Диофантовы приближения и трансцендентные числа

Шидловский А.Б.

Диофантовы

приближения и

трансцендентные

числа

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 511.8
ББК 22.132
Ш 56

Ш и д л о в с к и й А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 272 с. —
ISBN 978-5-9221-0720-4.

Книга посвящена изложению методов и основных результатов теории трансцендентных чисел.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов и педагогических вузов, а также широкого круга математиков, интересующихся проблемами теории чисел.
Рекомендовано учебно-методическим Советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «010101 Математика»
Табл. 2. Ил. 1. Библиогр. 165 назв.

ISBN 978-5-9221-0720-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ А. Б. Шидловский, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
6
Обозначения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8

Г л а в а 1. Алгебраические числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
§ 1. Числовое поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
§ 2. Некоторые свойства многочленов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12
§ 3. Алгебраические числа над числовым полем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
§ 4. Целые алгебраические числа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 5. Алгебраическое поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
26
§ 6. Линейная независимость чисел алгебраического поля . .. .. .. .. .. .. .. .
33
§ 7. Алгебраическое поле над алгебраическим полем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
37
§ 8. Подполя алгебраического поля. Нормальное поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
40
§ 9. Норма и след алгебраического числа. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
42
§ 10. Базис и дискриминант алгебраического поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
44
§ 11. Разложение целых чисел алгебраического поля на множители. .. .. .
47
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
50

Г л а в а 2. Приближение
действительных
чисел
рациональными
числами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
51
§ 1. Постановка задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
51
§ 2. Принцип Дирихле. Теорема Дирихле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
53
§ 3. Ряды Фарея . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
57
§ 4. Конечные цепные дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
§ 5. Подходящие дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
63
§ 6. Бесконечные цепные дроби . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
68
§ 7. Приближение действительных чисел подходящими дробями их цепных дробей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74
§ 8. Совместные приближения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
80
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
84
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
85

Оглавление

Г л а в а 3. Приближение
алгебраических
чисел
рациональными
числами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
87
§ 1. Теорема Лагранжа о квадратичных иррациональностях . .. .. .. .. .. .. .
87
§ 2. Теорема Лиувилля. Существование трансцендентных чисел . .. .. .. .
90
§ 3. Приближение алгебраических чисел алгебраическими числами . .. .
94
§ 4. Теоремы Туэ и Туэ–Зигеля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
97
§ 5. Многочлен Туэ . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
100
§ 6. Вронскиан . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
107
§ 7. Основное неравенство. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
110
§ 8. Доказательства теорем . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
112
§ 9. Теорема Туэ о диофантовом уравнении . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
117
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
118
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120

Г л а в а 4. Трансцендентность чисел e и π. Теорема Линдемана–
Вейерштрасса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 1. Иррациональность числа e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
122
§ 2. Иррациональность числа π . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124
§ 3. Трансцендентность числа e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
126
§ 4. Трансцендентность числа π . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 5. Теорема Линдемана–Вейерштрасса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
137
§ 6. Дальнейшее развитие методов доказательства трансцендентности
чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
145
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
149

Г л а в а 5. Общие теоремы о трансцендентности и алгебраической
независимости значений E-функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150
§ 1. E-функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
150
§ 2. Первая основная теорема . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
152
§ 3. Вспомогательные предложения о решениях систем линейных однородных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
154
§ 4. Линейная приближающая форма . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
157
§ 5. Максимальный порядок нуля линейной формы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
160
§ 6. Одно свойство дробно-линейных форм от заданной совокупности
функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
162
§ 7. Система линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
164
§ 8. Свойство линейных форм от совокупности функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
166
§ 9. Определитель системы линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .
168

Оглавление
5

§ 10. Система числовых линейных приближающих форм . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
175

§ 11. Оценки величин |Rk(ξ)| и Pk,i(ξ) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
177
§ 12. Ранг совокупности чисел f1(ξ), ..., fm(ξ) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
180
§ 13. Совокупность произведений степеней рассматриваемых функций . .
182
§ 14. Доказательство первой основной теоремы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
183
§ 15. Следствия из первой основной теоремы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
185
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
190
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
190

Г л а в а 6. Трансцендентность и алгебраическая независимость значений некоторых гипергеометрических E-функций . .. .. .. .. .. .. .. .
192
§ 1. Гипергеометрические E-функции . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
192
§ 2. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
197
§ 3. Решения некоторых линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
§ 4. Решения более общих линейных дифференциальных уравнений
произвольного порядка . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
211
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
216
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
217

