Линейная функция

Московский Государственный Технический университет 

им. Н. Э. Баумана

И. Е.Денежкина

Линейная функция

(задачи повышенной сложности)

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана

в качестве учебного пособия

Москва
2 0 0 0

УДК 513.6 (075.8)
ББК 22.147
Д18

Рецензенты: Г.И. Бобрик, Ю.В. Тюменцев

Денежкина И.Е. Линейная функция: Учебное пособие.− М.: Из-во МГТУ 

им. Н.Э. Баумана, 2000,    стр., ил.

Учебное пособие представляет собой сборник задач, основанных на 

свойствах линейной функции, повышенной сложности ( в том числе задачи с 
параметром и/или модулем), содержащий все необходимые для их решения теоретические сведения. 

Работа состоит из двух частей. В первой части приводятся необходимые 

теоретические сведения и рассматриваются решения наиболее важных или наиболее сложных задач, содержащих линейную функцию. Вторая часть одержит 
набор задач, сложность которых постепенно нарастает.  Задачи снабжены ответами.

Для преподавателей математики и учащихся физико-математических и 

профильных школ при технических университетах, преподавателей и слушателей подготовительных курсов, абитуриентов. 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана 2000

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Основные методы решения задач,...............................................................4

связанных с исследованием линейных ......................................................................4

и кусочно-линейных функций....................................................................................4

§1. Линейная функция. Основные понятия............................................................4

1.1. Определение и график линейной функции..................................................4

1.2. Уравнения прямой на плоскости ..................................................................6

1.3. Взаимное расположение прямых на плоскости ..........................................7

2. Линейные уравнения и неравенства ...................................................................9

2.1. Решение линейных уравнений и неравенств...............................................9

2.2. Линейные уравнения и неравенства с коэффициентами, зависящими от 

параметра .............................................................................................................11

§ 3. Уравнения и неравенства, содержащие модуль ...........................................13

3.1. Модуль числа. Простейшие свойства модуля...........................................13

§ 4.  Кусочно-линейные функции и их графики..................................................14

4.1. Кусочно-линейная функция ........................................................................14

4.2. Графический метод исследования уравнений f(x) = a..............................16

4.3. Графический метод решения уравнений f(x) = a(x-x0) + y0 .....................18

Глава 2. Задачи...........................................................................................................20

§ 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................20

§ 2. Графики линейных функций и их взаимное расположение........................21

§ 3. Системы и совокупности линейных уравнений и неравенств ....................24

§4. Модуль. Кусочно-линейная функция .............................................................25

§ 5. Линейная функция  в различных задачах......................................................29

ОТВЕТЫ .....................................................................................................................30

§ 1. Линейные уравнения и неравенства. .............................................................30

§ 2. Графики линейной функции и их взаимное расположение. .......................31

§ 3. Системы и совокупности уравнений и неравенств. .....................................32

§ 5. Линейная функция  в различных задачах......................................................33

Глава 1. Основные методы решения задач,

связанных с исследованием линейных 

и кусочно-линейных функций.

§1. Линейная функция. Основные понятия.

1.1. Определение и график линейной функции.

Линейной функцией называется функция вида 

y = f(x) = kx + b

здесь k и b – фиксированные действительные числа (константы), а x - перемен
ная. Областью определения Df линейной функции является множество действи
тельных чисел R, или вся числовая прямая. При k  0 областью значений Ef ли
нейной функции также является R. При k = 0 линейная функция принимает вид  

f(x) = b и областью ее значений является множество {b}, состоящее из единст
венной точки b. Число k называется угловым коэффициентом линейной функ
ции, а число b – ее свободным членом.

Графиком линейной функции является прямая. При k=0 эта прямая y = b

параллельна оси абсцисс. Если b  0, то график линейной функции не имеет 

общих точек с осью OX ( рис.1а). Если b = 0, то график совпадает с осью абс
цисс ( рис. 1б). Если k  0 то график линейной функции составляет с положи
тельным направлением оси абсцисс угол  (  0), тангенс которого равен угло
вому коэффициенту k:  tg  = k (рис. 1 в,г).

При этом углом между прямой, не параллельной оси OX, и  положитель
ным направлением оси OX называется наименьший угол, на который нужно по
вернуть ось OX против часовой стрелки до совмещения с этой прямой. Заметим,