Математический анализ: Пределы

А.А.ТУГАНБАЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ПРЕДЕЛЫ
Учебноепособие
2-е издание, дополненное
Москва
Издательство"ФЛИНТА"
2013

УДК 510(075.8) 
ББК 22.1я73
        Т81
Туганбаев А.А.
Т81
Математический анализ: Пределы [Электронный ресурс]: учеб.
пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 2013. — 65 с.
ISBN 978-5-9765-1219-1
В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа:
теория и практическое вычисление пределов. Книга соответствует программам
курсов математического анализа для студентов различных нематематических
специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и
сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших
учебных заведений.
УДК 510(075.8) 
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-1219-1
© Издательство «ФЛИНТА», 2013 

Содержание
1.
Функции
4
1.1. Простейшие множества . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . .
6
2. Пределы функций и
последовательностей
12
2.1. Различные определения пределов . . . . . . . . .
12
2.2. Бесконечно малые функции
. . . . . . . . . . . .
18
2.3. Свойства пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3. Непрерывные функции
24
3.1. Общие свойства непрерывных функций . . . . . .
24
3.2. Непрерывность элементарных функций . . . . . .
27
3.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . .
29
4. Два замечательных предела
31
4.1. Первый замечательный предел . . . . . . . . . . .
31
4.2. Второй замечательный предел . . . . . . . . . . .
32
5. Задачи с краткими решениями
35
6. Задачи для самостоятельного решения
38
7. Контрольные вопросы и задания
43
8. Справочный материал
63
3

1.
Функции
1.1.
Простейшие множества
1.1.1. Множества и подмножества. Пусть X, Y, . . . , Z  множества, x, y, . . . , z  их элементы. 1 Зафиксируем некоторые обозначения. Запись x ∈X означает, что x  элемент множества
X. Обозначения Y ⊆X и X ⊇Y означают, что Y  подмножество множества X, т.е. множество Y содержится в X; это
означает, что все элементы из Y являются элементами из X.
Записи Y ⊊X и X ⊋Y означают, что Y  подмножество в X
и X ̸= Y . Запись X = {x1, . . . , xn, . . .} означает, что множество
X состоит из элементов x1, . . . , xn, . . ..
Вместо слов для всех, существует, такое, что в формулах
иногда используются символы ∀, ∃и : соответственно. Через ∅
обозначается пустое множество, не содержащее никаких элементов.
1.1.2. Операции с множествами. Через X∩Y и X∪Y обозначаются пересечение и объединение двух множеств X и Y , через
X \Y  множество всех элементов из X, не лежащих в Y . Ясно,
что X \ X = ∅.
'$
'$
'$



A + B

&%
&%
&%
A · B

A \ B

¼¼ 1.1.3. Числовые множества. Через N, Z, Q, R обозначаются множество всех натуральных чисел n = 1, 2, . . ., всех целых чисел z = 0, ±1, ±2, . . ., всех рациональных чисел m/n, где
m ∈Z и n ∈N, всех действительных чисел. Подмножества в
R называются числовыми множествами. Через R>0, R<0, R≥0 и
R≤0 обозначаются множества всех положительных, отрицательных, неотрицательных и неположительных чисел. Если n ∈N,
то произведение 1 · 2 · . . . · n называется факториалом числа n и
обозначается через n!; кроме того, считаем, что 0! = 1.
Через (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] обозначаются интервал, отрезок,
левый полуинтервал и правый полуинтервал с концами точках
a и b, т.е. множество таких всех чисел x, что a < x < b, a ≤x ≤b,
1Мы не приводим определения множества и его элементов.
4

a ≤x < b, a < x ≤b. Мы также рассматриваем бесконечные
интервалы и полуинтервалы (−∞, +∞) = R, (−∞, b), (−∞, b],
(a, +∞), [a, +∞). Все интервалы, отрезки и полуинтервалы (в
том числе, и бесконечные) называются промежутками.
Через ε и δ всегда обозначаются положительные числа, через x0  числа (или точки на числовой прямой). Интервал
(x0 −δ, x0 + δ), задаваемый неравенством |x −x0| < δ, называется δ-окрестностью или окрестностью точки x0 и обозначается δ(x0). Если удалить из окрестности δ(x0) ее центр x0,
то получится проколотая δ-окрестность (x0 −δ, x0 + δ) \ x0 =
(x0 −δ, x0) ∪(x0, x0 + δ) точки x0, обозначаемая через ˙
δ(x0).
1.1.4. Ограниченные множества и точные грани. Числовое множество X называется ограниченным снизу (сверху), если
существует такое число M1 (число M2), что M1 ≤x (x ≤M2)
для всех x ∈X. В этом случае число M1 (число M2) называется нижней (верхней) гранью множества X. Множество X
называется ограниченным, если X ограничено снизу и сверху,
т.е. существуют такие числа M1 и M2, что M1 ≤x ≤M2 для
всех x ∈X. Ясно, что
множество X ограничено в точности тогда, когда существует такое число M > 0, что −M ≤x ≤M для всех
x ∈X, т.е. |x| ≤M для всех x ∈X.
Число m (число M) называется точной нижней (верхней) гранью для множества X, если m  нижняя грань (M  верхняя грань) для X и никакое число, большее m (меньшее M),
не является нижней (верхней) гранью для X. В этом случае
число m (число M) обозначается через inf X (sup X) и может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.
Например, число 0 является точной нижней гранью множеств
X = {1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .} и Y = {0, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . .}, причем 0 /
∈X и 0 ∈Y .
Мы принимаем за аксиому следующее свойство чисел, называемое аксиомой точной нижней грани:
каждое ограниченное снизу непустое числовое множество
обладает точной нижней гранью.
Можно проверить, что из аксиомы точной нижней грани вытекает следующее свойство чисел:
5

