Уравнения математической физики

УДК 517.95
ББК 22.161.6
И 46

И л ь и н А. М. Уравнения математической физики. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2009. — 192 с. — ISBN 978-5-9221-1036-5.

В книге рассмотрены краевые задачи для основных дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка, изучение которых отвечает
программе курса уравнений математической физики на факультетах математики и прикладной математики университетов.
Основная часть изложения посвящена исследованию классических решений, обладающих достаточной гладкостью. Однако, для гиперболических и параболических уравнений рассмотрены и обобщенные решения краевых задач.
К не вполне традиционным разделам относятся более подробное исследование
систем дифференциальных уравнений, начальная задача для систем, корректных по Петровскому, и связанная с этим краткая теория преобразования
Фурье.
Книга рассчитана на студентов старших курсов классических и технических университетов, а также на математиков разных специальностей.
Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности
направлению подготовки ВПО 010501
01050.62 «Прикладные математика и информатика».

ИЛЬИН Арлен Михайлович

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Н.Л. Иванова
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 13.10.08. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12. Уч.-изд. л. 13,2. Тираж 500 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru

ISBN 978-5-9221-1036-5

ISBN 978-5-9221-1036-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ А. М. Ильин, 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

Содержание курса лекций по уравнениям математической физики
(иногда он называется курсом уравнений с частными производными),
который читается многими лекторами в разных университетах, отличается очень большим разнообразием. Отчасти это объясняется тем,
что уравнения математической физики завершают университетский
курс понимаемого в широком смысле математического анализа. Этот
предмет не является базовым для других дисциплин, и поэтому возможно значительное варьирование материала. Суммарное содержание всех лекций в разных университетах огромно, тогда как пересечение материала весьма скромно. Таким же разнообразием отличаются
и известные учебники, список которых приводится в конце книги,
не говоря уже о громадных трудах типа «Методы математической
физики» Ф. М. Морса и Г. Фешбаха.

В данном учебнике содержится материал, составлявший основу
тех курсов, которые автор в разное время читал в Московском, Уральском и других университетах. Основной упор делается на главный,
с моей точки зрения, момент: точные постановки различных краевых задач для уравнений математической физики и методы их исследования, включая получение более или менее явных формул для
их решения. Достаточно много внимания уделяется такому важному
понятию, как характеристики для уравнений и систем уравнений
с частными производными. Для всех рассматриваемых задач исследуются вопросы существования, единственности решения и его непрерывной зависимости от заданных начальных и граничных условий.
Преимущественно изучаются классические решения краевых задач.
Постановки, определения и исследования обобщенных решений идут
вторым планом, но с полными доказательствами.

Некоторые параграфы сопровождаются упражнениями. Упражнения без индекса * более простые, их необходимо решать для проверки
правильности усвоения материала. Упражнения с индексом * более
сложные, их решение — это миниатюрная исследовательская работа.
Кроме того, добавлено небольшое число задач тех типов, которые
обычно изучаются на семинарах. При этом охвачены далеко не все
темы практических занятий.

Введение

Мало места уделяется физическому выводу уравнений. С этим
материалом студентам предлагается познакомиться по другим известным учебникам. Также только в упражнениях рассматривается такой
традиционный, но, в общем-то, частный вопрос, как приведение линейного уравнения второго порядка к каноническому виду в области
в случае двух независимых переменных.

Основную часть материала составляет исследование классических линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Совсем немного места уделено системам дифференциальных уравнений.
Из менее традиционных разделов следует отметить начальную задачу
для уравнений и систем, корректных по Петровскому. Для законченности изложения часть лекций посвящена изложению преобразования
Фурье.

Знак ▼ означает окончание доказательства.
В заключение отмечу, что б´ольшая часть материалов этого пособия имеется (зачастую в значительно измененном виде) в учебниках,
список которых приведен в конце пособия. В этих же учебниках можно познакомиться и со многими разделами, которые здесь опущены.

Г л а в а 1

ОБЩИЕ СВОЙСТВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

§ 1.1. Начальная задача для уравнений в частных
производных. Характеристики

Уравнение в частных производных — это уравнение вида

Φ
u(x),
∂u
∂xk (x),
∂2u

∂xk∂xl (x), ...
= 0,

где x = (x1, x2, ... , xn), а u(x) — неизвестная функция, которую надо
найти. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящих в него производных.

