Численные методы: Курс лекций

ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра математики и финансовых приложений

И.Е. Денежкина

Численные методы

Курс лекций.

Москва

2004

УДК 330.832(07)

ББК 22.1я73

Д33

Рецензенты: проф. В..С. Брусов (Московский авиационный институт)

доц. О.С. Еркович (МГТУ им. Н.Э. Баумана)

И.Е. Денежкина

Численные методы: Курс лекций: Учебное пособие. М.: ФА, 2004. 112 с.

В учебном пособии излагаются основы теории численных методов. Курс ориен
тирован на слушателей, которые впервые встречаются с численным анализом математических моделей, поэтому большое внимание уделяется основным понятиям и определениям. Приводятся положения нетрадиционной так называемой, машинной арифметики. 
Пособие содержит три основных раздела: вычислительные методы алгебры; основы теории приближений функций одной переменной с их приложениями в области численного 
дифференцирования и интегрирования; методы численного решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений (задача Коши). Большое внимание уделено проблемам 
реализации методов, вопросам вычислительной устойчивости и точности.

Цель курса – ознакомить студентов с наиболее популярными численными мето
дами, необходимыми при решении современных экономических задач, показать важное 
прикладное значение таких методов, дать представление об основных подходах к численному анализу, о принципах выбора метода, проблемах его реализации и применения.

Учебное пособие предназначено для студентов математических специальностей 

экономических ВУЗов.

© Денежкина И. Е.
© Финансовая академия 
при Правительстве РФ, 2004

Оглавление

Оглавление.....................................................................................................................3

Введение.........................................................................................................................5

1. Элементы машинной арифметики.........................................................................10

1.1.Представление чисел в памяти  вычислительного устройства ...............11

1.2.Процесс округления ...................................................................................13

1.3. Погрешности вычислений.........................................................................14

1.4. Параметры машинной арифметики..........................................................17

2. Решение систем линейных уравнений ...................................................................19

2.1. Метод Гаусса..............................................................................................20

2.2. Итерационные методы ..............................................................................23

2.3. Обусловленность задач линейной алгебры .............................................30

3. Решение нелинейных уравнений............................................................................32

3.1. Отделение корней ......................................................................................33

3.2. Уточнение корней......................................................................................35

3.2.1. Метод половинного деления.......................................................36

3.2.2. Метод Ньютона............................................................................39

3.2.3. Модификации метода Ньютона ..................................................42

3.2.4. Метод хорд ...................................................................................43

3.2.5. Метод итераций............................................................................44

4. Системы нелинейных уравнений ...........................................................................48

4.1. Метод Ньютона для решения систем  нелинейных уравнений..............50

4.2. Итерационные методы для решения систем  нелинейных уравнений ..53

4.3. Завершение процесса расчета при решении   нелинейных уравнений ..55

5. Численные методы теории приближений..............................................................57

5.1. Постановка задачи интерполяции ............................................................58

5.2. Интерполяция многочленами ...................................................................59

5.3. Точность интерполяции ............................................................................64

5.4. Кусочная интерполяция ............................................................................67

5.5. Аппроксимация..........................................................................................69

6. Численное вычисление определенных интегралов и производных ....................73

6.1. Постановка задачи численного интегрирования.....................................74

6.2. Простейшие квадратурные формулы,  порожденнинтерполяционными  

многочленами ...................................................................................................75

6.2.1. Формула прямоугольников .........................................................75

6.2.2. Формула трапеций .......................................................................76

6.2.3. Формула Симпсона......................................................................76

6.3. Погрешности квадратурных формул........................................................77

6.4. Составные квадратурные формулы..........................................................78

6.5. Практические приемы выбора шага интегрирования .............................81

6.6. Схема Ромберга .........................................................................................83

6.7.  Постановка задачи численного дифференцирования ............................86

6.8. Простейшие формулы численного дифференцирования........................86

7. Численные методы решения обыкновенных  дифференциальных уравнений ...89

7.1. Постановка задачи численного решения задачи Коши ..........................91

7.2. Понятие  о приближенно-аналитических методах..................................92

7.3. Общая характеристика одношаговых методов........................................93

7.4. Методы Рунге – Кутта...............................................................................94

7.4.1. Метод Рунге – Кутта первого порядка .......................................95

7.4.2. Метод Рунге – Кутта второго порядка .......................................96

7.4.3. Типы и классификация ошибок численного  интегрирования .98

7.4.4. Методы Рунге–Кутта высших порядков ..................................102

7.5. Методы прогноза-коррекции ..................................................................105

7.6. Сравнительные достоинства и недостатки методов интегрирования 

обыкновенных дифференциальных уравнений............................................108

7.7. Вычислительная устойчивость численных методов  интегрирования 

дифференциальных уравнений......................................................................109

7.8. Понятие о неявных методах  интегрирования  дифференциальных 

уравнений........................................................................................................113

Заключение ................................................................................................................114

Литература...............................................................................................................116

