Преобразования сигналов в нелинейных радиотехнических цепях

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.Н. ЯКОВЛЕВ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

В НЕЛИНЕЙНЫХ

РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Утверждено 

Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 621.372(075.8)

Я 474

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. С.П. Новицкий

д-р техн. наук, проф. В.П. Разинкин

Яковлев А.Н.

Я 474
Преобразования сигналов в нелинейных радиотехнических 

цепях : учеб. пособие / А.Н. Яковлев. – Новосибирск : Изд-во 
НГТУ, 2010. – 190 с.

ISBN 978-5-7782-1374-6

Учебное пособие содержит изложение вопросов преобразования 

сигналов в нелинейных радиотехнических цепях. Эти вопросы составляют часть курса «Радиотехнические цепи и сигналы».

Для студентов радиотехнических специальностей факультета ра
диотехники и электроники и других факультетов, где теория радиотехнических цепей и сигналов изучается как важнейшая составная часть
соответствующих курсов.

УДК 621.372(075.8)

ISBN 978-5-7782-1374-6
© Яковлев А.Н., 2010
© Новосибирский государственный

технический университет, 2010

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АГ 
– автогенератор

АИМ 
– амплитудно-импульсная моду
ляция

АК 
– автоколебания

АМ  
– амплитудная модуляция

АМн 
– амплитудная манипуляция

АМК 
– амплитудно-модулированное  

колебание

АМС 
– амплитудно-модулированный 

сигнал

АПС 
– аналоговый перемножитель 

сигналов

АРУ 
– автоматическая регулировка  

усиления

АЧХ 
– амплитудно-частотная характе
ристика

АЦП 
– аналого-цифровой преобразо
ватель

БМ  
– балансная модуляция

ВАРУ – временная автоматическая ре
гулировка усиления

ВАХ 
– вольт-амперная характеристика

ВИМ 
– временная импульсная модуля
ция

ВЦ  
– входная цепь

ВЧ  
– высокая частота

Г    
– генератор

ГВЧ 
– генератор высокой частоты

ДБВ 
– две боковые полосы

ДИМ 
– импульсная модуляция по дли
тельности

ИГ  
– импульсный генератор

ИКМ 
– импульсно-кодовая модуляция

ИМ  
– импульсная модуляция

КАМ 
– квадратурная амплитудная 

модуляция

КПД 
– коэффициент полезного дейст
вия

КЧХ 
– комплексная частотная харак
теристика

ЛЦ  
– линейная цепь

ЛП  
– линейный преобразователь

ЛЭ  
– линейный элемент

М   
– модуляция, модулятор

НЦ  
– нелинейная цепь

НП  
– нелинейный преобразователь

НЭ
– нелинейный элемент

ОБМ 
– одна боковая полоса

ОМ  
– однополосная модуляция

ОПФ 
– операторная передаточная 

функция

ОС  
– обратная связь

ОСП 
– отношение сигнал/помеха

ОСШ 
– отношение сигнал/шум

ОУ   
– операционный усилитель

ПМ  
– полярная модуляция

ПЦ   
– параметрическая цепь

ПЧ   
– преобразователь частоты

ПФ 
– передаточная функция

ПЭ  
– параметрический элемент

РТ   
– рабочая точка

РТЦиС – радиотехнические цепи и сиг
налы

СВЧ 
– сверхвысокие частоты

СП   
– случайный процесс

СПМ 
– спектральная плотность мощ
ности

ССП 
– стационарный случайный про
цесс

УВЧ 
– усилитель высокой частоты

УКВ 
– ультракороткие волны

УНЧ 
– усилитель низкой частоты

УПЧ 
– усилитель промежуточной час
тоты

Ф    
– фильтр

ФВ  
– фазовращатель

ФВЧ 
– фильтр верхних частот

ФИ 
– формирователь импульсов

ФМ 
– фазовая модуляция

ФМн 
– фазовая манипуляция

ФМК 
– фазово-модулированное коле
бание

ФНЧ 
– фильтр нижних частот

ФП   
– функциональный преобразова
тель

ФЧХ 
– фазочастотная характеристика

ЦАП 
– цифро-аналоговый преобразо
