Теоретические основы работы газостатических опор

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. И. СНОПОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
РАБОТЫ 
ГАЗОСТАТИЧЕСКИХ ОПОР
Ростов-на-Дону
Издательство Южного федерального университета
2009

УДК 533:621.01/.03
ББК 22.253+34.41
C 53
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета 
Рецензенты:
заслуженный деятель науки и техники РФ, заведующий кафедрой 
высшей математики Ростовского госуниверситета путей сообщения, 
доктор технических наук, профессор Ахвердиев К. С., 
заведующий кафедрой дифференциальных и интегральных уравнений ЮФУ,  
доктор физико-математических наук Задорожный А. И. 
Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта 
«Образование» по «Программе развития федерального 
государственного образовательного учреждения 
высшего профессионального образования 
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»
 
Cнопов А. И.
C 53  
  
Теоретические основы работы газостатических опор: 
монография / А. И. Снопов. – Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ, 
2009. –  176 с.
ISBN 978-5-9275-0701-6
 
    В данной монографии изложены современные методы расчета 
упорных и радиальных газостатических подшипников с дискретным 
наддувом через круглые отверстия. Особое внимание уделено изложению новых схем расчета, существенно отличающихся от нашедших 
широкое применение в практике схем непрерывно распространенного 
наддува и линий непрерывного наддува и значительно повышающих 
точность расчетов интегральных характеристик газостатических 
опор.
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Рекомендована научным работникам, занимающимся исследованиями в области газодинамической теории смазки, инженерамразработчикам различных машин и приборов с опорами на газовой 
смазке, студентам и аспирантам соответствующих специальностей.
ISBN 978-5-9275-0701-6                                                   УДК 533:621.01/.03
  
 
 
 
                 
           
ББК 22.253+34.41
© Снопов А. И., 2009
© Южный федеральный университет, 2009 
© Оформление. Макет. Издательство
 
 
 
 
          Южного федерального университета, 2009

 
ВВЕДЕНИЕ
Первые эксперименты с опорами скольжения, в которых в 
качестве смазки использовался газ (воздух), провел А. Кингсбери в 
1896 г., получивший ряд эпюр распределения давлений в смазочном 
слое цилиндрического газодинамического подшипника.
В 1913 г. В. Гаррисон вывел нелинейное дифференциальное 
уравнение для распределения давлений в плоском потоке вязкого 
изотермического газа в смазочном слое, которое явилось обобщением на случай сжимаемой жидкости известного в теории жидкостной смазки уравнения Рейнольдса. Сделанный им численный 
расчет для клиновой пары, аппроксимирующей цилиндрический 
подшипник скольжения, привел к удовлетворительному согласию 
с экспериментальными данными Кингсбери.
Дальнейшее развитие теория газовой смазки получила только 
с начала пятидесятых годов ХХ в., когда появилась практическая 
необходимость в использовании газа в качестве смазки в связи со 
становлением ядерной энергетики, освоением космического пространства, развитием криогенной и других отраслей техники. Потребовались высокоточные машины, станки и приборы, способные 
работать в тяжелых химических, температурных и радиационных 
условиях, не загрязняющие окружающую среду и обеспечивающие 
намного большие, чем достигнутые к тому времени, скорости вращения и мощности, приходящиеся на единицу массы машины.
Наряду с интенсивным развитием теоретических и экспериментальных исследований в области газовой смазки началось широкое 
практическое использование опор, смазываемых газом. В таких 
опорах оказалось возможным реализовать три принципа создания 
избыточных давлений в смазочных слоях: за счет эффекта клина 
при относительном движении близко расположенных непараллельных поверхностей, за счет газодинамического инерционного 
эффекта, возникающего при высокочастотных сдавливаниях тонкого слоя газа, и за счет газостатического эффекта, возникающего 
при принудительном вдуве газа в смазочный слой. В общем случае 
3

