Геометрия и графика, 2013, № 1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43 (доб. 501) 
Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Головнева Т.И.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 363-42-60, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2013

Подписано в печать 03.06.2013. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Сальков Н.А.
Кинематическое соответствие вращающихся 
пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Умбетов Н.С.
Конструирование эквипотенциальной 
поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Милосердов Е.П., Волков К.И.
Траектории планетарных спутников 
в цилиндрических проекциях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Грязнов Я.А.
Отсек каналовой поверхности как образ 
цилиндра в расслояемом образовании . . . . . . . . . . . . . .17

Макашина Е.В.
Геометрическое моделирование временных 
рядов в многомерном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . .20

ВОПРОСЫ ГРАФИКИ
Савельев Ю.А.
Графика мнимых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Савельев Ю.А.
К определению числа корней уравнений . . . . . . . . . . . .24

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ
Иванов Г.С.
Перспективы начертательной геометрии 
как учебной дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

Сальков Н.А.
Анализ ФГОСов нового поколения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Короткий В.А., Хмарова Л.И.
Начертательная геометрия на экране 
компьютера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Сальков Н.А.
Эллипс: касательная и нормаль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Альшакова Е.Л.
Методический комплекс обучения 
программированию на языке AutoLISP . . . . . . . . . . . . . . .38

Альшакова Е.Л.
Применение информационных технологий 
в учебном процессе на кафедре начертательной 
геометрии и инженерной графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2013. Том 1. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного университета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Национального 
исследовательского университета «Московский 
государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»

2013. Vol. 1. Issue 1
Scientifi c and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Виноградов В.Н. — д-р пед. наук, профессор, Витебск 
(Беларусь)

Волков В.Я. — д-р техн. наук, профессор, Омск (Россия)

Вышнепольский В.И. — канд. пед. наук, доцент, Москва 
(Россия)

Дворецкий А.Т. — д-р техн. наук, профессор, Симферополь (Украина)

Иванов Г.С. — д-р техн. наук, профессор, Москва (Россия)

Ковалев С.Н. — д-р техн. наук, профессор, Киев (Украина)

Ковалев Ю.Н. — д-р техн. наук, профессор, Киев (Украина)

Павлова А.А. — д-р пед. наук, профессор, Москва 
(Россия)

Парвулюсов Ю.Б. — канд. техн. наук, профессор, 
Москва (Россия)

Пилипака С.В. — профессор, Киев (Украина)

Подгорный А.Л. — д-р техн. наук, профессор, Киев 
(Украина)

Сальков Н.А. — канд. техн. наук, профессор, Москва 
(Россия)

Скидан И.А. — д-р техн. наук, профессор, Донецк 
(Украина)

Толок А.В. — д-р техн. наук, профессор, Москва (Россия)

Шангина Е.И. — д-р пед. наук, профессор, Екатеринбург 
(Россия)

Янишевская А.Г. — д-р техн. наук, профессор, Омск 
(Россия)

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Н.А. — канд. техн. наук, профессор, Москва 
(Россия), гл. редактор

Вышнепольский В.И. — канд. пед. наук, доцент, Москва 
(Россия), зам. гл. редактора

Кадыкова Н.С. — канд. техн. наук, доцент, Москва 
(Россия), ответственный секретарь

Кудрявцев Г.Ф. — канд. техн. наук, доцент, Москва 
(Россия), член редколлегии

Асекритова С.В.
Методика преподавания курса 
«Графические редакторы САПР» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Асекритова С.В., Шевелев Ю.П.
Решение прикладных задач с использованием 
САПР . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Кадыкова Н.С., Сальков Н.А.
Реформирование оценок геометрографических знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Матусевич В.Я., Сальков Н.А.
Система дистанционного образования 
и геометро-графические дисциплины . . . . . . . . . . . . . . . .54

Степура Е.А.
«Невозможные» геометрические фигуры. . . . . . . . . . . . .56

Усанова Е.В.
Психолого-педагогические аспекты геометрографической подготовки в техническом вузе 
с использованием медиа-технологий 
и CAD-систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

Усанова Е.В.
Комплексное применение медиа-технологий 
и CAD-систем в геометро-графической 
подготовке студентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Фокина Н.И., Бощенко Т.В.
Поиск эффективной методической системы 
обучения студентов компьютерной графике . . . . . . . . .68

Хейфец А.Л., Буторина И.В., 
Васильева В.Н.
Модели деталей сложной формы в пакете 
AutoCAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Щеглова А.В.
Применение компьютерных технологий 
в процессе изучения графических дисциплин . . . . . . .73

Асекритова С.В., Пучков И.А.
Использование результатов научноисследовательской работы студентов 
в процессе преподавания графических 
дисциплин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Свичкарева Г.Н., Андрюшина Т.В., 
Ковалев В.А.
Оптимизация структуры и содержания 
графических дисциплин с позиции 
модульно-компетентностного подхода . . . . . . . . . . . . . . .77

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД
Сальков Н.А., Кадыкова Н.С.
Организация студенческих предметных 
олимпиад высшего уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

Вышнепольский В.И.
Московские городские олимпиады 
по инженерной графике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением 
авторов публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно 
подбирать к авторским материалам иллюстрации, 
менять заголовки, сокращать тексты и вносить в 
рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редакцию материалы будут свидетельствовать о согласии 
авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного 
разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и 
графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание 
рекламных материалов.

Уважаемый читатель!