Введение

Математика возникла в связи с необходимостью решения практических за
дач – землемерных, навигационных, строительных, экономических и т.д. Целью 

решения задачи являлось получение конкретного результата в виде числа. После 

того как был накоплен богатый опыт расчетов, появились труды, обобщающие 

его, и начала развиваться теория. Тем не менее крупнейшие ученые сочетали в 

своих трудах  построение математического описания явлений (позже названного 

математическими моделями) и его исследование. Появление новых моделей тре
бовало разработки новых методов решения задач. Если решение задачи в общем 

виде было невозможно или слишком сложно, разрабатывались методы, позво
ляющие найти какое-либо конкретное решение, применимое на практике. Многие 

из этих методов были названы именами своих великих создателей - Эйлера, Нью
тона, Гаусса.

Первые математические модели в экономике были созданы Ф. Кене («Эко
номическая таблица», 1758 г.) А. Смитом (классическая макроэкономическая мо
дель), Д. Риккардо (модель международной торговли) и носили описательный ха
рактер. В XIX веке математическому моделированию рыночной экономики по
свтили свои работы В. Парето, Ф. Эджвот, О.Курно, Л. Вальрас и др.  В XX веке 

возникли новые возможности для моделирования, обусловленные появлением и 

развитием вычислительной техники и соответствующих разделов прикладной ма
тематики. Практически все работы, удостоенные Нобелевской премии в области 

экономических наук, связаны с использованием математических моделей. (Д. 

Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л.В. Канторович). 

В современных условиях роль математического моделирования в экономи
ке только возрастает. Количество факторов и связей, влияющих на экономиче
ский процесс, увеличивается. Перед экономическими моделями ставится  задача 

уже не только описания и выявления закономерностей изучаемого объекта, но и 

предсказания его  поведения при изменении некоторых параметров, а также при
нятия решений о дальнейших действиях. Традиционная опора только на  интуи
цию и опыт отдельных людей при принятии экономических решений становится 

практически неприемлемой в силу невозможности оценить всю совокупность су
щественных факторов. В модели все они оцениваются количественно, что делает 

прогноз или оценку более обоснованными. Это позволяет достичь лучших ре
зультатов, избежать потерь, в том числе и в государственной политике.

Современная экономическая теория, как на микро- , так и на макроуровне, 

включает в качестве необходимого элемента математическое моделирование. Ис
пользование математических моделей в экономике позволяет формально описать 

наиболее существенные связи между переменными, определяющими явление или 

процесс. Количество этих переменных и связей  и детальность их описания опре
деляется как желаемой степенью адекватности модели, так и возможностями раз
работчика и пользователя. Поэтому любая математическая модель упрощенно 

описывает процесс, то есть является неполной. Так, в простейшей модели спроса 

считается, что величина спроса на товар зависит от цены и уровня доходов потре
бителя. Но кроме этого спрос могут определять такие факторы, как традиции ре
гиона, мода, реклама и др. Примерами экономических математических моделей 

являются также модели фирмы, экономического роста, рекламы, модели равнове
сия на товарных, факторных и финансовых рынках   и многие другие.

Итак, модель – это упрощенное описание (или непосредственное создание)  

некоторого подобия исследуемого объекта, выявляющего только существенные 

для нашей задачи черты. Если это описание производится на формальном языке 

математики, то модель является математической. Облик модели определяется це
лью ее создания. Эти цели могут быть следующими.

1. Непосредственное использование модели (напримеригрушка, манекен, мо
дель самолета.

2. Описание объекта - выявление закономерностей, статистика, прогнозиро
вание, идентификация и т.д.

3. Управление объектом – получение требуемых характеристик на выходе мо
дели путем подачи нужных сигналов на ее вход.

4. Создание (проектирование) объекта.

5. Принятие решений.

Конец XX века характеризуется бурным развитием вычислительной техни
ки, что вызывает активную разработку соответствующих численных методов. В 

настоящее время численные методы (численный анализ) являются одним из важ
нейших разделов математики, без изучения которого образование современного 

специалиста является неполным.

Кроме того, применение математического моделирование в одной области 

позволяет использовать достижения математики, полученные в другой области 

науки. Рассмотрим два простейших примера.

Пример 1. Какую сумму денег следует положить в банк по 10% годовых, 

чтобы через год получить 22000 рублей?

Обозначим:  М 0 – начальная сумма; М1 – конечная сумма; R – ставка про
цента. Уравнение, описывающее процесс, имеет вид: 

)
100
1(
0
1

R
M
M
.

Решив его, получим: 
20000
1.1

22000

)
100
1(

1

0
R

M
M
.

Пример 2. Завод в результате внедрения новой технологии увеличил про
изводительность труда на 10% и стал выпускать 22000 единиц продукции в год. 

Какой годовой объем выпуска продукции был у завода первоначально? 