все эти эффекты могут одновременно проявляться в опорах, смазываемых газом.
Теоретически и экспериментально было подтверждено, что 
основные допущения, принятые О. Рейнольдсом при разработке 
теории жидкостной смазки, остаются справедливыми и для большинства случаев, когда смазочным веществом является газ. Поэтому современная теория газовой смазки развивается, в основном, 
в рамках подходов О. Рейнольдса.
По формам смазочного слоя, по способам создания избыточных давлений в смазочном слое, по конструктивным особенностям 
и назначениям опоры, смазываемые газом, обладают чрезвычайным разнообразием. Нелинейность основных дифференциальных 
уравнений теории газовой смазки, сложность форм смазочного 
слоя и граничных условий, нестационарность движения создают 
значительные трудности в исследованиях работы газовых опор, не 
преодоленные во многих случаях до настоящего времени, несмотря 
на большое число работ, посвященных этим вопросам.
Проблема развития теории газовой смазки остается актуальной задачей современной гидроаэpомеханики. Начинающему 
исследователю трудно ориентироваться в огромном (несколько 
тысяч) количестве опубликованных по этой теме работ. К счастью, 
в период написания данной книги в Санкт-Петербурге вышла в 
свет обширная монография «Прецизионные газовые подшипники» 
[15], написанная группой авторов, в которой весьма обстоятельно, 
в свете современных тенденций развития теории газовой смазки, 
рассмотрены физико-математические и технические аспекты этой 
теории. В книге отражен богатый опыт по решению соответствующих теоретических, экспериментальных и внедренческих проблем, 
накопленный творческими коллективами, с которыми ее авторы 
были много лет тесно связаны. Однако, как это подтверждает и 
заголовок, в этой монографии недостаточное внимание уделено 
вопросам теории крупногабаритных тяжелонагруженных газостатических опор.
Предлагаемая читателю книга ставит своей целью, прежде 
всего, восполнение этого пробела. В связи с очень широким спектром решаемых в рамках теории газовой смазки задач не все, даже 
основные, вопросы этой теории нашли в ней отражение. Наряду 
с разделом, в котором изложены исходные положения теории 
4

газовой смазки, в книгу включены разделы, связанные с расчетом некоторых типов осевых и радиальных газодинамических 
и газостатических опор. В книге не отражены вопросы расчета 
радиально-упорных конических и сферических подшипников, 
лепестковых опор, виброопор, опор со спиральными микроканавками, подшипников-уплотнений, которые находят все большее 
применение в технике.
Главное внимание уделено изложению эффективных алгоритмов решения задач расчета газостатических опор с дискретным 
поддувом, использующих минимальное число допущений, обладающих высокой точностью и общностью. Реализация этих алгоритмов требует современной вычислительной техники, а создание 
соответствующего программного обеспечения остается проблемой, 
которую читатель должен решать самостоятельно. 
Автор выражает особую благодарность А. Н. Иванову за помощь и содействие в создании монографии, в которой отражены и 
результаты его исследований.

\0
1. 
 
  
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, 
ДОПУЩЕНИЯ, ИСХОДНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 
ТЕОРИИ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ
Современная теория газовой смазки развивается на основе 
положений и допущений о свойствах течений жидкости в тонких 
смазочных слоях, высказанных О. Рейнольдсом в конце XIX в. 
В данной главе эти положения и допущения конкретизируются 
для случая газа как смазочного вещества, обладающего свойством 
сжимаемости, и выводится дифференциальное уравнение для распределения давлений в смазочном слое (уравнение Рейнольдса) в 
наиболее общей форме, в произвольной ортогональной системе координат, связанной со смазочным слоем. Приведены частные его виды 
применительно к основным геометрическим типам газовых опор: 
плоским, цилиндрическим, коническим и сферическим. Существенным является вывод соответствующих формул, определяющих 
местную толщину смазочного слоя при произвольном движении 
смазываемых поверхностей. Уделяется также внимание выводу в 
компактной форме формул для вычисления воздействия смазки на 
смазываемые тела и расхода газа через смазочный слой.
1.1. Уравнения течения смазки в смазочных слоях
Принимаем, что смазочный слой образован газом, протекающим в зазоре между поверхностями пары трения, имеющими 
характерную протяженность L′, что обе смазываемые поверхности 
твердые и подвижные и что максимальное отклонение по нормали точек одной поверхности от другой не превышает величины 
δ << L′.
Введем в рассмотрение некоторую неподвижную, достаточно 
гладкую базовую поверхность S*, такую, что отклонения от нее 
рассматриваемых поверхностей остается порядка δ во все время дви6