Перед Вами новый научный журнал, посвященный проблемам геометрии, черчения, компьютерной 
графики, преподавания графических дисциплин и других тем, связанных с геометрией и графикой. Журнал 
выходит при поддержке ведущих российских исследовательских и образовательных центров в этой области, 
таких как: Московский государственный университет тонких химических технологий (МИТХТ) им. М.В. Ломоносова, 
Московский государственный академический художественный институт (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, 
Национальный исследовательский университет «Московский государственный строительный университет» 
(НИУ МГСУ), Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» и др.
Геометрия — самая первая наука, возникшая на земле. Компьютерная графика — одно из самых молодых 
направлений развития графических дисциплин, возникшее несколько десятилетий назад. Как геометрия в 
свое время, так и компьютерная графика в настоящее — обе безальтернативно и быстро распространились 
по всему миру; как та, так и другая продолжают развиваться и совершенствоваться. Одна из главных причин, 
послуживших бурному развитию компьютерной графики — возросшая конкуренция, которая требует реализовывать разрабатываемые в машиностроении и строительстве проекты качественнее, быстрее и эффективнее. Изучение графических дисциплин развивает пространственное воображение, логику мышления, 
способствует интеллектуальному развитию личности человека. Поэтому педагогика преподавания графических дисциплин также требует пристального внимания.
Несмотря на значительный прогресс в геометрии, компьютерной графике и, в меньшей мере, в преподавании графических дисциплин, остается много нерешенных задач, что формирует значительное поле для 
теоретических и практических исследований. Именно на публикацию подобных исследований нацелен наш 
журнал.
Нашей целью является способствовать становлению российской научной школы инженерной геометрии 
и компьютерной графики путем последовательного выстраивания корпуса знаний по наиболее актуальным 
проблемам в геометрических ветвях знаний и обеспечения фундамента для взаимопроникновения идей 
различных исследователей в этой области.
Нашими среднесрочными целями являются: обеспечение высокого научного уровня журнала и издание 
статей одновременно на русском и английском языках для выхода на международный уровень. Уже сегодня 
все статьи нашего журнала имеют DOI (уникальные цифровые идентификаторы), по которым они доступны в любое время в любой точке мира.
Объектами исследований в работах, публикуемых в нашем журнале, могут быть научные проблемы, 
концепции, модели, методы, история развития в: геометрии, инженерной и компьютерной графике, программах учебных дисциплин, преподавании, графических программах для компьютеров. Важным является 
исследование отраслевых особенностей применения геометрии и компьютерной графики: в строительстве, 
машиностроении, разработке программного обеспечения и т.д., а также в специальных проектах: инновационных, высокотехнологичных и др. Кроме того, на наш взгляд, сейчас весьма актуальны статьи, посвященные историческим аспектам развития геометрии и графики в России и за рубежом. Исходя из этого, 
формируются рубрики журнала, среди которых (в порядке значимости): 
Научные проблемы геометрии;
Инженерная графика и черчение;
Компьютерная графика;
Вопросы преподавания графических дисциплин;
Методика подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам;
Биографии ученых в области геометрии и графики;
История науки и техники.
Этот список нельзя считать полным, так как по мере развития журнала и появления новых исследований 
будут появляться новые рубрики. 
Наш журнал предназначен прежде всего для исследователей в области геометрии и графики, преподавателей вузов, лицеев и колледжей, учителей и администрации общеобразовательных учреждений, а также 
для всех, интересующихся геометрией.
Мы надеемся, что этот журнал повысит популярность научных исследований в области геометрии и 
графики, поможет повысить эффективность выполнения реальных проектов и окажется полезным нашим 
читателям!

Гл авный редактор
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова, 
канд. техн. наук 
Н.А. Сальков

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013 
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10

Каждое из рассматриваемых пространств может 
совершать равномерное или неравномерное движение в заданном направлении, криволинейное движение или движение вращения вокруг заданной для 
каждого пространства оси.
В настоящей работе предлагаются теоретические 
выкладки, полученные для случаев вращения точечных пространств вокруг своих осей для различных 
вариантов положения этих осей.
Даны два множества точек (два точечных пространства) R3
1 и R3
2, причем первоначально R3
1  R3
2, 
т.е. каждая точка пространства является, по сути, 
двойной: одна принадлежит R3
1, вторая — R3
2.
Оба множества вращаются вокруг своих осей, при 
этом каждая точка первого множества при вращении 
совпадает с некоторой точкой второго множества. 
Эти точки второго множества в совокупности представляют собой некоторую линию.

Вариант 1. Оси параллельны.
1. Пространства R3
1 и R3
2 вращаются в одну сторону.
Рассмотрим кинематическое 
соответствие двух пространств 
при вращении каждого из них 
вокруг своей оси с одинаковой 
угловой скоростью  (рис. 1). 
В начальный момент движения 
точке A0
1 пространства R3
1 соответствует точка A0
2 пространства R3
2.
После поворота каждой из точек на угол t очередному положению точки A1
1 будет соответствовать 
проекция A1
2 и т.д. Когда угол t будет равен 360°, 
точка А1 закончит движение по окружности, а точка 
А2 замкнет движение по своей линии и оба пространства займут первоначальное положение.
Исследуем полученную линию в пространстве R3
2. 
Для этого заменим рассмотренную схему одновременного вращения R3
1 и R3
2 (рис. 1) на равноценную, 
представленную на рис. 2.

УДК 514.123

Сальков Н.А.
канд. техн. наук, профессор
Московский государственный академический 
художественный институт им. В.И. Сурикова
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Кинематическое соответствие 
вращающихся пространств

Аннотация. В работе излагается отображение одного вращающегося пространства на другое вращающееся пространство. 
Оба пространства вращаются вокруг своих осей. Рассмотрены 
случаи параллельных осей, пересекающихся перпендикулярных, скрещивающихся перпендикулярных и скрещивающихся под острым углом осей.
Ключевые слова: начертательная геометрия; прикладная 
геометрия; кинематическая геометрия; пространство R3.

