Математический анализ: Интегралы

А.А.ТУГАНБАЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ
ИНТЕГРАЛЫ
Учебноепособие
2-е издание, дополненное
Москва
Издательство"ФЛИНТА"
2013

УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
   Т81
Туганбаев А.А.
Т81
Математический анализ: Интегралы [Электронный ресурс]: учеб.
пособие. — 2-е изд., доп. — М. : ФЛИНТА, 2013. — 88 с.
ISBN 978-5-9765-1306-8
В книге рассмотрен следующий важный раздел математического анализа:
теория и практическое вычисление неопределенных и определенных интегралов.
Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов
различных нематематических специальностей и может выполнять функции
учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
Для студентов и преподавателей гуманитарных факультетов высших учебных
заведений.
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-1306-8 
© Издательство «ФЛИНТА», 2013 

Содержание
1. Общие свойства неопределенного интеграла
4
2. Интегрирование рациональных дробей
11
3. Интегрирование тригонометрических выражений
15
4. Интегрирование иррациональных выражений
17
5. Определенный интеграл и его общие свойства
23
6. Свойства определенных интегралов
30
7. Геометрические приложения интегралов
36
8. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 43
9. Несобственные интегралы от неограниченных функций
51
10.Задачи для самостоятельного решения
55
11.Контрольные вопросы и задания
69
12.Приложения
79
12.1. Приложение 1:
Непрерывность и производные . . . . . . . . . . . . . .
79
12.2. Приложение 2:
Простейшие элементарные функции . . . . . . . . . . .
80
12.3. Приложение 3:
Справочный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3

Общие свойства неопределенного интеграла
1.
Общие свойства
неопределенного интеграла
1.1. Первообразные и неопределенный интеграл. Функция
F(x) называется первообр

азной для функции f(x) (на конечном или
бесконечном интервале D), если F ′(x) = f(x) (для всех x ∈D). Множество всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается через
Z
f(x) dx, где f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x) dx  подынтегральным выражением. Функция f(x) называется интегрируемой, если существует
Z
f(x) dx, т.е. если f(x) имеет первообразную.
1.2. Строение неопределенного интеграла. Пусть F(x)  первообразная на интервале D для функции f(x).
1) Для любой постоянной C функция F(x) + C  также первообразная для f(x).
2) Если G(x)  еще одна первообразная на интервале D для f(x),
то F(x) = G(x) + C, где C  число.
Поэтому неопределенный интеграл имеет вид
Z
f(x) dx = F(x) + C,
где F(x)  любая первообразная для f(x), а C  произвольная постоянная.
◁1). (F(x) + C)′ = F ′(x) + C′ = f(x).
2). Обозначим через ϕ(x) функцию F(x)−G(x). Достаточно доказать,
что ϕ(b) = ϕ(a) для любого отрезка [a, b]. Так как функции F(x)
и G(x) имеют производную f(x) на [a, b], то функция ϕ(x) имеет
производную на [a, b] и, в частности, непрерывна. Кроме того,
ϕ′(x) = F ′(x) −G′(x) = f(x) −f(x) = 0
для всех x ∈D. Функция ϕ(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условиям теоремы Лагранжа 12.1.4 из Приложения 1, и по этой теореме
существует такая точка c ∈(a, b), что ϕ(b) −ϕ(a) = ϕ′(c)(b −a) = 0.
Поэтому ϕ(b) = ϕ(a). ▷
1.3. Достаточное условие интегрируемости. Можно доказать,
что каждая непрерывная функция интегрируема.

Общие свойства неопределенного интеграла
5
1.4. Свойства неопределенного интеграла.1
1.4.1.
Z
f(x) dx
′
= (F(x) + C)′ = f(x), т.е. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
1.4.2. d
Z
f(x) dx

= d(F(x) + C) = (F(x) + C)′ dx = f(x) dx, т.е.
дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
1.4.3.
Z
dF(x) = F(x) + C,
Z
F ′(x) dx = F(x) + C, т.е. неопределенный интеграл от дифференциала функции равен сумме этой
функции и произвольной постоянной.
1.4.4.
Z
A f(x) dx = A
Z
f(x) dx, A ∈R, т.е. постоянный множитель
можно выносить за знак интеграла.
1.4.5.
Z
(f1(x) + f2(x)) dx =
Z
f1(x) dx +
Z
f2(x) dx, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов (если те существуют).
a F(ax + b) + C.
1.4.6.
Если
Z
f(x) dx = F(x) + C,
то
Z
f(ax + b) dx = 1
2

