Математические методы в гидрогеологии

министерство образования и науки 
российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖнЫй ФедераЛЬнЫй университет» 
Геолого-географический факультет

В. С. НазареНко, о. В. НазареНко

МатеМатичеСкие Методы  
В гидрогеологии

Учебное пособие

ростов-на-дону
издательство Южного федерального университета
2010

удк 554.44
ббк  26.3 
н 19

Печатается по решению редакционно-издательского совета 
Южного федерального университета

рецензенты:

директор Гу «ГХи», член-корр. ран, д-р геол.-минерал. наук,  
профессор А. М. Никаноров;

ведущий научный сотрудник Гу «ГХи», канд. геол.-минерал. наук О. Б. Барцев;

заведующий кафедрой геологии нефти и газа, д-р геол.-минерал. наук, 
профессор Э. С. Сианисян;

профессор, канд. геол.-минерал. наук Ю. И. Холодков

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта  
«Образование» по «Программе развития федерального государственного  
образовательного учреждения высшего профессионального образования  
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Назаренко В. С., Назаренко о. В.

н 19 
 
математические методы в гидрогеологии: учебное пособие для вузов. – рос- 
тов н/д: изд-во ЮФу, 2010. – 126 с.
 
ISBN 978-5-9275-0757-3
в учебном пособии изложены вопросы математических методов обработки гидрогеологических данных. Представлены типичные задачи и их решения. 
для студентов высших учебных заведений, изучающих курсы по гидрогеологии, 
геоэкологии, экологии и рациональному природопользованию.
 
Удк 554.44
ISBN 978-5-9275-0757-3 
ББк 26.3 

© назаренко в. с., назаренко о. в., 2010
©  оформление. макет. издательство  
Южного федерального университета, 2010

ВВедеНие

современный специалист-гидрогеолог для успешной работы по избранной специальности наряду с глубокими теоретическими знаниями должен 
обладать необходимыми умениями и навыками, чтобы эффективно применять свои знания на практике,  выполнять характерные производственные 
операции и использовать современные методики в научно-исследовательской 
работе.
в настоящее время наблюдается интенсивное внедрение новых информационных методов в науки о земле. как правило, это связано с использованием геоинформационных технологий, которые обладают большими возможностями отражения, анализа и моделирования географических объектов и 
явлений по сравнению с традиционными способами.
создание картографических и тематических баз данных, разработка и 
внедрение геоинформационных технологий различного иерархического 
уровня и территориального охвата невозможно без использования современных информационных технологий. их применение позволило вывести решение географических задач на качественно иной уровень.
Применение статистического анализа в любой конкретной прикладной 
области обладает специфическими особенностями как в выборе методов исследования, так и в оценках и интерпретации результатов. вышесказанное в 
полной мере относится к гидрогеологии. Поэтому даже при наличии большого выбора литературы по статистическим методам общего плана остается необходимость в учебниках, узкопрофильных методических пособиях и 
указаниях.
цель данного учебного пособия состоит в том, чтобы помочь студентам и 
аспирантам, специализирующимся по направлению гидрогеология, овладеть 
практическими навыками. 
теоретической основой для выполнения работ является лекционный материал всех прослушанных курсов по гидрогеологии, а также специальная 
литература. 

Модуль 1. раСчет оСНоВНыХ 
ХарактериСтик ПоВерХНоСтНого  
и ПодзеМНого СтокоВ

Бассейном реки (или речной системы) называется часть зем ной поверхности, включая толщу почвогрунтов, с которой дан ная река (или речная система) получает водное питание.
бассейн реки включает в себя поверхностный и подземный водосборы. 
Поверхностным водосбором называется участок земной поверхности, с которого поступает вода в данную реч ную систему. Подземный водосбор образует толщи почвогрун тов, из которых вода поступает в речную сеть.
Поверхностный и подземный водосборы в общем случае не совпадают. 
Границы подземного водосбора выделяются по карте гидроизогипс с учетом 
гидрогеологических условий.
для равнинных рек в зонах активного водообмена площади водосборов 
поверхностных и подземных вод с некоторым допу щением принимаются 
равными.
При определении взаимодействия поверхностных и подзем ных вод необходимо рассчитывать основные характеристики стока, отнесенные к выделенным водосборам, причем эти рас четы различны при наличии наблюдений и отсутствии их. ниже рассмотрим методику и примеры расчета.