Salkov N.A.
PhD in Engineering, Professor
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia

Kinematic compliance of rotating spaces

Abstract. Display of one rotating space on another one is stated in this scientific work. Both spaces rotate about their axes. Cases 
of parallel axes, intersecting perpendicular axes, skew perpendicular axes and skew at an acute angle axes are considered.
Keywords: descriptive geometry; applied geometry; kinematic 
geometry; R3 space.

Данная работа представляет собой развитие опубликованных ранее в разное время работ [1—3].
Многие механизмы совершают вращательное 
дви жение, при этом вращающиеся части одного 
меха низма «вторгаются» в зону вращения частей 
другого вращающегося механизма. Задача состоит в 
том, чтобы не допустить столкновения вращающихся частей двух, а то и более деталей друг с другом. 
В космической навигации, где в принципе отсутствуют объекты, находящиеся в покое, также актуальна проблема столкновения искусственных космических аппаратов с астрономическими телами, 
вращающимися вокруг своих осей. Поэтому представляется актуальной задача рассмотрения отображения одного точечного пространства на другое при 
их независимом друг от друга движении.
Сначала условимся о принятых в работе понятиях.
Под кинематическим соответствием двух пространств будем понимать такое соответствие, когда 
оба пространства находятся в движении, имеющем 
для каждого из них свою закономерность, и взятая 
в первом пространстве точка многократно проецируется на второе пространство, образуя в нем 1 
(однопараметрическое множество) точек (линию).

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Рис. 1

Рис. 2

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013

Примем R3
2 за неподвижное пространство. Для 
сохранения фактора относительного движения R3
2 по 
часовой стрелке на угол t необходимо повернуть на 
этот угол против часовой стрелки пространство R3
1 
вокруг оси i2. Одновременно R3
1 повертывается по 
часовой стрелке вокруг оси i1 на этот же угол. Во 
время такого движения оси пространств R3
1 и R3
2 сохранят параллельность.
Параметрическими уравнениями движения проекции А2 точки А1 относительно системы координат 
x2i2y2 пространства R3
2 являются:

X = a cos t + R cos ;                    (1)
Y = a sin t + R sin ,

где a — расстояние между осями вращения плоскостей;
 — угол между радиус-вектором точки А0
1 и осью 
i 0
1х0
1 пространства R3
1 в начале движения;
R — расстояние от точки А0
1 начала вращения до 
оси i 0
1.
Возводя обе части полученных уравнений (1) в 
квадрат и складывая их почленно, получим:

(X – R cos )2 + (Y – R sin )2 = a2.             (2)

С другой стороны, R cos  = Х0 и R sin  = Y0 
можно рассматривать как координаты точки, принадлежащей пространству R3
1, в котором начинается 
ее движение по окружности. Тогда из уравнения (2) 
получим:

(X – X0)2 + (Y – Y0)2 = a2.                  (3)

Теорема. Если два пространства вращаются каждое 
вокруг своей оси с одинаковой угловой скоростью 
в одном направлении и в каждом пространстве расположена своя система координат с началом на оси 
вращения, то окружность, образуемая произвольной 
точкой первого пространства с начальными координатами X0 и Y0, спроецируется на второе пространство также в виде окружности радиуса, равного расстоянию между осями вращения, и с центром, имеющим координаты X0 и Y0 относительно первоначального положения системы координат второго 
пространства.
Следствие. Если в первом пространстве взять 1 
точек, представляющих собой окружность радиуса R, 
то они во втором пространстве образуют 1 окружностей с центрами, составляющими окружность того 
же радиуса R.
При разной угловой скорости 1 и 2 пространств 
R3
1 и R3
2, вращающихся в одном направлении, рассмотрим два случая.
Случай 1. 1 = n; 2 = , т.е. пространство R3
2 
вращается в n раз медленнее пространства R3
1. Тогда 
параметрические уравнения линии — проекции на 
пространство R3
2 окружности, образуемой при движении произвольной точки пространства R3
1, — исходя из рис. 3, имеют вид системы:

X = a cos t + R cos [(n  1) t + ];           (4)
Y = a sin t + R sin [(n  1) t + ].

Случай 2. 1 = ; 2 = n, т.е. пространство R3
2 
вращается в n раз быстрее пространства R3
1. Проекция 
окружности на R3
2 будет представлена следующей 
системой:

X = a cos nt  R cos [(n  1) t  ];             (5)
Y = a sin nt  R sin [(n  1) t  ].

Рассмотрим частный случай линии, получаемый 
при проецировании окружности с началом движения 
в произвольной точке пространства R3
1, при условии, 
что угловая скорость пространства R3
1 в два раза больше угловой скорости пространства R3
2. Подставляя в 
(4) n = 2, получим:

X = a cos t + R cos [t + ];                  (6)
Y = a sin t + R sin [t + ].

Если начальная точка движения (для упрощения) 
расположена на оси i1х1, то преобразуя (6) и учитывая 
(5), получим:

X 2 / (a ± R)2 + Y 2/(a  R)2 = 1.            (7)

Данное выражение является известным уравнением эллипса, у которого сумма полуосей равна 
удвоенному расстоянию (2а) между осями вращения 
пространств. Разное положение точек позволяет 
получить также и частные случаи: окружность радиуса а и отрезок прямой величиной 2а.
2. Пространства вращаются в разные стороны.
Пусть первое пространство вращается по часовой 
стрелке, а второе — против. 
Случай 1. 1 = n; 2 =  — пространство R3
2 вращается в n раз медленнее пространства R3
1. Проекция 
на R3
2 окружности, образующейся при вращении 
произвольной точки пространства R3
1, будет иметь 
вид:

X = a cos t + R cos [(n + 1) t + ];          (8)
Y = a sin t + R sin [(n + 1) t + ].