= x2 + 1
С помощью этих свойств вычисляются простейшие интегралы. Например,
Z
x dx =
Z
d
x2 + 1
2
+ C,
Z
1
x2 + 1 dx =
Z
d (arctg x) = arctg x + C.
В конце книги приведена таблица некоторых интегралов, которые доказываются дифференцированием правых частей формул. Если f(x)  непрерывная функция с первообразной F(x)
и
функция
u(x)
имеет
непрерывную
производную
u′(x),
то
Z
f(u(x))u′(x) dx =
Z
f(u) du = F(u(x)) + C.
Использование этой формулы также называют внесением под знак
дифференциала.
1Эти свойства вытекают из определений первообразной и дифференциала, а
также свойств производных.

Общие свойства неопределенного интеграла
1.5. Замена переменной в неопределенном интеграле. Пусть
интеграл
Z
f(x) dx существует и x = ϕ(t), где функция ϕ(t) имеет
как непрерывную производную, так и обратную функцию t = u(x).
Тогда
Z
f(x) dx =
Z
f(ϕ(t)) ϕ′(t) dt
(∗)
(после интегрирования в правой части (∗) вместо t будет подставлена
функция t = u(x)).
◁Вычислим производную по x от левой и правой части равенства
(∗):
d
dx
Z
f(x) dx = f(x),
d
dx
dt
dx =
Z
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt

= d
Z
f(ϕ(t))ϕ′(t) dt
 dt
= f(ϕ(t))ϕ′(t)
1
dx/dt = f(ϕ(t))ϕ′(t)
1
ϕ′(t) = f(ϕ(t)) = f(x).
Равенство (∗) следует теперь из того, что производные по x его левой
и правой частей равны. ▷
1.6. При интегрировании часто бывает полезно использовать замену
t = u(x), dt = u′(t) dx, а не x = ϕ(t). Например,
u(x) + C.
t2 = −1
t + C = −1
Z u′(x)
u2(x) dx =
Z
dt
1.7. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные, то
Z
u dv = uv −
Z
v du.
◁Так как (uv)′
=
u′v + uv′, то uv′
=
(uv)′ −vu′. Тогда
u dv = d(uv) −v du,
Z
u dv =
Z
d(uv) −
Z
v du = uv −
Z
v du. ▷
Формулу
R
u dv = uv−
R
v du применяют тогда, когда интеграл
Z
v du

Общие свойства неопределенного интеграла
7
вычисляется проще интеграла
Z
u dv. Например,
Z
(3 −2x) sin x dx =
Z
(2x −3) d(cos x) =
= (2x −3) cos x −
Z
cos x d(2x −3) = (2x −3) cos x −2
Z
cos x dx =
= (2x −3) cos x −2 sin x + C.
1.8. Для любого многочлена P(x) (неоднократное) применение интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы вида
Z
P(x) cos(ax + b) dx,
Z
P(x) sin(ax + b) dx,
Z
P(x) max+b dx,
где полагают u = P(x).
Формула
Z
u dv = uv −
Z
v du также часто применяется для вычисления интегралов вида
Z
ln x dv,
Z
arcsin x dv,
Z
arctg x dv,
Z
v dx
x2 + 1.
x ,
Z
v
dx
√
1 −x2,
Z
v
dx
1.9. Примеры. Вычислить интегралы.
5
1.9.1.
Z
(2 −5x)−10 dx = −1
Z
(2 −5x)−10 d(2 −5x) =
= 1
45(2 −5x)−9 + C.
6
6 ln 771−3x2 + C.
1.9.2.
Z
71−3x2x dx = −1
Z
71−3x2 d(1 −3x2) = −
1
1.9.3.
Z
5
√
(x −2)2 + 9
=
x2 −4x + 13 dx =
Z
5 dx
p
(x −2)2 + 9
=
Z
5 d(x −2)
p
= 5 ln


x −2 +
√
x2 −4x + 13


 + C.
5
2 =
1.9.4.
Z
3
4 −2x −x2 dx = −
Z
3
(x + 1)2 −5 dx = −
Z
3 d(x + 1)
(x + 1)2 −
√
5
= −3
2
√
5 ln
x + 1 +
√
5





x + 1 −
√




 + C.