1.1. оценка поверхностного стока при наличии данных 
наблюдений

1. расход воды Q – это количество воды, протекающее через поперечное 
сечение потока ω в единицу времени при средней скорости υср:

 
Q = υср· ω. 
(1.1)

2. средний годовой расход по данным гидрометрических наблюдений 
вычисляется по формуле:

 
Qср =  
 , 
(1.2)

где Qi – среднесуточный расход; n – число суток в году.
если рассчитывается средний многолетний расход Qo, то в формуле (1.2) 
Qi – средний годовой расход, n – число лет гидрометрических наблюдений.

Σ Qi
i = 1

n

n

для оценки точности Qo вычисляется средняя квадратическая погрешность

 
εQo = ±  
 , 
(1.3)

где Cυ – коэффициент вариации (изменчивости) годового стока, n – число лет 
наблюдений.
коэффициент вариации годового стока Сv следует определять по формуле 

 
Cv=a/ q 0,4(A + 1000) 0,1, 
(1.4)

где a – параметр, определяемый по данным рек-аналогов, л/с; q  – средний 
многолетний годовой модуль стока, л/(с·км2); А – площадь водосбора реки до 
расчетного створа, км2.
длина ряда считается достаточной для опре деления Qo, если εQo ≤ 5 – 10 %. 
величина среднего многолетнего расхода при этом условии считается 
нормой. для гидрологических характеристик нормой считается среднее 
арифметиче ское их значение за многолетний период такой продолжительности, при увеличении которой полученное среднее значение су щественно 
не меняется. для получения более надежного значе ния средней многолетней 
величины стока следует в расчетный ряд включить многоводные и мало- 
водные ряды.
3. модуль стока М0 – количество воды в литрах или куби ческих метрах q0, 
стекающее с 1 км2 площади водосбора F в 1 с:

 
W0 =  
 ; q =  
 . 
(1.5)

4. средний многолетний объем стока W0 – количество воды (в кубических метрах), стекающее с водосбора за год (сутки, декаду, месяц): W0 =Q0 T, 
где T – число секунд в году, равное 86400 · 365 = 31,54·106. (86400 – число 
секунд в одних сутках). объем стока можно выразить через модуль стока 
W0 =M0 F 31,54 ·103.
5. средний многолетний слой стока Y0 получают при равно мерном распределении всего объема стока за год по площади водосбора. в гидрологических и гидрогеологических расчетах рассматривается уравнение водного 
баланса для какого-либо бассейна, в которое входит значение стока, выраженное в мил лиметрах слоя, как стекшее количество воды для данной площади водосбора.
средний многолетний слой стока вычисляется по формуле 

Cυ

√n

Qo103

F

Qo

F

Y0 =  
 =  
 . 
(1.6)

между слоем, модулем и объемом стока за год существует следующая 
зависимость Y0 = 31,54 M0 мм/год.
из этой формулы можно получить соотношение, которое ис пользуется при 
пересчетах модуля стока через величину слоя: M0 = 0,0317 Y0 л/(с·км2). (1.7)
объем стока, выраженный через слой стока, равен

 
W0 = M0 F 31,54 · 103 = Y0  F 103. 
(1.8)

6. средний многолетний коэффициент стока K0 определяется как отношение высоты слоя Y0 за какой-либо период (год, весну, зиму, лето) к количеству 
осадков Х0 за тот же период 

 
K = Y0 / X0 . 
(1.9)

коэффициент стока колеблется от 0 до 1, причем на его зна чение большое влияние оказывают величина испарения, харак тер водопроницаемости 
поверхности водосбора, почвенный пок ров и геоморфологические факторы.
7. модульный коэффициент Ki получают из соотношений

 
Ki =  
 ; Ki =  
 ; Ki =  
 ; Ki =  
 , 
(1.10)

где Qi, Mi, Wi, Yi – сток за какой-либо определенный период; Q0, M0, W0, Y0 – то 
же, за многолетний период.
значение Ki в многоводный год больше единицы, в маловод ный год – 
меньше единицы. среднее значение модульного коэф фициента за ряд лет 
равно единице.

1.2. оценка поверхностного стока при отсутствии данных 
наблюдений

1. При отсутствии ряда гидрометеорологических наблюдений для расчета среднемноголетних характеристик поверхностного стока используются 
карты годового стока (рис. 1, 2) и карта коэффициента изменчивости (вариации) годового стока Cv рек (рис. 3). 
По картам можно определить сток для рек с площадью бассейна до 
50 000 км2, а при отсутствии резких из менений рельефа и климатических 
условий – для больших пло щадей.