Случай 2. 1 = ; 2 = n — пространство R3
1 вращается в n раз медленнее пространства R3
2. Система 
имеет вид:

Рис. 3

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013 
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10

X = a cos nt + R cos [(n + 1) t + ];         (9)
Y = a sin nt + R sin [(n + 1) t + ].

Данные выкладки являются теоретическим обоснованием изобретений [4—7].
В дополнение к сказанному можно уточнить, что 
точка в R3
1, перемещаясь, создает в R3
2 отсек плоскости — плоское кольцо.
Вариант 2. Оси пересекаются под углом 90о.
Рассмотрим следующее условие.
Оси i1 и i2 перпендикулярны и пересекаются в 
точке О (рис. 4).

Рис. 4                                                    Рис. 5

Пусть R3
1 и R3
2 вращаются по часовой стрелке и 
скорости вращения равны 1 = 2. Примем R3
2 за 
неподвижную систему хуz. Для сохранения фактора 
относительного движения R3
1 по часовой стрелке на 
угол 2 необходимо повернуть на этот угол против 
часовой стрелки R3
1 вокруг оси i2. Одновременно R3
1 
повертывается по часовой стрелке вокруг оси i1 на 
этот же угол.
Рассмотрим движение точки А в R3
2, разбитое на 
две составляющие: сначала вращаем точку А вокруг 
оси i1, а затем вращаем ее вокруг оси i2. Очевидно, 
что если скорости вращения будут одинаковы, то 
точка А, совершив полный оборот вокруг оси i1 на 
360о, воспроизведет в R3
2 некоторую замкнутую пространственную линию.
На рис. 5 показано вращение точки А вокруг оси 
i1 в плоскости, параллельной хОz. Точка А имеет начальные координаты ХА, YА, ZА. Тогда переход в точку А1 произойдет по следующим параметрическим 
уравнениям:

Х1 = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1); 
Y1 = YA;
Z1 = (XA
2 + ZA
2)½ sin (+ 1);                    (10)
1 = t;
 = arctg (ZA / XA),

где  — начальный угол между радиус-вектором О1А 
точки А и осью i2 в начале движения (см. рис. 4 и 5);
1 — угол, на который поворачивается первая 
система R3
1 вокруг первой оси (i1);
t — параметр времени;
 — угловая скорость движения.
Одновременное вращение точки А (последовательное для точки А1) вокруг i2 в плоскости, парал
лельной уОz, показано на рис. 6. Точка А при этом 
перемещается в точку А2.
Параметрические уравнения для этого перемещения следующие:

Х2 = Х1;
Y2 = (X 
1
2 + Z1
 2)½ cos ( + 2);
Z2 = (Y1
 2 + Z1
 2)½ sin ( + 2);                (11)
2 = nt;
 = arctg (Z1 / Y1),

где  — угол между радиус-вектором О2А1 точки А и 
осью i1 после первого поворота (см. рис. 4 и 6);
2 — угол, на который поворачивается первая 
система R3
1 вокруг второй оси (i2);
n — множитель, показывающий, во сколько раз 
медленнее или быстрее происходит вращение системы R3
1 вокруг первой (i1) или второй (i2) оси.
Объединяя (10) и (11), получим систему:

Х = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + t);
Y = U cos ( + nt);
Z = U sin ( + nt);                                         (12)
 = arctg (ZA / XA);
 = arctg {[(XA
2 + ZA
2)½ sin ( + t)] / YA};
U = {YА
2 + (XA
2 + ZA
2) sin2 ( + t)}½.

Для ХА = 0 и ZA = 0, т.е. когда точка А находится 
на оси y (оси i1), получим:

Х = 0;
Y = ±YA cos (nt);                                       (13)
Z = ±YA sin (nt).

Возводя обе части полученных уравнений в квадрат 
и складывая почленно, получим известное уравнение 
окружности, расположенной в плоскости уОz:

Y 2 + Z 2 = Y 
A
2.                             (14)

Значит, все точки, принадлежащие оси i1, описывают окружности в системе R3
2. 
При YА = 0 и ZA = 0, т.е. когда точка А принадлежит 
оси х (оси i2), получим:

Х = ХА cos (t);
Y = ХА sin (t) sin (nt);                 (15)
Z = ХА sin (t) cos (nt).

Если n = 1, то (15) выглядит следующим образом:





























Рис. 6

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013

Х = ХА cos (t);
Y = ХА sin2 (t);                               (16)
Z = ХА sin (t) cos (t).

Для ХА = 0, YA = 0, т.е. когда точка А принадлежит 
оси z, система уравнений (12) приобретает вид:

Х = ZА sin (t);
Y = ZА cos (t) sin (nt);                (17)
Z = ZА cos (t) cos (nt).

При n = 1:

Х = ZА sin (t);
Y = ZА cos (t) sin (t);                  (18)
Z = ZА cos2 (t).

Системы 12, 13, 15—18 удобны для применения 
в расчетах на компьютере.
В результате анализа отмечаем, что каждая точка 
одного пространства создает во втором пространстве 
сферический пояс.