Характерной особенностью уравнения в частных производных является то, что его общее решение, в отличие от общего решения
обыкновенного дифференциального уравнения, зависит не от конечного числа произвольных постоянных, а от произвольных функций.
Поэтому для постановки задачи, т. е. для определения какого-либо
конкретного решения, требуется задать некоторое количество произвольных функций (как правило, из некоторого класса функций,
например, достаточно гладких или обладающих еще какими-нибудь
свойствами, связанными с данной задачей).

Простейшее уравнение для функции u(x1, x2) имеет вид

∂u
∂x1 (x1, x2) = 0,
(1.1)

его решение — это произвольная функция g(x2).

Например, для того чтобы найти решение уравнения (1.1) в квадрате D = {x : 0 ⩽ x1 ⩽ 1, 0 ⩽ x2 ⩽ 1}, достаточно задать значения
функции u(x1, x2) при x1 = 0, т. е. считать выполненным условие
u(0, x2) = g(x2), где g(x2) — заданная функция.

Задачи такого типа, когда кроме дифференциального уравнения
задаются значения искомой функции на каком-то подмножестве, часто называются краевыми задачами (или граничными задачами).
Вместо значений искомой функции на подмножестве часто задаются
ее производные или, в общем случае, значения какого-нибудь оператора от искомой функции на этом подмножестве.

Гл. 1. Общие свойства дифференциальных уравнений

Задача
∂u
∂x1 (x1, x2) = 0,
u(0, x2) = g(x2)
(1.2)

является наипростейшей задачей такого сорта. В данном случае эту
задачу можно назвать и начальной задачей. Легко видеть, что решение задачи (1.2) существует и единственно.

Значения искомой функции u(x1, x2) можно задавать и на другом множестве, например на отрезке x1 = αx2, 0 ⩽ x2 ⩽ 1, где
положительная постоянная α < 1. Это условие тоже однозначно

Рис. 1.1

определяет решение задачи (1.2) в квадрате D
(рис. 1. 1) Действительно, значения решения
уравнения (1.1) на любой прямой x2 = const
однозначно определяются значением этой функции в одной точке такой прямой. Прямые
x2 = const являются характеристиками уравнения (1.1).

Очевидно, что именно на характеристике
нельзя задавать произвольные значения искомой функции u(x1, x2).

Картина, аналогичная рассмотренному тривиальному примеру, наблюдается и для общего уравнения в частных
производных первого порядка. На некоторых кривых, называемых
характеристиками уравнения, решение однозначно определяется по
значению искомой функции в одной точке. Правильная постановка задачи (она называется начальной задачей) состоит в том, что значения
искомой функции задаются на кривой, которая пересекается с каждой
характеристикой в одной точке. В случае, когда функция u(x) зависит от n независимых переменных x1, x2, ... , xn, начальные данные
задаются на соответствующей (n − 1)-мерной поверхности, пересекающейся с каждой характеристикой в одной точке.

С другой стороны, неправильно задавать значения искомой функции u(x) на поверхности, которая содержит хотя бы интервал какойнибудь характеристики уравнения. В таком случае, вообще говоря,
решения задачи не существует.

Дифференциальные уравнения в частных производных первого
порядка обычно изучаются в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [7], § 6). Поэтому мы не обсуждаем
здесь этот вопрос более подробно и переходим к изучению уравнений
в частных производных второго порядка.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка

n
i,j=1
aij(x)
∂2u

∂xi∂xj +

n
i=1
bi(x) ∂u

∂xi + c(x)u = f(x),
(1.3)

§ 1.1. Начальная задача для уравнений в частных производных
7

где x = (x1, x2, ... , xn). Стандартная начальная задача (или задача
Коши) для уравнения (1.3) ставится следующим образом: на одной
из координатных плоскостей (например, x1 = 0) задаются значения
функции u(x) и значения ее нормальной производной:

u(0, x2, ... , xn) = ϕ(x2, ... , xn),
(1.4)

∂u
∂x1 (0, x2, ... , xn) = ψ(x2, ... , xn).
(1.5)

В некоторой окрестности плоскости x1 = 0 требуется найти решение u(x) уравнения (1.3), удовлетворяющее условиям (1.4), (1.5).