Г л а в а 7. Мера трансцендентности значений E-функций. .. .. .. .. .. .. .
218
§ 1. Мера трансцендентности чисел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
218
§ 2. Мера трансцендентности значений IE-функций . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
223
§ 3. Мера трансцендентности значений KE-функций. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
231
§ 4. Дальнейшее развитие метода . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
238
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
242
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
244

Г л а в а 8. Проблема Эйлера–Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
245
§ 1. Седьмая проблема Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
245
§ 2. Теорема Гельфонда–Шнейдера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
249
§ 3. Дальнейшее развитие методов, связанных с проблемой Эйлера–
Гильберта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
252
Замечания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
254
Задачи . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
255

Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
256

Предисловие

Содержание книги составляет несколько расширенный материал
специального курса, читавшегося автором в течение ряда лет на
механико-математическом факультете Московского университета студентам и аспирантам. Основная ее цель — ознакомить читателя с проблемами и методами теории трансцендентных чисел.
Первая глава является вспомогательной. В нее включены простейшие свойства алгебраических чисел и алгебраических полей, необходимые для понимания дальнейших глав книги. Она также может
оказаться полезной читателю, желающему ознакомиться только с начальными понятиями теории алгебраических чисел. В данной главе
(как, впрочем, и в следующей) автор не претендует на оригинальность
изложения.
Вторая глава посвящена простейшим вопросам, связанным с приближением действительных чисел рациональными числами. В ней рассказывается об основных аппаратах этого раздела теории диофантовых приближений: принципе Дирихле, рядах Фарея и цепных дробях.
С помощью этих аппаратов доказываются теоремы о приближении
действительных чисел, совместных приближениях и оценках линейных
форм. Включение этой главы в книгу диктуется тем, что основное
содержание книги — проблемы теории трансцендентных чисел — тесно
связано с задачами о приближении действительных и алгебраических
чисел.
В третьей главе рассматриваются проблемы приближения алгебраических чисел рациональными и алгебраическими числами. Кроме простейших теорем в ней изложен метод А. Туэ и доказываются теоремы
Туэ и Туэ–Зигеля. Автор считает, что начинающему математику проще
понять идейную и техническую стороны метода Туэ, изучив сначала
двумерный случай. После этого освоить доказательство теоремы Рота
будет нетрудно по имеющимся на русском языке публикациям.
В четвертой главе излагаются классические результаты Эрмита
и Линдемана о трансцендентности чисел e и π и арифметических
свойствах значений показательной функции в алгебраических точках. Метод Эрмита–Линдемана приводится в форме, приданной ему
Д. Гильбертом.
Главы 5–7 содержат материал, связанный с методом К. Зигеля
в теории трансцендентных чисел, его обобщениями и развитием за
последние полвека. В пятой главе изложены основы метода в его
современном состоянии и доказаны общие теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений E-функций. В шестой

Предисловие
7

главе общие теоремы применяются к конкретным функциям. Для этого развиваются методы доказательства алгебраической независимости
функций, являющихся решениями линейных дифференциальных уравнений. В седьмой главе изложены количественные аспекты метода.
В ней доказываются общие теоремы об оценке мер линейной независимости, трансцендентности и взаимной трансцендентности значений
E-функций.
Последняя, восьмая, глава посвящена методам, возникшим при решении 7-й проблемы Гильберта, и их дальнейшему развитию. Ограниченный объем книги не позволил дать подробное изложение этих методов и результатов, полученных с их помощью. Подробное изложение
указанных методов и связанных с ними результатов по своему объему
могло бы составить содержание отдельной книги. Поэтому автор ограничился только небольшим обзором исследований в этом направлении
и доказательством теоремы Гельфонда–Шнейдера о трансцендентности
чисел вида αβ.
Поскольку книга предназначена для широкого круга читателей,
автор проводит все доказательства достаточно подробно. Некоторые
дополнительные результаты приводятся без доказательств. В конце
каждой главы содержатся замечания о ряде работ, связанных с материалом главы, а также задачи (как иллюстративного характера, так
и требующие для своего решения известных усилий).
В каждой главе леммы, теоремы и формулы имеют независимую
нумерацию. При ссылках на леммы и теоремы из предшествующих глав
указываются номера соответствующих глав, а при ссылках на формулы
предшествующих глав номер соответствующей главы ставится перед
номером формулы. Например, (3.21) обозначает формулу (21) из гл. 3.
В конце книги приведен обширный список литературы, не претендующий, однако, на полноту.
Автор выражает благодарность А. А. Шмелеву и Ю. В. Нестеренко,
прочитавшим рукопись, Й. П. Кубилюсу и В. И. Нечаеву, взявшим на
себя труд по ее рецензированию. Их ценные замечания способствовали
улучшению книги. Автор благодарит коллектив кафедры теории чисел
Московского педагогического государственного университета за плодотворное обсуждение рукописи. Ю. В. Нестеренко автор благодарен
также за просмотр корректуры.
А. Шидловский