Вариант 3. Скрещивающиеся перпендикулярные оси.
Пусть даны два точечных пространства R3
1
  R3
2, 
каждая точка которых вращается вокруг своей оси i1 
и i2 соответственно. Пусть оси i1 и i2 — скрещивающиеся и взаимно перпендикулярные (рис. 7). Величина 
d — расстояние между осями i1 и i2. Точки О1 и О, 
взятые на осях i1 и i2 соответственно, являются концами перпендикуляра к обеим осям. Для удобства 
примем точку О в качестве начала ортогональной 
декартовой системы координат Оxyz для пространства 
R3
2, а точку O1 — в качестве начала ортогональной 
декартовой системы координат О1x1y1z1 для пространства R3
1 (см. рис. 7). При этом z1  z, не совпадают 
только точки О1 и О.
Пусть R3
1 вращается вокруг оси i1 по часовой стрелке с угловой скоростью

1 = t,                           (19)

а R3
2 вращается вокруг оси i2 по часовой стрелке с 
угловой скоростью

2 = nt,                             (20)

где  — угловая скорость;
t — параметр времени;
n — множитель, показывающий, во сколько раз 
быстрее или медленнее вращается вторая система R3
2 
по сравнению с первой R3
1.
Чтобы определить положение точки А, взятой в 
R3
1, по прошествии некоторого времени t в системе 
Оxyz пространства R3
2, разобьем движение этой точки 
на составляющие.
Первым преобразованием будет вращение точек 
R3
1 вокруг оси i1 (оси y1 системы О1x1y1z1), а вторым — 
вращение этих же точек в системе R3
2 вокруг оси i2 
(оси x системы Оxyz). Таким образом, поставленной 
в работе задачей является в конечном итоге опреде
ление результата умножения двух преобразований 
вращения.
На рис. 8 показано первое вращение точки А вокруг оси i1. Координаты точки А (ХА; YА; ZА) возьмем 
в системе ортогональных декартовых координат О1x1y1z1. 
Так как первое вращение происходит в плоскости, 
параллельной хОz, то очевидно, что в ортогональной 
системе О1x1y1z1 первое преобразование (см. рис. 8) 
выразится системой уравнений:

Х1 = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1);
Y1 = YA;
Z1 = (XA
2 + ZA
2)½ sin ( + 1);               (21)
1 = t;
 = arctg (ZA / XA),

где  — начальный угол между радиус-вектором О1А 
точки А и осью i2 в начале движения (см. рис. 7 и 8).
Для ортогональной системы Оxyz первое вращение 
имеет вид (см. рис. 7 и 8):

Х11 = X1;
Y11 = Y1;                                 (22)
Z11 = Z1 + d.

Или, с учетом (21):

Х11 = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1); 
Y11 = YA;
Z11 = (XA
2 + ZA
2)½ sin ( + 1) + d;           (23)
1 = t;
 = arctg (ZA / XA).









Рис. 7

Рис. 8





















ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013 
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10

Система уравнений (23) представляет собой математическую модель первого преобразования. 
На рис. 9 показано преобразование, совершающееся одновременно с первым: вращение точки А 
вокруг оси i2 в плоскости, параллельной координатной плоскости yОz.
Координаты X, Y и Z точки А после второго поворота определятся по следующим параметрическим 
уравнениям:

Х = Х11;
Y = (Y 2
11 + Z 2
11)½ cos ( + 2);
Z = (Y 2
11 + Z 2
11)½ sin ( + 2);              (24)
ω2 = nt;
 = arctg (Z11 / Y11),

где  — угол между радиус-вектором О2А1 точки А и 
осью i1 после первого поворота (см. рис. 7 и 9);
Учитывая в системе уравнений (24) систему (23), 
получим:

Х = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + t);
Y = {YA
2 + V 2}½ cos ( + nt);
Z = (YA
2 + V2)½ sin ( + nt);                  (25)
 = arctg (ZA / XA);
 = arctg (V / YA);
V = (XA
2 + ZA
2)½ sin ( + t) + d.

Система уравнений (25) представляет собой математическую модель кинематического отображения 
вращающихся точечных пространств R3
1 на R3
2 при 
условии, что оси их вращения взаимно перпендикулярны и не пересекаются.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. При XA = 0; ZA = 0; d = 0 (точка А находится на 
оси у, см. рис. 7) из системы уравнений (25) получим:

Х = 0;
Y = YA cos (nt);                                (26)
Z = YA sin (nt).

Каждая точка R3
1 совершает в R3
2 движение по 
окружности:

Y 2 + Z 2 = Y A
2

в координатной плоскости yОz. При этом YA является параметром однопараметрического множества 
(1) окружностей, составляющих эту координатную 
плоскость.
2. При YA = 0; ZA = 0; d = 0 (точка А находится на 
оси х, см. рис. 7) из системы (25) получим:

Х = XA cos (t);
Y = XA sin (t) sin (nt);                   (27)
Z = XA sin (t) cos (nt).

Таким образом, каждая точка при XA = const перемещается по сфере:

Y 2 + Z 2 + X 2 = X 2
A.

XA в этом случае выступает в качестве параметра 
1 сфер в ортогональной декартовой системе координат Оxyz.
3. При YA = 0; ХA = 0; d = 0 (точка А находится на 
оси z, см. рис. 7) из системы (25) получаем:

Х = ZA sin (t);
Y = ZA cos (t) sin (nt);                  (28)
Z = ZA cos (t) cos (nt).

Аналогично предыдущему случаю, каждая точка 
при ZA = const перемещается по сфере:

Y 2 + Z 2 + X 2 = ZA
2.

ZA в этом случае также выступает как параметр 1 
сфер в системе координат Оxyz.
Анализируя полученные данные, приходим к выводу, что точки первого пространства, вращаясь, создают во втором пространстве поверхность тороида.