Покажем сейчас, что если функции ϕ(x), ψ(x), f(x) и все коэффициенты уравнения (1.3) бесконечно дифференцируемы, а коэффициент a11 ̸= 0 , то соотношения (1.3), (1.4), (1.5) однозначно определяют
все производные любого порядка для решения u(x) при x1 = 0.

Действительно, дифференцируя равенство (1.4) по переменной xk,
при k ⩾ 2 получаем, что

∂u
∂xk (0, x2, ... , xn) = ∂ϕ

∂xk (x2, ... , xn).

Точно так же, дифференцируя равенство (1.4) по переменным
x2, x3, ... , xn
любое
число
раз,
можно
получить
значения
всех
производных искомого решения при x1 = 0, если дифференцирование
не содержит производных по x1:

∂2u

∂xk∂xj (0, x2, ... , xn) =
∂2ϕ

∂xk∂xj (x2, ... , xn),
k > 1, j > 1,

∂3u

∂xk∂xi∂xj (0, x2, ... , xn) =
∂3ϕ

∂xk∂xi∂xj (x2, ... , xn),
k > 1, i > 1, j > 1,

и т. д. Дифференцируя таким же образом равенство (1.5), получаем
значения всех производных функции u(x) при x1 = 0, содержащих
дифференцирование по x1 один раз. Тем самым при x1 = 0 в уравне
нии определены все слагаемые, кроме ∂2u

∂x2
1
.

Если a11 ̸= 0, то из уравнения определяется ∂2u

∂x2
1
при x1 = 0. Диф
ференцируя это соотношение по переменным x2, x3, ... , xn при x1 = 0,
получаем все производные функции u(x) при x1 = 0, содержащие
дифференцирование по x1 два раза. После дифференцирования урав
нения по x1 определяется производная ∂3u

∂x3
1
при x1 = 0. Далее процесс

продолжается, и таким образом однозначно определяются все производные искомого решения при x1 = 0. Так как аналитическая функция
(функция, которая разлагается в сходящийся степенной ряд) в окрестности точки однозначно определяется значениями производных в этой

Гл. 1. Общие свойства дифференциальных уравнений

точке, то из проведенных рассуждений вытекает единственность решения задачи (1.3), (1.4), (1.5) в классе аналитических функций, если
все коэффициенты уравнения, его правая часть и начальные функции
аналитичны.

Если в какой-нибудь точке коэффициент a1,1 равен нулю, то задача Коши, вообще говоря, неразрешима. Действительно, при x1 = 0
начальные данные однозначно определяют все члены уравнения (1.3),

кроме a1,1
∂2u
∂x2
1
, и потому уравнение в этой точке, вообще говоря, не
выполнено.

Можно доказать, что при указанных предположениях в окрестности
плоскости
x1 = 0
существует
аналитическое
решение
задачи
(1.3),
(1.4),
(1.5).
Подобная
теорема
существования
и
единственности
решения
задачи
Коши
в
классе
аналитических
функций справедлива для широкого класса уравнений и систем
уравнений в частных производных (эта теорема носит название
теоремы Коши–Ковалевской, см., например, [6], § 2).

Рассмотрим теперь более общую задачу Коши для уравнения (1.3),
где функция u(x) считается дважды непрерывно дифференцируемой.

Рис. 1.2

Пусть
начальные
данные
задаются
на
некоторой
гладкой
поверхности
S
(рис. 1.2), уравнение которой h(x) = 0.

На этой поверхности заданы значение функции u(x) и значение ее нормальной производной. Так как по значениям функции на поверхности однозначно
определяются все ее производные в направлениях, касательных к поверхности,
то, тем самым, можно считать, что на
поверхности S заданы согласованным образом функция u(x) и все ее первые производные. Такую задачу легко свести к рассмотренной выше частной
задаче Коши с помощью гладкой обратимой замены независимых
переменных. Положим
yk = gk(x),
(1.6)

где g1(x) = h(x), так, чтобы якобиан преобразования x ⇔ y был отличен от нуля. Уравнение (1.3) приобретает при этом следующий вид:

n
i,j=1
aij(x)

n
k,l=1

∂gk
∂xi
∂gl
∂xj
∂2u

∂yk∂yl + L1u = f(x),
(1.7)

где L1 — линейный дифференциальный оператор первого порядка,
конкретный вид которого не играет роли для дальнейших рассужде