Wo·103

F·106

Wo

F·103

Qi

Qo

Mi

Mo

Wi

Wo

Yi

Yo

рис. 1. средний годовой сток рек, в л/(с·км2)

рис. 2. средний годовой сток рек, мм

рис. 3. коэффициент вариации изменчивости годового стока рек

При определении какого-либо элемента по картам изолиний применяются приближенный и точный способы. так, например, на рисунке 4 приведена 
схема бассейна реки с замыкающим ство ром а, который пересекает ряд изолиний модулей стока. 

рис. 4. схема бассейна реки с изолиниями модуля стока

для приближенного определения среднего значения модуля отмечают 
центр бассейна (точка б). если точку б пересекает изо линия стока, то значение этой изолинии и следует принять за среднее многолетнее для всего бассейна. если точка б нахо дится между изолиниями, то модуль стока 
определяют интерпо ляцией. интерполяция – это отыскание промежуточных 
значений величины по некоторым известным её значениям. многим из тех, 
кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём 
или методом случайной выборки. как правило, на основании этих наборов 
требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью 
попадать другие получаемые значения. такая задача называется аппроксимацией кривой. интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Простейшим способом интерполяции функции f по таблице является ступенчатая интерполяция. один из ее вариантов формулируется так: 
f ̃(x) = f (xi), i : ∀ j ≠ i, |x – xj| > |x – xi|. то есть за значение функции f ̃(x) берется 
значение функции f (x) в точке, ближайшей к рассматриваемой.
более точным способом интерполяции является кусочно-линейная интерполяция. При таком подходе значение f (x) интерполируется по двум соседним с точкой x точкам:

 
f ̃(x) = 
 , i : xi < x < xi+1 .

При точном определении модуля стока, когда несколько изо линий пересекают бассейн (см. рис. 4), средний модуль стока определяется как средневзвешенное значение

 
Mср = 
 , 
(1.11)

где M1, M2, … Mn – средние значения стока между соседними изолиниями, 
пересекающими водосбор;  f1, f2 … fn – площади водосбора между изолиниями и водоразделом (площади могут быть выражены в квадратных километрах или в делениях пла ниметра).
При определении значений осадков и испарения по картам изолиний 
следует применять приближенный или точный способ в зависимости от 
заданной точности. При точном определении следует пользоваться формулой (1.11), заменив значения M1, M2, … Mn значением соответствующего элемента.

f (xi) (xi+1 – x) + f (xi+1) (x – xi)

xi+1 – xi

M1 f 1 + M2 f 2+ … + M2 f 2
f 1 + f 2+ … + f 2

2. Получив по карте изолиний значения среднего многолет него модуля 
стока и зная площадь водосбора, следует опреде лить основные характеристики стока по приведенным выше фор мулам.
3. точность расчета среднего годового стока оценивается по таблице 1 в 
зависимости от коэффициента изменчивости годового стока Cv, который при 
отсутствии данных наблюдений опреде ляется по карте (см. рис. 3).

Таблица 1
оценка точности определения среднего многолетнего стока

коэффициент изменчивости Сv
средняя погрешность, %
0,15 – 0,20
8

0,4 – 0,5
10

0,6 – 0,7
15

1,0 – 1,5
25

При отсутствии данных гидрометрических наблюдений годо вой сток 
можно рассчитать по данным наблюдений на метеоро логических станциях, по эмпирическим формулам м. а. великанова, д. Л. соколовского,  
П. с. кузина, с. н. крицкого, м. Ф. менкеля и др., а также по уравнению 
водного баланса (см. ниже).

1.3. оценка подземного стока при наличии данных наблюдений

1. Подземное питание на 1 км протяженности реки вычисля ется по формуле, которую можно применять при условии отсутствия осадков в летнюю 
межень или в зимний период:

 
P = ML =  
 . 

если расстояние между створами значительно, то время измерения расходов сдвигается на величину времени добегания, равного  

 
t = L / υ, 
(1.12)

где v – средняя скорость течения реки; L – расстояние между створами.
2. модуль подземного стока Мподз вычисляется по формуле (1.16). зная 
модуль подземного стока, можно определить рас ход подземного потока

 
Qn = 0,001 · Mподз · F. 
(1.13)

3. объем подземного стока Wподз , т. е. общий подземный сток в регионе 
бассейна, вычисляется по формулам:

QH – QB

L