Вариант 4. Оси скрещивающиеся.
Пусть даны два точечных пространства R3
1
  R3
2, 
каждая точка которых вращается вокруг своей оси i1 
и i2 соответственно. Пусть оси i1 и i2 — скрещивающиеся (рис. 10) и расположены под углом 











Рис. 9

















Рис. 10

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013

Пусть R3
1 вращается вокруг оси i1 по часовой стрелке с угловой скоростью

1= t,                                  (29)

а R3
2 вращается вокруг оси i2  по часовой стрелке с 
угловой скоростью

2= nt,                              (30)

где  — угловая скорость;
t — параметр времени;
n — множитель, показывающий, во сколько раз 
быстрее или медленнее вращается вторая система R3
2 
по сравнению с первой R3
1.
Чтобы определить положение точки А, взятой в 
R3
1, по прошествии некоторого времени t в системе 
Оxyz пространства R3
2, разобьем движение этой точки 
на составляющие.
1. Первым преобразованием будет вращение точек 
R3
1 вокруг оси i1 (оси y1 системы О1x1y1z1), а вторым — 
вращение этих же точек в системе R3
2 вокруг оси i2 
(оси x системы Оxyz). Таким образом, поставленной 
в работе задачей является в конечном итоге определение результата умножения двух преобразований 
вращения.
На рис. 11 показано первое вращение точки А 
вокруг оси i1. Координаты точки А (ХА;YА;ZА) возьмем 
в системе ортогональных декартовых координат О1x1y1z1. 

Тогда в системе Оxyz ее координаты будут:

Xˊ = YA cos  + XA sin ;
Yˊ = YA sinXA cos ;                     (31)
Zˊ =ZA + d.

Первое вращение в системе О1x1y1z1 выразится 
системой уравнений:

Х1 = (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1);
Y1 = YA;
Z1 = (XA
2 + ZA
2)½ sin ( + 1);              (32)
1 = t;
 = arctg (ZA / XA),

где  — начальный угол между радиус-вектором О1А 
точки А и осью i2 в начале движения (см. рис. 10);
Для ортогональной системы Оxyz первое вращение 
имеет вид (см. рис. 10 и 11):

ХII = Y1 cos  + X1 sin ;
YII = Y1 sin  – X1 cos ;                     (33)
ZII = Z1 + d.

Или, с учетом (32):

ХII = YA cos  + (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1) sin ;
YII = YA sin  + (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1) cos ;
ZII = (XA
2 + ZA
2)½ sin ( + 1) + d;                         (34)
1 = t;
 = arctg (ZA / XA).

Система уравнений (34) представляет собой математическую модель первого преобразования.
2. На рис. 12 показано второе преобразование, 
совершающееся одновременно с первым: вращение 
точки А вокруг оси i2 в плоскости, параллельной 
координатной плоскости yОz.

Координаты X, Y и Z точки А после второго поворота определятся следующими параметрическими 
уравнениями:

Х = ХII;
Y = (Y11            
2 + Z11            
2)½ cos ( + 2);
Z = (Y11            
2 + Z11            
2)½ sin ( + 2);                  (35)
2 = nt;
 = arctg (ZII / YII),

где  — угол между радиус-вектором О2А1 точки А и 
осью i1 после первого поворота.
Учитывая в системе уравнений (35) систему (34), 
получим:

Х = YA cos  + (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1) sin ;
Y = А cos ( + 2);
Z = А sin ( + 2);
 = arctg (ZA / XA); 
 = arctg {[(XA
2 + ZA
2)½ sin ( + 1) + d ]/ [YA sin  – 
      – (XA
2 + ZA
2)½ cos ( + 1) cos  ]};
1 = t;                                                                (36)

2 = nt;
А = {d + XA
2 cos2
  + (XA
2 + ZA
2) [sin2
 ( + 1) + 
      + cos2
 ( + 1) sin  ] + 2(XA
2 + ZA
2)½ 
       [YA sin  cos  cos ( + 1) + d sin ( + 1)]}½.































Рис. 12











Рис. 11

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013 
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 4-10

Система уравнений (36) — математическая модель 
кинематического отображения вращающихся точечных пространств R3
1 на R3
2 при условии, что оси их 
вращения скрещиваются.
Также следует отметить, что точки первого пространства, вращаясь, создают во втором пространстве 
отсек поверхности — пояс тороида.
Предложенные в статье разработки могут быть 
использованы в космической навигации и в тех областях производства, где необходимо вращающиеся 
части механизмов приблизить на минимальное расстояние.

Литература

1. Сальков Н.А. О кинематическом соответствии 
точек двух плоскостей / Город и экологическая реконструкция жилищно-коммунального комплекса 
ХХI века. Четвертая Международная научно-практическая конференция 5–6 апреля 2006 г. — М.: 
МИКХиС, 2006. — С. 257–262.
2. Сальков Н.А. Отображение R3
1 на R3
2 при пересекающихся осях вращения / Сборник трудов Всероссийской научно-методической конференции по 

