)}, уп = Т{хп}.
   Ниже рассматриваются только стационарные линейные фильтры, иначе линейные инвариантные к сдвигу фильтры (ЛИС-фильтры), для которых применим принцип суперпозиции (наложения) и операторы L{.} и Т{.} не зависят соответственно от t и п.


1.2.1. АНАЛОГОВЫЙ ФИЛЬТР

Математическими моделями этого фильтра являются: • линейное дифференциальное уравнение

                         Д    d'у (t) Д,   d'х (t)
^ ' dt ~ ^а'        dt
                         i=о ai      j₌₀ ш

(1.1)

где й', b' - действительные числа (коэффициенты), зависящие от параметров фильтра;
   •     интегральное уравнение свертки (или просто свертка, или интеграл Дюамеля):

t                 t
у (t) = x(t) ® g (t) = jx(т)g (t - t)dт = jx(t - t)g(t)dt, о                                     о

(1.2)

где ® - символ свертки, g(t) - импульсная характеристика (ИХ) фильтра;
   •     уравнение спектра выходного сигнала
                        Y (j ы) = X (j ы) • К (j ы),          (1.3)

где

7