Общие свойства неопределенного интеграла
1.9.5.
Z
3
√
5 −(x + 1)2 dx =
4 −2x −x2 dx =
Z
3
p
5 + C.
5 −(x + 1)2 = 3 arcsin x + 1
√
=
Z
3 d(x + 1)
p
1.9.6.
Z
x −3
√
5 −(x + 1)2 dx =
4 −2x −x2 dx =
Z
x + 1
p
5 −(x + 1)2 dx −
Z
4
p
2
= −1
5 −(x + 1)2 =
Z d[5 −(x + 1)2]
p
5 −(x + 1)2 −
Z
4 d(x + 1)
p
= −
√
4 −2x −x2 −4 arcsin x + 1
√
5 + C.
1.9.7.
Z
1
(x + b)2 −a2 dx =
Z
d(x + b)
(x + b)2 −a2 = 1



 + C.
2a ln




x + b −a
x + b + a
1.9.8.
Z
x
(x + b)2 −a2 dx =
Z
x + b
(x + b)2 −a2 dx −
Z
b
(x + b)2 −a2 dx =
= 1
2
Z d[(x + b)2 −a2]
(x + b)2 −a2
−b
= 1



 =
2a ln




x + b −a
x + b + a
2 ln[(x + b)2 −a2] −b



 + C.
2a ln




x + b −a
x + b + a
1 + t =
1.9.9.
Z
dx
x + 1, x = t2 −1, dx = 2tdt] =
Z
2tdt
1 + √x + 1 = [t =
√
1 + t

=
= 2
Z (t + 1) −1
1 + t
dt = 2
Z
dt −
Z d(1 + t)
x + 1)) + C.
= 2(t −ln |1 + t|) + C = 2(
√
x + 1 −ln(1 +
√
t2 −1 =
1.9.10.
Z
dx
√x(x −1) = [t = √x, x = t2, dx = 2tdt] =
Z
2dt
√x −1
√x + 1
= 2 · 1
2 ln




t −1
t + 1



 + C = ln




t −1
t + 1



 + C = ln







 + C.
ln sin xdx = [t = ln sin x, dt = ctg xdx] =
1.9.11.
Z
ctg x
t = ln |t| + C = ln | ln sin x| + C.
=
Z dt

Общие свойства неопределенного интеграла
9
1.9.12.
Z
2x5 −3x2
1 + 3x3 −x6dx =
3dt] =
= [t = 1 + 3x3 −x6, dt = −3(2x5 −3x2)dx, (2x5 −3x2)dx = −1
3
= −1
t = −1
3 ln |1 + 3x3 −x6| + C.
Z dt
t3 =
1.9.13.
Z
1 −sin x
(x + cos x)3dx = [t = x + cos x, dt = (1 −sin x)dx] =
Z dt
2
1
(x + cos x)2 + C.
t2 + C = −1
= −1
2 · 1
x
= x ln x −x + C.
1.9.14.
Z
ln x dx = x ln x −
Z x dx
2
x2 + 1
=
x2 + 1 = x arctg x −1
1.9.15.
Z
arctg x dx = x arctg x −
Z
x dx
Z d(x2 + 1)
2 ln(x2 + 1) + C.
= x arctg x −1
1.9.16.
Z
arcsin x dx = x arcsin x −
Z
x dx
√
1 −x2 =
= x arcsin x + 1
2
1 −x2 + C.
Z d(1 −x2)
√
1 −x2 = x arcsin x +
√
3
1.9.17.
Z
(2 −5x) cos 3x dx = 1
Z
(2 −5x) d(sin 3x) =
= 1
3
3(2 −5x) sin 3x −1
Z
sin 3x d(2 −5x) =
= 1
9
9 cos 3x + C.
3(2 −5x) sin 3x + 5
3(2 −5x) sin 3x −5
Z
sin 3x d(3x) = 1
1.9.18.
Z
(x2 −5x + 2)ex dx =
=
Z
(x2 −5x + 2) dex = (x2 −5x + 2)ex −
Z
ex d(x2 −5x + 2) =
= (x2 −5x + 2)ex −
Z
(2x −5)ex dx = (x2 −5x + 2)ex −
Z
(2x −5) dex =
= (x2 −5x + 2)ex −(2x −5)ex +
Z
exd(2x −5) = ex(x2 −7x + 9) + C.