каждое ограниченное сверху непустое числовое множество
обладает точной верхней гранью.
Таким образом, каждое ограниченное непустое числовое множество обладает точной верхней гранью и точной нижней
гранью.
1.1.5. Лемма о вложенных отрезках. Для любого бесконечного набора вложенных отрезков [a1, b1] ⊃[a2, b2] ⊃· · · [an, bn] ⊃
· · · существует хотя бы одна точка c, общая для всех отрезков [an, bn].
◁Обозначим через X и Y множества всех точек an и bn соответственно. Эти множества непусты и ограничены. По 1.1.4 существуют точная верхняя грань sup X и точная нижняя грань
inf Y . Если sup X ≤inf Y , то существует такое число c, что
sup X ≤c ≤inf Y , откуда an ≤c ≤bn для всех n и c  общая
точка для всех отрезков [an, bn]. Допустим теперь, что sup X >
inf Y . Тогда существует такое число M, что sup X > M > inf Y .
Поэтому существуют такие an и bk, что bk < M < an. Тогда
ak < bk < an < bn. Так как ak < an и bk < bn, то n < k и k < n,
чего быть не может. ▷
1.1.6. Математическая индукция. Мы принимаем в качестве аксиомы приведенное ниже утверждение, называемое
принципом математической индукции.
Пусть имеются утверждения P1, . . . , Pk, Pk+1, . . . Допустим, что установлено, что P1 верно и для любого натурального k доказано, что если верны все P1, . . . , Pk, то верно и Pk+1. Тогда все утверждения P1, P2, P3, . . . верны.
1.2.
Элементарные функции
1.2.1. Отображения и функции. Если X и Y  два непустых
множества и каждому элементу x ∈X по какому-то правилу
сопоставлен в точности один элемент y = f(x) ∈Y , то говорят, что на X задано отображение f, принимающее значение
в множестве Y ; при этом пишем f : X →Y , а множество X называется областью определения отображения f и обозначается
D(f). Через Im (f) обозначается подмножество в Y , состоящее
из всех элементов вида f(x), ∀x ∈X. Множество Im (f) называется областью значений отображения f и может как совпадать
с Y , так и не совпадать.
6

Если есть два отображения f : X →Y и g: Y →Z, то правилом
gf(x) = g(f(x)) определено отображение f : X →Z, называемое
композицией отображений f и g или сложным отображением.
Если X и Y  два числовых непустых множества, то отображения X →Y называются функциями (от одной переменной).
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек
на декартовой плоскости Oxy с координатами (x; f(x)).
1.2.2. Ограниченные, нечетные, четные, периодические
и монотонные функции.
Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X,
если множество ее значений при x ∈X ограничено, т.е. существуют такие числа M1 и M2, что M1 ≤f(x) ≤M2 для всех
x ∈X. Аналогично определяются ограниченные сверху (снизу)
функции. Если область определения D(f) функции y = f(x)
вместе с каждой своей точкой x содержит также точку −x и
f(−x) = −f(x) (соотв. f(−x) = f(x)) для всех x ∈D(f), то
функция y = f(x) называется нечетной (соотв. четной). Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T > 0, что x + T ∈D(f) для всех x ∈D(f) и
f(x + T) = f(x) для всех x ∈D(f). Наименьшее такое число
T называется периодом функции f(x). Говорят, что функция
f(x) строго возрастает (соотв. нестрого возрастает) на числовом множестве X, если f(x1) < f(x2) (соотв. f(x1) ≤f(x2))
для всех чисел x1 < x2 из X. Говорят, что функция f(x) строго
убывает (соотв. нестрого убывает) на X, если f(x1) > f(x2)
(соотв. f(x1) ≥f(x2)) для всех чисел x1 < x2 из X. Если f(x)
строго возрастает на X или строго убывает на X, то говорят,
что f(x) строго монотонна на X. Аналогично определяются
нестрого монотонные функции.
1.2.3. Простейшие элементарные функции. Такими функциями называются тригонометрические функции sin x, cos x,
tg x, ctg x, степенные функции xa, показательные функции ax,
логарифмические функции loga x, обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
7