инженерной геометрии и компьютерной графике. 
Часть 2. — М.: МИТХТ, 2008. — С. 4–7.
3. Сальков Н.А. Точечное отображение R3
1 на R3
2 
при перпендикулярных осях вращения / Сборник 
трудов 2-й Всероссийской научно-методической 
конференции по инженерной геометрии и компьютерной графике. — М.: МИТХТ, 2009. — С. 10–14.
4. А.с. 1025461 СССР, МКИ3 В 07 В 1/16. Грохотпитатель / Н.А. Сальков (СССР). — № 3333233/2903. Заявлено 25.06.81. Опубл. 30.06.83, Бюл. № 24.
5. А.с. 1199625 СССР, МКИ4 В 29 В 7/42. Двухчервячный смеситель для пастообразных материалов / 
Сальков Н.А. (СССР). — №3773765/23-05. Заявлено 
23.07.84. Опубл. 23.12.85, Бюл. № 47.
6. А.с. 1505669 СССР, МКИ4 В 23 В 5/44. Станок 
Сальковых для обработки многогранных поверхностей / Сальков Н.А., Сальков А.В., Салькова В.А. 
(СССР). — № 4293668/31-08. Заявлено 01.06.87. Опубл. 
07.09.89, Бюл. № 33.
7. А.с. 1590195 СССР, МКИ4 В 23 В 1/00. Способ 
механической обработки / Сальков Н.А., Сальков А.В. 
(СССР). — № 4211245/31-08. Заявлено 04.01.87. Опубл. 
07.09.90, Бюл. № 33.

Книги Научно-издательского центра ИНФРА-М:

В МОСКВЕ
В РЕГИОНАХ

В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ
ИНТЕРНЕТ-магазины

http://www.ozon.ru 
http://www.colibri.ru
http://www.neobook.ru 
http://www.urait-book.ru 
http://www.bookler.ru  
http://www.bolero.ru
http://www.setbook.ru 
http://www.chaconne.ru

GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 11-14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013

УДК 512.2

Умбетов Н.С.
канд. техн. наук, доцент
Южно-Казахстанский государственный университет 
им. М. Ауезова
Казахстан, 160018, г. Шымкент, пр. Тауке хана, 5

Конструирование 
эквипотенциальной поверхности

Аннотация. В статье рассматривается вопрос проектирования поверхности с плоскостью параллелизма, где образующей является плоская кривая, а плоскость образующей перемещается нормально к горизонтальной плоскости проекции, 
при этом центр образующей постоянно инцидентен направляющей. В частности, рассматривается вопрос построения 
поверхности с плоскостью параллелизма, содержащей в коллинеарных сечениях семейство кривых четвертого порядка. 
Для построения кривых 4-го порядка применяются мгновенные преобразования Гирста.
Ключевые слова: поверхности, эквипотенциальная поверхность, преобразования Гирста, семейство кривых.

Umbetov N.S.
PhD in Engineering, Associate Professor
South Kazakhstan State University named after M. Auezov
5, Tauke Khan, Shymkent, 160018, Kazakhstan

Equipotential surface design

Abstract. In this article the question of surface design with 
parallelism plane where generatrix is flat curve, and generatrix plane 
moves normally to horizontal plane of projection, while generatrix 
center is continually incident to directrix, is considered. In particular, the question of surface construction with parallelism plane 
containing the family of fourth order curves in collinear sections 
is considered. Girst’s instantaneous transformations are used for 
4th order curve tracing.
Keywords: surfaces, equipotential surface, Girst’s transformations, family of curves.

Настоящая статья посвящена вопросам проектирования поверхности с плоскостью параллелизма, 
где образующей является плоская кривая, а плоскость 
образующей перемещается нормально к горизонтальной плоскости проекции, при этом центр образующей постоянно инцидентен направляющей. 
В частности, рассматривается вопрос построения 
поверхности с плоскостью параллелизма, содержащей 
в коллинеарных сечениях семейство кривых четвертого порядка. Для построения кривых 4-го порядка 
применяются мгновенные преобразования Гирста. 
Выводы, приведенные в статье, применимы при 
проектировании линий электропередачи сверхвысокого напряжения (ЛЭП). 
Электрическое поле, создаваемое ЛЭП, оказывает неблагоприятное влияние на живые организмы. 
Исследования биологического воздействия электрического поля обнаружили, что уже при напряженности 1 кВ/м оно оказывает неблагоприятное влияние 
на нервную систему человека, что, в свою очередь, 
ведет к нарушениям эндокринного аппарата и обмена веществ в организме (меди, цинка, железа и кобальта), нарушает физиологические функции: ритм 

сердечных сокращений, уровень кровяного давления, 
активность мозга, ход обменных процессов и иммунную активность1.
Основной принцип защиты здоровья населения 
от электромагнитного поля ЛЭП состоит в установлении санитарно-защитных зон для линий электропередачи и снижении напряженности электрического поля в жилых зданиях и в местах возможного 
продолжительного пребывания людей путем применения защитных экранов.
Нормативными документами ПУЭ-86, ПВЛ 750, 
ВТУ1150-80 определяется порядок установления 
границ полосы отчуждения, которые должны быть 
параллельны проводам ЛЭП и находиться на фиксированном расстоянии от проекции крайних фаз 
на горизонтальную плоскость. 
Отчуждение земель при прокладке трассы воздушных линий электропередачи (ВЛ) приводит к 
нарушению верхних плодородных слоев почвы, вырубке лесов, вызывает помехи ведению сельскохозяйственных работ, изменение среды обитания животных, птиц и т.д.
С учетом допустимых норм напряженности и 
продолжительности пребывания персонала под воздушными линиями электропередачи обозначают 
границу полосы отчуждения. Существует следующая 
норма [2].