ватель

ЧМ  
– частотная модуляция

ЧМн 
– частотная манипуляция

ЧМК 
– частотно-модулированное ко
лебание

ЧИМ 
– частотно-импульсная модуляция

ШИМ – широтно-импульсная модуляция

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано как конспект лекций по 

большому разделу курса «Радиотехнические цепи и сигналы», в соответствии с программой курса и с учетом многолетнего опыта его преподавания в НГТУ.

В нем рассмотрены принципиальные вопросы преобразования сиг
налов в нелинейных цепях, такие как воздействие гармонических, полигармонических сигналов и случайных процессов на нелинейный 
элемент, нелинейное резонансное усиление, умножение и преобразование частоты, модуляция и детектирование сигналов, генерирование 
гармонических колебаний и др.

По сравнению с известными учебниками [1–5] в пособии рассмот
рение изучаемых вопросов дано в сжатой, но теоретически строгой 
форме, поскольку технические подробности будут изучаться в последующих дисциплинах. Для преобразования сигналов кроме традиционных нелинейных элементов используются функциональные преобразователи и, в частности, аналоговые перемножители сигналов.

Пособие служит основой для подготовки к практическим и лабора
торным работам (по нелинейной радиотехнике) с учетом того, что поставлены новые работы на базе лабораторной станции «NI ELVIS» и 
программных сред «Multisim-10» и «LabVIEW» [6].

Автор благодарит докторов техн. наук, профессоров С.П. Новицко
го, В.П. Разинкина и В.Н. Васюкова за много полезных замечаний 
и рекомендаций, которые способствовали улучшению учебного пособия.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 

О НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

И МЕТОДАХ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦЕПЯХ

Простейшие радиотехнические цепи составляются из трех элемен
тов: резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Каждый из 
элементов характеризуется своим параметром: резисторы – сопротивлением R (или проводимостью G ), конденсаторы – емкостью 
,
C
ка
тушки – индуктивностью L . Сложные цепи включают в свой состав 
полупроводниковые приборы и интегральные схемы, образуя функциональные узлы, в которых происходят преобразования сигналов. 
Многие из этих преобразований (фильтрация, усиление, модуляция, 
детектирование и др.) являются типовыми для большинства радиотехнических систем передачи информации 
независимо от их назначения.

На рис. 1.1 представлена некото
рая цепь в виде функционального узла 
(преобразователя). На ее входе действует сигнал 
( )
x t , называемый входным воздействием или входным 

сигналом. На выходе цепи появляется отклик ( )
y t . Отклик зависит как 

от вида входного воздействия, так и от свойств цепи:

( )
y t = [ ( ); , , ,...]
f x t
a b c
,      
(1.1)

где 
( )
f
– функция, устанавливающая причинно-следственную связь 

между 
( )
y t
и ( )
x t ; , , ,...
a b c
– коэффициенты, определяемые парамет
рами элементов цепи (
, ,
R L C и др.).

Рис. 1.1

В общем случае отклик 
( )
y t
можно найти из решения дифферен
циального уравнения

1
1

0
1
0
1
1
1
...
...

n
n
m
m

n
m
n
n
m
m

d y
d
y
d x
d
x
a
a
a y
b
b
b x

dt
dt
dt
dt

,
(1.2)

которое описывает процессы в цепи. Здесь коэффициенты 
ia и 
jb
для 

конкретной схемы выражаются через параметры ее элементов 
, ,
R L C

и др.

Радиотехническая цепь, таким образом, является некоторым опера
тором, который преобразует сигнал одного вида в другой. 

