Сопротивление материалов

С О П РО ТИ В Л ЕН И Е

М А ТЕРИ А Л О В

Серия «
ПРО Ф Иль»
основана в 2
0
0
5
 г.

Рекомендовано Ф едеральным 

государственным учреж дением 

«
Ф едеральный институт развития 

образования»
 в качестве учебного 

пособия для использования 

в учебном процессе образовательных 

учреж дений,
 реализую щ их 

программы среднего 

профессионального образования

Е.В. БЕРЕЗИ Н А

Сопротивление
материалов

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121
Б48

Р е ц е н з е н т ы:

В.С. Власов (Российский государственный торговоэкономический университет,
Саратовский филиал), Е.Л. Максина (Техникум отраслевых технологий
и финансов)

Березина Е.В.
Сопротивление материалов : учебное пособие /Е.В. Березина. – М. : АльфаМ : ИНФРАМ, 2010. – 208 с. : ил. –
(ПРОФИль)

ISBN 9785982812018 («АльфаМ»)
ISBN 9785160039510 («ИНФРАМ»)

Приводятся определения различных видов деформаций, основы методов расчета элементов конструкций на прочность, жесткость, устойчивость, основные положения теорий прочности, краткие сведения о динамическом нагружении, дается перечень геометрических характеристик
плоских сечений, понятие о расчетах по предельным состояниям. Основное внимание уделяется действию статической нагрузки на элементы конструкций (стержни, балки).
Для студентов учебных заведений среднего профессионального образования.

УДК 539.3(075.8)
ББК 30.121

© «АльфаМ» : «ИНФРАМ», 2010

Б48

ISBN 9785982812018 («АльфаМ»)
ISBN 9785160039510 («ИНФРАМ»)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Мастерство и умение человека древние греки
называли словом «техника». Позднее это понятие распространилось и на те предметы, которые создавались руками человека. В настоящее время к технике относятся многие дисциплины, например машиностроение, приборостроение, электротехника и электроника. На всем протяжении истории у
человека возникала потребность в той или иной науке. Техника развивалась от простого к сложному, и в любой ее отрасли
при создании изделий использовались всевозможные материалы. Чтобы создать какоелибо орудие труда, надо знать свойства применяемого материала. Изучением свойств материалов
занимается отрасль техники, называемая сопротивлением материалов. Еще при создании первых орудий труда человек, сам
того не подозревая, примитивно, методом проб и ошибок решал задачи сопротивления материалов – проверял орудие на
прочность и жесткость. Позднее был создан математический
аппарат для расчетов материалов на прочность, жесткость и устойчивость при различных условиях работы. В настоящее время без применения методов сопротивления материалов невозможно создать никакое изделие.
Сопротивление материалов является классической технической дисциплиной. Ее достижения широко применяют при
проектировании всевозможных сооружений и конструкций и
позволяют совмещать такие качества материалов, как высокая
прочность и малая плотность или высокая пластичность и высокая прочность.
Вопросами сопротивления материалов занимались многие известные ученые – механики, математики. До настоящего времени дошли рукописные работы Леонардо да Винчи
(1452–1519), содержащие результаты испытаний балок на изгиб и проволок на растяжение, описывающие прочностные
свойства материалов. Первыми печатными работами по вопросам исследования прочности балок считаются работы Галилео Галилея (1564–1642), который заложил основы современной механики (установил законы инерции, относительности движения, изучил движение по наклонной плоскости,
падение тел, колебания маятника и др.). Французский ученый
Симеон Пуассон (1781–1840) рассматривал вопросы упругости, изучал модели сплошного тела. Автором одного из ранних курсов по сопротивлению материалов является французский инженер Анри Навье (1785–1836). Англичанин Джордж
Грин (1793–1828) считается первым, кто применил некоторую непрерывную и дифференцируемую функцию для описания взаимодействия частиц (вывел уравнения упругого деформирования тела), что равносильно принятию предположения о сплошности и непрерывности среды. Одним из
основных законов сопротивления материалов является закон
Гука (Роберт Гук – английский естествоиспытатель, 1635–
1703), устанавливающий линейную зависимость между упругой деформацией твердого тела и приложенным механическим напряжением.
С течением времени круг ученых, занимающихся решением задач сопротивления материалов, все более увеличивался,
объем сведений о прочности расширялся, точки зрения на те
или иные вопросы изменялись, методы расчетов совершенствовались.
Настоящее пособие рассчитано на студентов средних специальных учебных заведений, не владеющих сложным математическим аппаратом, и предназначено для изучения в течение
2–3 семестров. Материал изложен в доступной для понимания
форме, так, чтобы в процессе освоения у обучающихся не возникал страх перед предметом. Освоив материал в предложенном объеме, студенты смогут без труда перейти к изучению
дисциплины «Сопротивление материалов» в объеме, предлагаемом высшими учебными заведениями.

