Геометрия и топология

Д. А. Примаков, Р. Я. Хамидуллин
ГЕОМЕТРИЯ 
И ТОПОЛОГИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК [514+515.1](075.8)
ББК 22.15я731
П76
Серия удостоена диплома в номинации «Лучший издательский проект»
на VI Общероссийском конкурсе учебных изданий
для высших учебных заведений «Университетская книга – 2008»
Печатается по решению
Ученого совета Московской финансовопромышленной академии
Ответственный редактор серии
доктор экономических наук, профессор Ю. Б. Рубин
Примаков Д. А., Хамидуллин Р. Я.
П76
Геометрия и топология : учеб. пособие / Д. А. Примаков,
Р. Я. Хамидуллин. — 2е изд., перераб. и доп. — М.: Московская
финансовопромышленная академия, 2011. — 272 с. (Универси
тетская серия).
ISBN 9785902597131
Агентство CIP РГБ
В пособии представлены основные разделы курса «Геометрия и тополо
гия», необходимые для успешного усвоения общетеоретических и специаль
ных дисциплин информационноэкономической направленности. Приведен
необходимый теоретический и практический материал для решения типичных
примеров.
Издание предназначено для студентов и слушателей всех форм обучения
с использованием дистанционных образовательных технологий, а также для
преподавателей высших учебных заведений.
УДК [514+515.1](075.8)
ББК 22.15я731
ISBN 9785902597131
© Примаков Д. А., 2011
© Хамидуллин Р. Я., 2011
© Московская финансовопромышленная
академия, 2011

ЛСБУЛПЖ ПДМБГМЖОЙЖ
Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой...................................................... 11 
Глава 2. Основы векторной алгебры
                и ее применение в геометрии................................................................. 16 
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости................................................  60 
Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве ............................................ 111 
Глава 5. Основы дифференциальной геометрии
                и топологии ............................................................................................. 158 
Глава 6. Контрольные задания и тесты для итогового мероприятия................. 224 
Университетская серия
3

Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой
ПДМБГМЖОЙЖ
Введение .................................................................................................................... 7 
Дмбгб 1
БОБМЙУЙШЖТЛБа ДЖПНЖУСЙа ОБ РСаНПК
Теоретический курс
1.1. Положение точки на прямой. Основные формулы ........................................  11 
1.2. Преобразование координат .............................................................................  13 
Практикум
1.3. Задачи для самостоятельного решения .........................................................  14 
Дмбгб 2
ПТОПГЬ ГЖЛУПСОПК БМДЖВСЬ Й ЖЖ РСЙНЖОЖОЙЖ Г ДЖПНЖУСЙЙ
Теоретический курс
2.1. Положение точки на плоскости и в пространстве.
       Основные формулы .........................................................................................  16 
2.2. Понятие вектора и его свойства ......................................................................  20 
2.3. Проекция вектора на ось ..................................................................................  30 
2.4. Разложение вектора по ортам осей координат.
       Понятие базиса .................................................................................................  33 
2.5. Модуль вектора и угол между векторами .......................................................  37 
2.6. Скалярное произведение векторов .................................................................  39 
2.7. Векторное произведение двух векторов и его свойства ...............................  44 
2.8. Смешанное произведение трех векторов .......................................................  50 
Практикум
2.9. Векторная алгебра ............................................................................................  54 
2.10. Задачи для самостоятельного решения .......................................................  56 
Дмбгб 3
БОБМЙУЙШЖТЛБа ДЖПНЖУСЙа ОБ РМПТЛПТУЙ
Теоретический курс
3.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом .............................................  63 
3.2. Общее уравнение прямой ................................................................................  65 
Университетская серия
4

Оглавление
3.3. Уравнение прямой относительно отрезков ....................................................  68 
3.4. Каноническое уравнение прямой ....................................................................  69 
3.5. Нормальное уравнение прямой.
       Расстояние от точки до прямой на плоскости ................................................  72 
3.6. Уравнение прямой в полярных координатах ..................................................  74 
Практикум
3.7. Прямая на плоскости ........................................................................................  75 
3.8. Задачи для самостоятельного решения .........................................................  77 
Теоретический курс
3.9. Кривые второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) ..............................  78 
3.10. Исследование уравнения второго порядка ..................................................  92 
3.11. Полярное уравнение кривой второго порядка .............................................  99 
Практикум
3.12. Эллипс, гипербола и парабола ...................................................................  102 
3.13. Задачи для самостоятельного решения .....................................................  108 
Дмбгб 4
БОБМЙУЙШЖТЛБа ДЖПНЖУСЙа Г РСПТУСБОТУГЖ
Теоретический курс
4.1. Плоскость как поверхность первого порядка ...............................................  112 
4.2. Прямая линия в пространстве .......................................................................  129 
4.3. Поверхности второго порядка .......................................................................  140 
Практикум
4.4. Поверхность, плоскость и прямая в пространстве ......................................  150 
4.5. Задачи для самостоятельного решения .......................................................  154 
Дмбгб 5
ПТОПГЬ ЕЙХХЖСЖОЧЙБМЭОПК ДЖПНЖУСЙЙ Й УПРПМПДЙЙ
Теоретический курс
5.1. Основные сведения о плоских, пространственных кривых
       и поверхностях ................................................................................................  158 
Практикум
5.2. Поверхность, плоскость и прямая в пространстве ......................................  187 
5.3. Задачи для самостоятельного решения .......................................................  195 
Университетская серия
5

Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой
Оглавление
Теоретический курс
5.4. Основы общей топологии ..............................................................................  197 
Практикум
5.5. Задачи для самостоятельного решения .......................................................  222 
Дмбгб 6
ЛПОУСПМЭОЬЖ ИБЕБОЙа Й УЖТУЬ ЕМа ЙУПДПГПДП НЖСПРСЙаУЙа
Индивидуальное задание 1 ..................................................................................  225 
Образец выполнения индивидуального задания 1 .............................................  233 
Индивидуальное задание 2 ..................................................................................  243 
Образец выполнения индивидуального задания 2 .............................................  252 
Примеры тестовых заданий ..................................................................................  260 
Мйужсбуфсб ............................................................................................................  267 
Университетская серия
6

ВВЕДЕНИЕ
 
 
 
 
 
 
Геометрия (греч. geometria, от ge – земля и metreo – мерю) — 
раздел математики, изучающий пространственные отношения и 
формы, а также другие отношения и формы, сходные с простран
ственными по своей структуре. Термин геометрия буквально оз
начает «землемерие». Так, древнегреческому ученому Евдему Ро
досскому (IV в. до н. э.) приписывается следующее высказыва
ние: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при изме
рении земли. Это измерение было им необходимо вследствие 
разлития Нила, постоянно смывавшего границы». 
Уже у древних греков геометрия означала математическую 
науку, в то время как для науки об измерении земли был введен 
термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнееги
петских сочинений, геометрия развилась не только из измерений 
земли, но и из измерений объемов и поверхностей при земляных 
и строительных работах и т. п. Первоначальные понятия геомет
рии возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отно
шений тел, кроме взаимного расположения и величины. 
Путем такого же отвлечения появилось понятие геометриче
ского тела. Геометрическое тело есть абстракция, в которой со
храняются лишь форма и размеры в полном отвлечении от всех 
других свойств. При этом геометрия, как свойственно математике 
вообще, совершенно отвлекается от неопределенности и под
вижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые 
ею отношения и формы абсолютно точными и определенными.  
Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверх
ности, линии и точки. Это явно выражено, например, в опреде
лениях, данных Евклидом: «линия есть длина без ширины», «по
верхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка без всякого 
Университетская серия
7

Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой
Введение
протяжения есть абстракция, отражающая возможность неогра
ниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый пре
дел его бесконечного деления. Дальше возникает общее понятие 
о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, 
поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. 
Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, вза
имном расположении и размерах их частей, а также о преобразо
ваниях фигур. 
Принципиальный шаг в геометрии был сделан Б. Риманом 
(лекция 1854 г., опубликована в 1867 г.) — он ясно сформулиро
вал обобщенное понятие пространства как непрерывной сово
купности любых однородных объектов или явлений. Отсюда раз
вилась риманова геометрия, нашедшая важные приложения в 
теории относительности, в механике и в других науках. 
В этот же период зародилась топология как учение о тех свой
ствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения 
их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобра
зованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, 
т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. 
Термин топология впервые ввел немецкий физик, математик 
и астроном И. Б. Листинг (1808–1882) в своей книге «Предвари
тельные исследования по топологии», ставшей первой печатной 
работой нового направления геометрии. Развитие топологии в 
50–60х годах XIX в. было связано с именем Б. Римана (1826–
1886). Уже  в диссертации он изложил основные идеи, которые 
развил позднее. В своих сочинениях ученый заложил основу то
пологии многомерных поверхностей. В трудах А. Пуанкаре 
(1854–1912) топология определилась уже как самостоятельная 
дисциплина со своими общими понятиями, задачами и метода
ми. Благодаря работам Пуанкаре, а также Д. Гильберта (1862–
1943) и других ученых XX в., сыгравших существенную роль в 
развитии топологии и аксиоматики, геометрические методы про
никли во многие области современной математики и естество
знания. 
Университетская серия
8

Введение
В настоящее время предметом геометрии и топологии явля
ются любые формы и отношения, которые в абстрактном плане 
сходны с пространственными. Кроме того, развитие геометрии и 
топологии обусловлено прогрессом компьютерной техники и 
технологий, необходимостью создания средств обработки и пере
дачи информации в различных областях хозяйственной деятель
ности человеческого общества. Отсюда и вытекают основные за
дачи данного учебного пособия. 
Цель учебного пособия – помочь изучающим дисциплину 
«Геометрия и топология» осмыслить математические теории и 
приобрести навыки ее применения для решения различных при
кладных задач в экономике, планировании и управлении произ
водством, в финансовой и коммерческой деятельности. 
Особенностью настоящей книги является ее строгое соответ
ствие программам математической подготовки специалистов ин
женерноэкономических специальностей, специальностей в об
ласти менеджмента, бизнеса, информационных технологий, ста
тистики и юриспруденции. 
Пособие содержит шесть глав. Главы 1–4 посвящены тради
ционному разделу геометрии – аналитической. Глава 5 вводит 
студента в области высшей геометрии – дифференциальную гео
метрию и топологию. Все главы тесно взаимосвязаны, поэтому 
при проработке материалов курса целесообразно начинать изуче
ние с первых глав. 
Последняя шестая глава является, по сути дела, сборником 
задач и упражнений, которые можно использовать в аудитории на 
практических и семинарских занятиях, а также при самостоя
тельной работе студентов (подготовка к лекциям, практикам, вы
полнение индивидуальных, экзаменационных или тестовых зада
ний). Приведены 30 вариантов контрольных индивидуальных за
даний 1 и 2. Индивидуальное задание 1 содержит задачи по ана
литической геометрии на плоскости и в пространстве. Индивиду
альное задание 2 – задачи по дифференциальной геометрии. Ал
горитм выбора варианта остается за преподавателем. Также при
Университетская серия
9

Глава 1. Аналитическая геометрия на прямой
Введение
ведены образцы выполнения контрольных индивидуальных работ 
1 и 2. В конце главы 6 расположены примеры тестовых заданий, 
которые используются во время комплексных экзаменационных 
мероприятий академии. 
 
Университетская серия
10