§ 1.1. Начальная задача для уравнений в частных производных
9

ний. Уравнение (1.7) можно записать в виде

n
k,l=1
bk,l
∂2u

∂yk∂yl + L1u = f(x),
(1.8)

где

bk,l =

n
i,j=1
aij(x)

n
k,l=1

∂gk
∂xi
∂gl
∂xj .
(1.9)

Таким образом, более общая задача Коши для уравнения (1.3) свелась к рассмотренной выше частной задаче Коши для уравнения (1.8),
начальные данные для которого заданы на плоскости y1 = 0. Если
b1,1 ̸= 0, то справедливы описанные выше теоремы существования и
единственности решения задачи Коши. Если в какой-нибудь точке
коэффициент b1,1 равен нулю, то задача Коши, вообще говоря, неразрешима. Действительно, начальные данные однозначно определяют

все члены уравнения (1.8), кроме b1,1
∂2u
∂y2
k
, и потому уравнение в этой

точке, вообще говоря, не выполнено.

Поверхность S : {h(x) = 0}, для которой выполнено равенство

n
i,j=1
aij(x) ∂h

∂xi
∂h
∂xj = 0,
(1.10)

называется характеристикой уравнения (1.3).

Это определение имеет негативный оттенок (на характеристике,
как и в случае уравнения первого порядка, нельзя задавать данные Коши). В дальнейшем мы увидим, что характеристики вполне
оправдывают свое название: они действительно характеризуют многие свойства решений. 1)

Аналогичным образом определяются характеристики для систем
дифференциальных уравнений в частных производных. Отложим
это определение до последней главы, а пока обратимся к исследо
1) Такая ситуация не является исключительной. Как известно, собственные числа λ квадратной матрицы A — это такие числа, при которых система
уравнений Ax − λx = y, вообще говоря, не имеет решений. Тем не менее
именно собственные числа матрицы в значительной степени ее характеризуют. Для аналитической функции комплексного переменного особые точки —
это те точки, в которых нарушается условие аналитичности. Но именно
эти точки в значительной степени характеризуют функцию комплексного
переменного.
Указанное замечание характерно не только для математики. Литературные повести и романы также отличаются описанием особых коллизий, а не
рутинного течения жизни. Именно с подобной известной фразы начинается
роман Л. Н. Толстого «Анна Каренина».

Гл. 1. Общие свойства дифференциальных уравнений

ванию линейных уравнений второго порядка, основной теме данного
учебника.

§ 1.2. Классификация линейных уравнений
второго порядка в частных производных

Каждому уравнению (1.3) ставится в соответствие матрица A =
= (aij(x)), элементы которой — коэффициенты уравнения при производных второго порядка. Так как для дважды непрерывно диффе
ренцируемой функции
∂2u

∂xi∂xj =
∂2u

∂xj∂xi , то без ограничения общности

матрицу будем считать симметричной. После замены (1.6) уравнение (1.3) переходит в уравнение (1.8) с матрицей B коэффициентов
при вторых производных. Если обозначить посредством Γ матрицу
∂gk
∂xi , то соотношение (1.9) между матрицами A и B записывается
в виде
B = ΓAΓT .
(1.11)

Чтобы выяснить, какой простейший вид может приобрести уравнение
после замены независимых переменных, заметим, что преобразование
матриц (1.11) совпадает с преобразованием матриц квадратичной
формы. Действительно, фиксируем точку x0 и рассмотрим квадратичную форму

K(λ, x0) =

n
i,j=1
aij(x0)λiλj,

где λ = (λ1, ... , λn), x0 = (x0
1, ... , x0
n).

После замены переменных λi =

n
k=1
γikµk, i = (1, n), квадратичная

форма K(λ, x0) приобретает вид

n
k,l=1
bklµkµl, где матрица

B = (bkl) =
n
i,j=1
aijγikγjl

.

Если положить γik = ∂gk

∂xi (x0), то матрица B окажется равной матрице B коэффициентов при вторых производных в уравнении (1.8)
в точке x0. Тем самым преобразование матрицы при старших производных уравнения (1.3) в фиксированной точке x0 полностью совпадает с преобразованием матрицы квадратичной формы.

Из курса алгебры известно, что невырожденной заменой независимых переменных можно квадратичную форму привести к канониче