6
Предисловие

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1.1. Задачи сопротивления материалов

В Энциклопедическом словаре приведено краткое определение: «Сопротивление материалов – это наука о
прочности и деформируемости элементов сооружений и деталей машин. Главная задача – создание методов расчета элементов (деталей) на прочность, жесткость, устойчивость и колебания при действии статических и динамических нагрузок».
Сопротивление материалов является составной частью более
обширной науки – механики деформируемого твердого тела.
Чтобы осмыслить данное определение, сначала надо ознакомиться с основными понятиями, определениями и допущениями, используемыми в сопротивлении материалов.
В жизни каждому человеку постоянно приходится сталкиваться с различными машинами, сооружениями, предметами,
изготовленными из разнообразных материалов. Конечно, человеку нужно, чтобы все это исправно служило как можно
дольше без поломок и отказов в результате разрушения и деформации.
Процесс разрушения – непредусмотренное разделение предмета или сооружения (или его элементов) на части.
Деформация – изменения размеров или формы тела (предмета, сооружения, конструкции и т.п.), которые могут быть
значительными или незаметными, привести к выходу из строя
конструкции или нет. Они возникают под действием внешней
среды, например нагрева или охлаждения, силового воздействия и др. Силовое воздействие на тело обычно называется нагрузкой, и когда к телу прикладывается некоторая сила, говорят, что тело находится под нагрузкой (нагруженное тело).
Окружающие нас конструкции очень разнообразны, но их
можно (мысленно) разбить на составные части и убедиться, что

по форме они разделяются на три основные группы: брусья,
оболочки, массивы.
Брусья (стержни, балки) – элементы, у которых два размера
значительно меньше третьего; могут быть прямолинейными
(как длинная прямая палка) и криволинейными (изогнутая
палка). В зависимости от вида нагрузки выделяют:
стержни – брусья растянутые или сжатые вдоль оси;
балки – нагруженные брусья, у которых при деформации ось
изгибается.
Проще говоря, если прямую палку растягивать (или сжимать)
вдоль, то она работает как стержень, а если к середине горизонтально расположенной палки подвесить груз, то она несколько
прогнется (деформируется) и будет работать как балка. Брус
можно представить как геометрическую фигуру, образованную
при движении некой плоской фигуры вдоль перпендикулярной
ей линии (прямой или изогнутой), причем эта линия должна пересекать центр тяжести плоской фигуры. При этом плоская фигураназываетсясечением,алиния,вдолькоторойонадвижется,–
осью бруса (рис. 1.1). Брусьями являются, например, тяги управления автомобилей, лонжероны самолетов.

Оболочки, пластины – элементы, у которых один элемент
значительно меньше двух других; к оболочкам относятся тонкостенные корпуса, обшивки. Любая оболочка имеет и толщину, но очень маленькую. Оболочку можно представить как фигуру, образованную двумя близко расположенными поверхностями, которые называют лицевыми. Если между лицевыми
поверхностями на одинаковом расстоянии от них расположена
еще одна поверхность, то она будет называться срединной. Плоская оболочка называется пластиной, ее срединной поверхностью является плоскость.
Массивы – элементы, у которых все три размера одного порядка.

8
Глава 1. Основные понятия

Рис. 1.1. Брус

Сооружение или конструкция будут работать должным образом, если они обладают такими свойствами, как прочность,
жесткость, устойчивость.
Прочностью называется свойство сооружения, конструкции выдерживать внешние воздействия, не разрушаясь, без
возникновения больших деформаций (без развития чрезмерных деформаций).
Жесткостью называется способность конструкции сопротивляться воздействию внешних нагрузок без возникновения
значительных деформаций, способность сопротивляться упругим деформациям (деформациям, которые полностью исчезают при снятии нагрузки). Можно сказать, что жесткость – способность конструкции выдерживать нагрузку без значительных изменений формы или размеров.
Устойчивость – способность в состоянии равновесия реагировать на действия возмущающих факторов (противостоять
их действию соответствующим образом).
Сопротивление материалов решает три основные задачи.
1. Расчет элементов сооружений и конструкций на прочность. Нарушением прочности является любое разрушение конструкции – разрыв, излом, а также возникновение пластических деформаций (деформаций, остающихся при снятии нагрузки).
При разработке изделий обеспечивается некоторый запас
прочности, т.е. сохранение конструкции (изделия) не только
при заданной или расчетной нагрузке, но и при некотором
превышении данной нагрузки.
2. Расчет элементов сооружений и конструкций на жесткость.
При нагружении конструкции возможно возникновение таких
деформаций, которые не приводят к разрушению, но делают
невозможной нормальную работу данной конструкции. Иначе
говоря, конструкция довольно прочна, но она не обладает достаточной жесткостью. Например, если вал не обладает достаточной жесткостью, то при воздействии нагрузки он чрезмерно прогибается, что затрудняет работу насаженных на нем зубчатых колес и приводит к преждевременному износу или
поломке зубьев. При расчете на жесткость стараются определить размеры и форму конструкции и ее элементов таким образом, чтобы возникающие под действием нагрузки деформации

§ 1.1. Задачи сопротивления материалов
9

находились в допустимых пределах, обеспечивающих нормальную работу данной конструкции.
3. Расчет элементов сооружений и конструкций на устойчивость.
При действии слишком большой нагрузки, например, на первоначально прямолинейный стержень он может очень сильно
изогнуться (возникнут недопустимые перемещения), принять
новое устойчивое положение, но уже не прямолинейное, а
криволинейное. Это может привести к нарушению нормальной работы конструкции, в состав которой входит данный
стержень, или даже к ее разрушению. Чтобы этого не происходило, и проводятся расчеты на устойчивость.
Таким образом, основными задачами сопротивления материалов являются расчеты. Они проводятся при некоторых допущениях (гипотезы сплошности и однородности, принципы
малости деформаций и суперпозиции сил), но при этом получаются достаточно хорошие результаты, что подтверждают
проверочные опыты или испытания моделей.

