Аппроксимация ступенчатых функций в задачах математического моделирования

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ    2011 год, том 23, номер 3, стр. 75-88


УДК 51-74

АППРОКСИМАЦИЯ СТУПЕНЧАТЫХ ФУНКЦИЙ
В ЗАДАЧАХ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МОДЕЛИРОВАНИЯ


2011 г.       С.В. Алюков

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

alysergey@gmail.com

Предложены новые методы аппроксимации ступенчатых функций с оценкой погрешности 
приближений. Предложенные методы не имеют недостатков традиционных разложений 
ступенчатых функций в ряды Фурье и могут быть использованы в задачах математического моделирования широкого класса процессов и систем.

Ключевые слова: ступенчатые функции, математическое моделирование, аппроксимация, 
сходимость, оценка погрешности, примеры применения.

APPROXIMATION OF STEP FUNCTIONS
IN PROBLEMS OF MATHEMATICAL MODELING

S.V. Alyukov

South Ural State University, Chelyabinsk

New methods of approximation of step functions with estimation of error of the approximation 
are suggested. The suggested methods do not have any disadvantages of traditional approximations of step functions by means of Furrier series and can be used in problems of mathematical 
modeling of wide range of processes and systems.

Key words: step functions, mathematical modeling, approximation, convergence, estimation of 
error, examples of using.

1. Введение

Ступенчатые функции широко применяются в различных областях научных иссле
дований. Традиционными областями их применения являются технические и математические дисциплины, например, теория автоматического управления, электротехника, радиотехника, теория информации и передачи сигналов, уравнения математической физики, теория колебаний, дифференциальные уравнения и многие другие [13].

Системы со ступенчатыми характеристиками и функциями относят к существенно
нелинейным структурам, подчеркивая сложность получения решений для таких структур. Несмотря на простоту ступенчатых функций по участкам, построение решений в задачах со ступенчатыми функциями на всей области определения требует применения 
специальных математических методов, например, метода припасовывания [4] с увязкой

С.В. Алюков

решений по участкам и поверхностям переключений. Применение метода припасовывания, как правило, требует преодоления значительных математических трудностей, причем достаточно часто решение получается в громоздкой форме, в виде сложных выражений.

Во многих случаях прибегают к методам аппроксимации с помощью рядов Фурье

1

k
k

k

f
с








, где {1, 2,…,n,…}  ортогональная система в функциональном гильбер
товом пространстве L2[,] измеримых функций с интегрируемыми по Лебегу квадратами, fL2[,], ck=(fk)/k2. В качестве ортогональной системы часто берут тригонометрическую систему 2 периодических функций {1, sin nx, cos nx; nN}. Но при 
этом в окрестности точек разрыва O(x0)

0
0
(
)/{
}

sup
( )
( )
0
n
n
x O
x
x

f x
S
x
A









, где Sn(x)

 частичная сумма ряда Фурье. В этом проявляется эффект Гиббса [5]. Так для функции

)
x
(sin
sign
)
(
0

x
f
(1)

точка x=/m, где m=2[(n+1)/2], [A]  целая часть числа A, является точкой максимума 
частичной суммы Sn(f0) тригонометрического ряда Фурье [6], причем

0

0

2
sin 
(
,
/
)
1.17898
n
n

t
S
f
m
dt
t







 
,

то есть величина абсолютной погрешности 
0
0
( /
)
lim
(
,
/
)
0
n
n
f
m
S
f
m






.178. Заме
тим, что 
/
0
0

n
x
m


 


.

На рис.1 изображен график частичной суммы S20(f0) тригонометрического ряда на 

отрезке [,]], иллюстрирующий проявление эффекта Гиббса. 

Самое неприятное заключается в том, что эффект Гиббса носит общий характер, 

проявляется для любой функции fL2[a,b], имеющей ограниченную вариацию на отрезке 
[a,b], с изолированной точкой разрыва x0(a,b). Для таких функций выполняется условие [6]

,
1
sin
2

2
)
0
(
)
/
,
(
lim

0

0
0
























dt
t

t
d
x
f
m
x
f
Sn
n

где 
)
0
(
)
0
(
0
0




x
f
x
f
d
.

Покажем, что абсолютная =(x) и относительная =(x) погрешности аппрокси
мации в окрестности точек разрыва могут быть сколь угодно большими. Действительно,

0
0
0
lim
(
/
)
lim
( ,
/
)
(
/
)
n
n
n
x
m
S
f x
m
f x
m




 

 

 


0
0
lim
(
/
)
lim
(
/
)
n
n
n
S
x
m
f x
m



 

 