жения. Принимаем, что главные радиусы кривизны Rk поверхности 
S* имеют порядок L′. Свяжем с этой поверхностью криволинейную 
систему координат q1, q2, q3 такую, что на поверхности S* q3 = 0, где 
q3 означает расстояние точки от этой поверхности. Пусть декартовы координаты xj (j = 1, 2, 3) точки в неподвижном пространстве 
связаны с криволинейными координатами уравнениями
 
xj = xj (q1, q2, q3), j = 1, 2, 3. 
(1.1)
При этом элемент дуги координатной линии имеет длину 
dsj = Hjdqj, где
2
2
2
3
1
2
j
        
 – коэффициенты Ламе.
x
x
x
Н
q
q
q
∂
∂
∂
=
+
+
∂
∂
∂
j
j
j
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Наиболее общая система уравнений, которую можно использовать для описания течения вязкого газа в смазочном слое газовых 
опор многих типов машин, включает в себя три уравнения движения газа (уравнения Навье–Стокса):
v
v
v
v
v
1
1
1
(
v
v )
(
v )
ρ
H
H
H
t
H
q
H
q
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
1
1
1
1
2
1
2
2
3
2
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
v
v
1
1
(
v )
ρ
H
p
F
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
+
−
=
−
+
∂
∂
∂
3
3
1
3
1
3
3
1
1
1
1
1
1
1
ln(
)
ln(
)
ln(
)
H H
H H
H H
H
q
H
q
H
q
τ
τ
τ
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
 
(1.2)
 
    
2
3
11
1
3
21
2
1
31
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
(
)
(
)
τ
τ
τ
τ
τ
H
H
H
H
q
H
q
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
11
1
1
21
2
12
13
22
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
1
1
(
);
τ
τ
H
H
q
H
q
∂
∂
+
−
∂
∂
31
3
33
3
3
1
2
v
v
v
v
1
1
1
(
v )
(
v
v )
ρ
v
H
H
H
t
H
q
H
q
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
3
1
1
2
2
2
2
1
1
3
3
v
v
1
1
(
v )
ρ
H
p
F
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
+
−
=
−
+
∂
∂
∂
3
3
2
3
2
3
3
2
1
2
2
7

1
1
ln(
)
ln(
)
ln(
)
H H
H H
H H
H
q
H
q
H
q
τ
τ
τ
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
2
3
12
1
3
22
2
1
32
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
(
)
(
)
τ
τ
τ
τ
τ
12
1
22
2
2
11
21
23
1
1
2
2
2
2
1
1
3
3
1
1
(
);
τ
τ
H
H
H
H
q
H
q
H
q
H
q
H
q
H
H
q
H
q
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
32
3
33
3
3
2
1
v
v
v
v
v
1
1
(
v )
(
v )
ρ
3
3
3
1
1
2
2
1
2
1
1
3
3
2
2
3
3
v
v
1
1
1
(
v
v )
ρ
H
H
t
H
q
H
q
H
q
H
q
H
H
p
F
H
q
H
q
H
q
H
q
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
−
+
∂
∂
∂
∂
3
3
3
3
1
2
3
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
1
ln(
)
ln(
)
ln(
)
H H
H H
H H
H
q
H
q
H
q
τ
τ
τ
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
2
3
13
1
3
23
2
1
33
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
(
)
(
)
τ
τ
τ
τ
13
23
1
2
11
22
1
1
3
3
2
2
3
3
1
1
1
(
);
τ
τ
τ
H
H
H
q
H
q
H
q
H
q
H
H
H
q
H
q
H
q
 
∂
∂
∂
∂
+
−
+
−
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
∂
∂
∂
 
33
3
3
31
32
3
3
1
1
2
2
уравнение неразрывности:
1
(
(
v )
(
v )
(
v ))
H H
H H
H H
t
H H H
q
q
q
ρ
ρ
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
+
+
+
∂
∂
∂
∂
      (1.3)
2
3
1
1
3
2
2
1
3
1
2
3
1
2
3
уравнение баланса энергии:
3
1
2
v
v
v
(
)
E
E
E
E
t
H
q
H
q
H
q
ρ ∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
∂
∂
∂
∂
1
1
2
2
3
3
2
3
1
1
3
2
2
1
3
1
2
3
1
2
[
(
v )
(
v )
(
v )]
3
p
H H
H H
H H
H H H
q
q
q
∂
∂
∂
= −
+
+
+
∂
∂
∂
8