§ 1.2. Классификация внешних сил

На конструкцию и ее элементы действуют два
вида внешних сил: активные (нагрузка) и реактивные (реакции
связей).
Нагрузкой может быть любая сила, все зависит от самой
конструкции и выполняемых ею функций. Например, для парового котла нагрузкой является давление пара, который находится в котле, а для подъемного крана нагрузкой будет сила тяжести поднимаемого груза. Выделяются следующие виды нагрузки:
объемная, действующая на каждый элемент объема тела (конструкции), например сила тяжести и сила инерции;
поверхностная, передающаяся от одной части конструкции к
другой (или от одного тела к другому). Различаются поверхностные силы: сосредоточенные, передающиеся по площадке,
имеющей незначительные размеры по сравнению с размерами
самого тела (т.е. можно считать, что эта сила приложена в точке), и распределенные, если действие силы распределено по

10
Глава 1. Основные понятия

некоторой значительной поверхности; распределенная сила
характеризуется давлением (давление – сила, действующая на
единицу площади поверхности) или интенсивностью (интенсивность – сила, действующая на единицу длины).
По времени действия нагрузки различаются следующим
образом:
статические – изменяются медленно, постепенно увеличиваясь от нуля до некоторого конечного значения, и далее не меняются;
повторные–меняютсявовременисогласнонекоторомузакону;
динамические (ударные) – действуют незначительное время –
в момент контакта тел (например, удар молотка).
Реакции связей различаются в зависимости от вида конструкций. Наиболее часто встречаются следующие виды связи:
подвижный шарнир (рис. 1.2, а) – создает реакцию, которая
всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Подвижный шарнир иначе называется односвязной опорой;
неподвижный шарнир (рис. 1.2, б) – создает реакцию, которая
имеет две составляющие (в общем случае) и проходит через
центр шарнира; иначе называется двухсвязной опорой;
жесткая заделка (рис. 1.2, в), или трехсвязная опора, – характеризуется возникновением момента (пары сил) и реактивной
силы, имеющей две составляющие (в общем случае).

§ 1.3. Уравнения равновесия системы сил

Пусть имеется некоторая произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу
F
F
F
F
F
F
F
F
x
y
z
n
nx
ny
nz
1
1
1
1
(
,
,
), ...,
(
,
,
). Условия равновесия в векторной форме таковы: для равновесия приложенной к твердому телу системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны

§ 1.3. Уравнения равновесия системы сил
11

Рис. 1.2. Наиболее распространенные типы связей

нулю главный векторR системы сил и главный момент M этой
системы относительно любого центра приведения: R = 0, M =
= 0. Из двух векторных равенств получается система из шести
уравнений в проекциях на координатные оси:

R
F
R
F
R
F

M
M

x
ix
y
iy
z
iz
i

n

i

n

i

n

x
ix

0
0
0

0

1
1
1
;
;
;

;
;

i

n

y
iy
i

n

z
iz
i

n
M
M
M
M

1
1
1
0
0

(равны нулю суммы проекций всех сил системы на координатные оси декартовой прямоугольной системы координат и суммы моментов всех сил относительно координатных осей).
Пусть имеется пространственная система параллельных
сил. Главный вектор такой системы параллелен силам системы, а его модуль равен по абсолютной величине алгебраической сумме проекций сил на параллельную им ось (направление зависит от знака суммы). Тогда уравнения условия равновесия можно упростить, направив координатную ось Оz
параллельно силам системы. В этом случае проекции сил на
другие координатные оси будут тождественно равны нулю и
будут тождественно равны нулю моменты каждой из сил системы относительно оси Оz. Тогда условия равновесия (основные
уравнения равновесия параллельных сил) принимают вид:

F
M
M
iz
ix
iy
i

n

i

n

i

n
0
0
0

1
1
1
;
;
.

Пусть имеется плоская система сил. Для упрощения условий
равновесия в этом случае координатные оси Ох и Оу располагаются в плоскости действия сил. Тогда будут тождественно равны
нулю проекции сил системы на координатную ось Оz и моменты
сил относительно координатных осей Ох и Оу, а моменты сил
относительно оси Оz равны моментам сил относительно точки О. Тогда условия равновесия плоской системы сил имеют вид:

F
F
M
iz
iy
iO
i

n

i

n

i

n
0
0
0

1
1
1
;
;
,

т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю сумма проекций сил на коорди12
Глава 1. Основные понятия