Таблица 1

Номинальное напряжение 
Uл.н., кВ
220
330
500
750
1150

Расстояние между 
крайними проводами, м
14
18,5
23,5
40
47

Ширина трассы линии, м
44
46
49
55
66

Следует отметить, что эти нормы весьма условны 
и не дают возможности установить действительные 
размеры полосы отчуждения (фактически отсутствует соответствующая методика расчета). В нормах 
отсутствует учет влияния провисания проводов (зона 
наибольшего влияния поля из-за провисания проводов находится в середине пролета, а наименьшего — у опор, где высота наибольшая и, кроме того, 
сказывается экранирующее воздействие самых опор), 
качания проводов, характера рельефа местности на 
параметры полосы отчуждения. 
Соответствующая корректировка нормативных 
документов позволила бы получить более точную 
границу и, соответственно, экологически более надежную санитарно-защитную зону при возможном 
уменьшении общих размеров полосы отчуждения.
С позиции прикладной геометрии решение поставленной задачи сводится к следующему алгоритму. Электрическое поле (ЭП), возникающее вокруг 
электропроводов, представляется семейством эквипотенциальных поверхностей, соответствующих значениям напряженностей ЭП. Поверхность земли под 
воздушными линиями электропередачи описывается линейчатыми поверхностями, аппроксимирую
1  Сизов Ю. П. Электрическое поле Земли. Статья в БСЭ, Издательство 
«Советская энциклопедия», 1969—1978 гг.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2013 
GEOMETRY & GRAPHICS (2013). Vol. 1. Iss. 1. 11-14

щими рельеф местности. Реальная граница санитарно-защитной зоны, соответствующей предельно 
допустимому уровню напряженности ЭП, получается как линия пересечения эквипотенциальной поверхности с линейчатыми.
Вокруг токоведущих проводов ВЛ возникает электромагнитное поле, которое отрицательно воздействует на живые организмы, т.е. на растительный 
мир, на животных и на человека. В целях недопущения прямого и косвенного вредного воздействия ЭП 
на жизнедеятельность человека необходимо очертить 
границу области существования поля и свести к минимуму все контакты с этим полем. Для этого необходимо ЭП описать геометрически, построить картину поля. По картине поля наблюдается интенсивность процесса распространения поля и определяются значения основных параметров — потенциала 
и напряженности ЭП [1].
Граница области распространения напряженности 
электрического поля вдоль линии электропередачи 
сверхвысокого напряжения идентична поверхности, 
образованной огибанием множества образующих, 
плоскость которых расположена нормально к цепной 
линии. Здесь образующей является плоская кривая, 
плоскость кривой перемещается нормально к кривой 
провисания проводов. Вывод уравнения огибающей 
и дальнейшие операции с полученным выражением 
представляют определенные трудности. 
Мы же представим поверхность следующим образом: сначала строим кривую 4-го порядка, аппроксимирующую эквипотенциальные линии, мгновенными преобразованиями Гирста, затем полученную 
кривую перемещаем в пучке расслоившихся плоскостей с несобственной осью. При этом центр образующей будет инцидентен направляющей — цепной 
линии.
Вид образующей линии — плоской кривой — зависит от количества точечных источников напряженности ЭП, т.е. количества натянутых между опорами токоведущих электропроводов. Если имеем 
одну токоведущую линию, очевидно, эквипотенциальные линии распространения ЭП от точечного 
источника будут представлять собой пучок концентрических коник (окружностей, эллипсов). 
Эквипотенциальными будем называть линии, в 
пределах которых потенциал ЭП имеет постоянную 
величину. Если имеем два токоведущих электропровода, то эквипотенциальные линии в нормальном сечении имеют вид кривой четвертого порядка с двумя фокальными точками (кривые Персея, 
лемниската Бернулли, лемниската Бута, овалы Кассини). 
Электрические провода, подвешенные на двух 
опорах [1], вследствие провисания от силы тяжести, 
равномерно распределенной по длине, принимают 
форму кривой, называемой цепной линией (рис. 1). 
Плоскость провисания проводов принимаем за 
фронтальную плоскость проекции, наименьшую по 
высоте точку провода совмещаем с осью аппликат z. 
Тогда уравнение цепной линии имеет вид:

x
z = a ×ch--- .
a

Цепная линия имеет свойство: проекция ординаты ее произвольной точки на нормаль в этой точке 
является величиной постоянной, равной параметру 
а цепной линии:

z  cos  = a,

где  — угол между ординатой и нормалью цепной 
линии.
В электроэнергетике, применительно к ВЛ [3], 
соотношение между параметром а, длиной 2S цепной 
линии и стрелой провисания f, определяется по формуле 

S 2 — f 2
a = -------------------- .
2f

Угол наклона нормали цепной линии в произвольной точке к ординате в этой точке равен:

a
 = arccos  -------  .
z

Для ВЛ, например, номинальным напряжением 
1150 кВ, значение  в районе опоры будет составлять 
менее 3º, а в середине пролета  = 0.
Для упрощения аналитического описания огибающей поверхности примем следующие условия. 
Обозначим плоскость, нормальную к цепной линии 
в начале (конце) пролета, — Пн, а плоскость, вертикальную в этой же точке цепной линии, — Пв. Таким 
образом, плоскости Пн и Пв имеют общую ось b, 
бинормальную к цепной линии. Если установить 
соответствие между элементами Пн и Пв поворотом 
поля Пв к Пн (Пн к Пв) вокруг оси b, то отклонение 
аппликат точек М, М´ полей Пн и Пв будет равно 
ZM = 0,9986 ZM.
Из этого следует, что эквипотенциальную поверхность можно заменить поверхностью с плоскостью 
параллелизма с погрешностью значений аппликат 
от 0% в середине пролета до 1,4% в крайних точках 
пролета, что не окажет какого-либо существенного 
влияния на параметры конструируемой поверхности. 
Далее границу области распространения напряженности электрического поля вдоль ЛЭП будем 

Рис. 1