Обозначим:  Q0 – первоначальный выпуск; Q1 – текущий выпуск; R – про
цент прироста производительности труда. Уравнение, описывающее процесс, 

имеет вид: 

)
100
1(
0
1

R
Q
Q
.

Решив его, получим: 
20000
1.1

22000

)
100
1(

1

0
R

Q
Q
.

Описанные в этих примерах различные процессы имеют одну и ту же мате
матическую модель. Поэтому, если при создании модели получаются уравнения,  

для которых уже разработаны методы решения, можно их использовать, абстра
гируясь от смысла модели. Это свойство математических моделей является очень 

удобным. Уже накоплен большой опыт решения задач в области, например, тех
нических наук, разработано и отлажено соответствующее математическое обес

печение. И все это богатство может быть использовано при решении экономиче
ских задач, описываемых усложняющимися математическими моделями.

Следует отметить, что математическое моделирование – это не только вве
дение переменных и написание математических соотношений. Это достаточно 

сложный процесс, возможно, многократно повторяющийся, требующий учета 

множества факторов, относящихся не только к самой модели. Примерная схема 

математического моделирования приведена на рис. 1. 

Классическим средством изучения математических моделей и исследования 

на этой основе реальных процессов и явлений служат аналитические методы, по
зволяющие получить точные решения в виде математических формул. Они позво
ляют решить задачу в общем виде и получить полную информацию о поведении 

объекта. Однако, класс задач, для которых они могут быть использованы, весьма 

ограничен. Во-первых, далеко не всегда полученная математическая модель со
держит функции, удовлетворяющие требованиям непрерывности, достаточной 

гладкости и т.п., без выполнения которых аналитического решения можно не по
лучить. Во-вторых, не все задачи имеют решение. Например, вычисление длины 

дуги кривой с помощью определенного интеграла часто  сводится к необходимо
сти вычисления «неберущегося» интеграла. В-третьих, не все исходные данные 

могут быть представлены в виде аналитического выражения. Кроме того, при ре
шении практических задач далеко не всегда возникает необходимость поиска об
щего решения или всех возможных решений. Во всех таких случаях применяются 

численные методы. Это приближенные методы решения  задач, основанные на 

реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изу
чающая численные методы, называется численным анализом, или вычислительной 

математикой.

Численные методы, в отличие от аналитических, позволяют получить не 

общее, а частное решение задачи, либо решить задачу не в бесконечномерном, а в 

некотором конечномерном пространстве. При этом необходимо выполнить доста
точно большое количество арифметических и логических операций, имея 

1. Выбор цели моделирования. Постановка за
дачи.

2 Анализ требуемых и имеющихся данных.

Оценка имеющегося ресурса (вычислительная 
техника, персонал, временной диапазон, уровень финансирования).

3. Оценка уровня надежности достижения 

4. Предварительная обработка данных. 

Планирование эксперимента. 

5. Формулировка допущений.

6. Построение модели.

7. Предварительная оценка модели.

8. Подготовка данных для моделирования и 

их обработка.

9. Моделирование (Собственно расчет)

10. Оценка результата. Цель достигнута?

11. Оценка наличия дополнительного ре
окончание работы

нет
да
нет

есть

Рис. 1. Этапы математического моделирования.

дело с большими массивами информации. Получив решение, требуется ясно по
нимать, насколько оно адекватно поставленной задаче, какова область его приме
нимости. Все это выполняется с помощью математического обеспечения, разра
батываемого для компьютеров. Изучение численных методов необходимо совре
менному специалисту как для разработки новых алгоритмов, так и для выбора из

множества существующих наиболее подходящего.

1.Элементы машинной арифметики

Выполнение арифметических операций с использованием вычислительной 

техники – от мощных компьютеров до простейших калькуляторов – несколько 

отличается от привычных действий. Главное отличие арифметики «машинной» от 

«классической» заключается в том, что любое техническое устройство имеет дело 

лишь с конечным набором цифр и знаков. Каждое число может быть представле
но последовательностью цифр, длина которой определяется длиной ячейки памя
ти устройства. Даже если эта последовательность очень длинная, все равно она

конечная. При выполнении нескольких операций можно и не заметить никаких 

отличий. Но применение численных методов, которые мы будем рассматривать, 

требует огромного числа арифметических операций. Поэтому необходимо пони
мать, к чему приводит ограничение на количество участвующих в расчетах цифр.

1. Любое число в устройстве может быть представлено лишь конечной деся
тичной дробью. Но есть числа, например иррациональные, которые имеют вид 

бесконечной дроби. Даже результат простейшей операции – деление единицы на 

три, порождает бесконечную дробь. Следовательно, не все числа можно предста
вить точно.

2. Невозможно выполнять действия в полном классе вещественных чисел.

3. Невозможно представить очень большие или очень маленькие числа.

4. При выполнении арифметических операций неизбежно возникают ошибки, 

называемые ошибками округления. Эти ошибки возникают из-за того, что резуль
тат операции не может быть полностью помещен в ячейку памяти.