При подаче на вход цепи суммы сигналов разные цепи могу реаги
ровать различно в зависимости от того, применим к ним или нет принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции можно сформулировать так: 
реакция цепи на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое 
воздействие в отдельности. Он описывается равенствами:

1
2
1
2
(
)
( )
(
)
f x
x
f x
f x
;  
(
)
( )
f ax
af x ,    
(1.3)    

где a – постоянное число. Первое равенство выражает свойство аддитивности, второе – однородности. 

Если к цепям применим принцип суперпозиции, то такие цепи назы
ваются линейными, в противном случае – нелинейными.

Существенным свойством цепей, по которому их можно классифи
цировать, является стационарность. Поэтому цепи подразделяются на 
стационарные и нестационарные. Цепь является стационарной, если 
ее реакция инвариантна к временному сдвигу
0t
входного сигнала, т.е. 

не зависит от момента времени поступления входного сигнала:

0
0
(
)
[ (
); , , ,...]
y t
t
f x t
t
a b c
.   
(1.4)

Стационарные цепи называют также цепями с постоянными пара
метрами, а нестационарные цепи – цепями с переменными параметрами (параметрическими цепями).

В соответствии со сказанным в учебной литературе по радиотехни
ческим цепям и сигналам [1–3], а также по теории нелинейных электрических цепей [4–5] цепи принято классифицировать:

– на линейные с постоянными параметрами;
– линейные с переменными параметрами (параметрические);

– нелинейные;
– нелинейные с переменными параметрами (нелинейно-параметри
ческие).

Для каждого из элементов цепи характерна своя связь между при
чиной и следствием: для резистора – между напряжением u и током i ; 
для конденсатора – между зарядом q и током i ; для катушки индуктивности – между потоком 
и напряжением u (таблица).

Таблица

Рассмотрим основные свойства перечисленных радиотехнических 

цепей.

Линейные цепи с постоянными параметрами. Для краткости их 

называют просто линейными цепями (ЛЦ). 

1. Они подчиняются принципу суперпозиции (наложения).
2. Коэффициенты , , ,...
a b c
в формуле (1.1) и коэффициенты 
ia и 

jb
в выражении (1.2) – величины постоянные, не зависящие ни от 

электрического режима, ни от времени. Таким образом, линейная цепь 
описывается линейным дифференциальным уравнением.

3. В ЛЦ не возникают колебания новых частот при любом слож
ном воздействии. Продемонстрируем это на примере бигармонического входного сигнала

1
2
1
1
2
2
( )
( )
( )
cos
cos
x t
x t
x t
X
t
X
t ,

действующего на линейную цепь, описываемую линейным алгебраическим уравнением y
ax , где a – константа. В отклике 

1
2
1
1
2
2
( )
( )
( )
cos
cos
y t
y t
y t
aX
t
aX
t

содержатся те же частотные составляющие, что и в спектре входного 
сигнала.

Рассмотренные цепи также называют линейные инвариантные к 

сдвигу цепи (ЛИС-цепи) [8].

Линейные цепи с переменными параметрами (параметриче
ские).

1. Эти цепи также подчиняются принципу суперпозиции.
2. Параметры элементов цепи (
, ,
R L C и др.) не зависят от электри
ческого режима, но зависят (все или один) от текущего времени t . 
Следовательно, хотя бы один из коэффициентов в выражениях (1.1) и 
(1.2) зависит от времени, например: ( )
( ) ( )
y t
a t x t .

Параметрическую цепь (ПЦ) в отличие от линейной (и нелиней
ной) следует изображать в виде цепи, находящейся под двумя воздействиями (рис. 1.2): входного сигнала 
( )
x t
и управляющего сигнала 

( )
z t . 

3. Связь между ( )
x t
и 
( )
y t
– линейная, но, так как она выражается 

через параметры, зависящие от ( )
z t , спектр сигнала на выходе обога
щается по сравнению со спектром входного сигнала. 

Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4

Пусть простейшая параметрическая цепь представляет собой ак
тивное сопротивление, изменяющееся во времени по периодическому 
закону. Рассматривая для удобства в качестве изменяемого параметра 

проводимость (крутизну) 
( )
s t
(рис. 1.4), можно записать для тока 

дующее выражение: 

( )
( ) ( )
i t
s t u t ,     
(1.5)

где ( )
s t – переменная крутизна линейной ВАХ (рис. 1.3, где y
i , а 

x
u ). У линейной цепи угол наклона прямой 
является постоян
ным, а у параметрической цепи – функцией времени.

Пусть напряжения и крутизна изменяются в простейшем случае по 

гармоническому закону:

0
0
( )
cos(
)
m
u t
U
t
,  
0
1
1
1
( )
cos(
)
s t
S
S
t
.   
(1.6)

Подставляя (1.6) в (1.5) , после элементарных преобразований получим

0
0
0
1
0
1
0
1
( )
cos(
)
0.5
cos[(
)
]
m
m
i t
U S
t
U S
t
+

1
0
1
0
1
0.5
cos[(
)
]
m
U S
t
.

Очевидно, что в спектре тока присутствует не только составляю
щая с частотой входного сигнала 
0 , но составляющие с суммарной 

0
1 и разностной 
0
1 частотами. Это позволяет использовать 

параметрические цепи для переноса спектра частоты 
0 на величину 

1 вправо и влево по оси частот (преобразование частоты, амплитуд
ная модуляция, синхронное детектирование амплитудно-модулированных сигналов).

Нелинейные цепи (НЦ). 
1. Цепь является нелинейной, если она содержит один или не
сколько нелинейных элементов (НЭ), параметры (
, ,
R L C и др.) кото
рых зависят от электрического режима цепи, т. е. от мгновенного значения тока или напряжения. Следствием этого является нелинейность 
функциональной зависимости (1.1), которая в частных случаях может 
иметь, например, вид 
( )
[ ( ); ( )]
y t
f x t
a x , или 
( )
[ ( ); ( )]
y t
f x t
a y
. НЦ 

описывается нелинейным дифференциальным уравнением вида (1.2). В 
нем хотя бы один из коэффициентов 
ia является функцией y или ее 

производных, или один из коэффициентов 
ib
является функцией x

или ее производных: 
( ,
/
,...),
i
i
a
a y dy dt
( ,
/
,...)
i
j
b
a
x
dx dt
.

Полное представление о нелинейном 

элементе составляется на основе характеристики, показывающей зависимость между электрическими величинами. 

Для нелинейного резистора (элек
тронного прибора) такой характеристикой 
является зависимость между током i и 
напряжением u – вольт-амперная характеристика (ВАХ); для нелинейного конденсатора – зависимость заряда q от напряжения u – вольт-кулонная характеристика; для катушек индуктивности – зави
симость магнитного потока 
от протекающего через катушку тока 

i – ампер-веберная характеристика. Иногда требуется семейство характеристик.

2. К НЦ не применим принцип суперпозиции. Поясним на примере 

диода (рис. 1.5). Предположим, что ВАХ диода описывается параболой: 

2, при
0,
( )

0, при
0.

au
u
i u

u

(1.7)

При подаче на диод напряжений 1u и 
2
u в отдельности через него про
текают соответственно токи 
2

1
1
i
au
и 
2

2
2
i
au . Если же приложить к 

диоду сумму напряжений 1
2
3
u
u
u , то результирующий ток не будет 

равен сумме токов 1i и 2i :

2
2
2

3
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
(
)
2
2
i
a u
u
au
au
au u
i
i
au u
i
i .  

3. В НЦ и НЭ происходит преобразование (транспозиция, или 

трансформация) спектра входного сигнала – на выходе цепи появляются новые составляющие, которых не было на входе цепи. 

Пусть ВАХ диода (рис. 1.6, б) описывается выражением (1.5). К 

нему приложено напряжение (рис. 1.6, а):

0
0
( )
cos
m
u t
U
U
t (
0
m
U
U ).

Рис. 1.5