[
(
v )
(
v )
(
v )]
3
H H
H H
H H
H H H
q
q
q
λ
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
2
2
3
1
1
3
2
2
1
3
2
2
2
1
2
3
1
2
2
3
1
3
2
1
1
(
)
(
)
(
)
T H H
T H H
T H H
k
k
k
H H H
q
q
H
q
q
H
q
q
H
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1
2
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
 
11
22
33
12
13
23
2 (
2
2
2
)
,
Q
μ ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
+
+
+
+
+
+
 
(1.4)
где εik  – компоненты тензора скоростей деформаций, причем
H
H H
q
q
H
ε
⎛
⎞
∂
∂
=
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
∑
 
v
v
,
k
i
i
ii
k
i
k
k
i
i
v
v
1
,
.
2
i
i
k
k
ik
k
i
k
i
k
i
H
H
i
k
q
H
H
q
H
H
ε
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
=
+
≠
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
Для модели вязкого газа используется линейная связь тензора 
вязких напряжений τ
=
 
   с тензором скоростей деформаций ε
=
 
   (обобщенная гипотеза Ньютона) 
 τ
=
 
   = λdivv
–
   E
=
 
 
    + 2με
=
 
   ( E
=
 
 
      
 
 – единичный тензор),
из которой следует связь между компонентами этих тензоров:
 
τik λdivv
–
   δik + 2μεik ,   i, k = 1, 2, 3, 
(1.5)
где                  δik  = 
 – символ Кронекера.
1,
0,
i
k
i
k
=
⎧
⎨
≠
⎩
К записанным дифференциальным уравнениям следует добавить уравнение Клапейрона–Менделеева
 
p = RTρ. 
(1.6)
Здесь  и далее используются обозначения:
R = CP – CV – газовая постоянная;
k = CP/CV – показатель адиабаты Пуассона;
9

P
C
μ
k = 
 – коэффициент теплопроводности газа;
Pr
CP и CV – удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно; ρ – плотность; T – температура; v
–
    – скорость; E – полная энергия газа, приходящаяся на 
единицу объема;  E
=
 
 
   – единичный тензор; μ – динамический коэффициент вязкости газа; λ – коэффициент объемной вязкости газа; 
k – коэффициент теплопроводности газа; Pr – число Прандтля.
Непосредственно система полных уравнений (1.2)–(1.6) не 
используется при разработке методов расчета газовых опор из-за 
ее чрезмерной сложности. Математическая модель течения газа в 
смазочном слое существенно упрощается на основе того, что этот 
слой физически и относительно тонок. Это позволяет, прежде всего, 
принять поток газа в смазочном слое ламинарным и изотермическим и пренебречь в уравнениях (1.2)–(1.5) величинами порядка 
δ/L′ по сравнению с единицей. При этом существенным является 
выбор криволинейной системы координат. Удобно координатную 
поверхность q1, q2 совместить с неподвижной поверхностью S*, а за 
координату q3 принять расстояние точки смазочного слоя от этой 
поверхности. Учитывая малость кривизны базовой поверхности, 
будем пренебрегать кривизной этой поверхности при оценке слагаемых, входящих в уравнения движения газа в смазочном слое. 
Это означает, что базовая поверхность локально аппроксимируется 
касательной к ней плоскостью и так как q3 имеет порядок δ ≈ 0, 
то можно записать
 
Hj = Hj (q1, q2, 0), j = 1, 2; H3 = 1, p = p (q1, q2, 0, t). (1.7)
У тензора вязких напряжений наибольшими компонентами 
являются касательные напряжения на площадках, ортогональных 
вектору 
3
o
q
, которые с принятой точностью могут быть представлены 
j
v
 
τ3j = τj3 = 
q
μ ∂
∂
, j = 1, 2. 
(1.8)
3
Все остальные компоненты тензора вязких напряжений следует 
считать равными нулю.
10