Обозначения

{a}
— символ множества с элементами a
{x}
— дробная часть числа x
[x]
— целая часть числа x
N
— множество натуральных чисел
Z
— кольцо целых рациональных чисел
Z+
— множество целых рациональных неотрицательных чисел
Q
— поле рациональных чисел
R
— поле действительных чисел
Rm
— m-мерное евклидово пространство
C
— поле комплексных чисел
P
— числовое поле
AP
— поле всех алгебраических чисел над полем P
A
— поле всех алгебраических чисел
K
— фиксированное алгебраическое поле над Q
[K : Q]
— степень алгебраического толя K над Q
|α|
— максимум модулей чисел, сопряженных для
числа α в поле K
ZA
— кольцо всех целых алгебраических чисел
ZK
— кольцо целых алгебраических чисел алгебраического поля K
I
— некоторое мнимое квадратичное поле
V
— произвольное поле или кольцо
V[x1, ... , xm]
— кольцо многочленов от x1, ..., xm над полем
(кольцом) V
V(x1, ... , xm)
— поле рациональных функций от x1, ..., xm
над полем V
deg f(x)
— степень многочлена f(x)
degx f(x1, ... , xm)
— степень многочлена f(x1, ... , xm) по совокупности переменных x = (x1, ... , xm)
degxk f(x1, ... , xm)
— степень многочлена f(x1, ... , xm) по переменной xk
Hf
— высота многочлена f = f(x1, ... , xm)
degP α
— степень над P алгебраического числа α над
полем P
deg α
— степень алгебраического числа α
Hα
— высота алгебраического числа α

Обозначения
9

HK
— высота линейной формы или многочлена из
K[x1, ... , xm] относительно алгебраического
поля K
E
— класс E-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с коэффициентами из C(z)
∥ai,k∥i,k
— матрица с элементами ai,k
|ai,k|i,k
— определитель с элементами ai,k
L(α1, ... , αm; H)
— мера линейной независимости чисел α1, ...,
αm
Φ(α; n; H)
— мера трансцендентности числа α
Φ(α1, ... , αm; n; H)
— мера взаимной трансцендентности чисел α1,
..., αm
(a, b)
— наибольший общий делитель целых чисел a
и b

α
— максимум модулей чисел, сопряженных с α
N(α)
— норма алгебраического числа α
S(α)
— след алгебраического числа α
n
m

— число сочетаний из n элементов по m

[α, n]
— произведение α(α + 1) ... (α + n − 1);
[α, 0] = 1

Г л а в а 1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

§ 1. Числовое поле

Числовое поле есть частный случай общего алгебраического понятия поля.
Числовым полем называется поле, элементы которого являются
действительными или комплексными числами.
Для того чтобы выяснить, будет ли некоторое множество чисел
числовым полем, не требуется проверять, удовлетворяет ли оно всем
аксиомам поля, поскольку арифметические свойства чисел обеспечивают выполнение всех аксиом поля при выполнении небольшого числа
условий.
Те о р е м а 1. Множество P действительных или комплексных
чисел является числовым полем, если оно содержит более одного
числа и вместе с числами α и β ему принадлежат α − β, а при β ̸= 0
и α/β.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как P содержит более одного числа, то
существует α ∈ P, α ̸= 0. Тогда α/α = 1 ∈ P и α − α = 0 ∈ P. Поэтому
для любого β ∈ P, β ̸= 0, имеем: 0 − β = −β ∈ P и 1/β ∈ P. Значит, для
любых α, β ∈ P: α − (−β) = (α + β) ∈ P, а при β ̸= 0 и α/ 1

β = α · β ∈ P.

Последнее справедливо и при β = 0.
Итак, результат первых четырех арифметических действий над числами из P является числом из P. Отсюда по свойствам действительных
и комплексных чисел следует, что для P выполняются все остальные
аксиомы поля.
Примерами числовых полей могут служить поле рациональных чисел Q, поле действительных чисел R, поле комплексных чисел C.
В дальнейшем всюду будем пользоваться приведенными общепринятыми обозначениями для этих полей. Кроме того, N будет обозначать
множество всех натуральных чисел, Z — кольцо целых рациональных
чисел, а Z+ — множество всех целых неотрицательных рациональных
чисел.
Кроме указанных выше числовых полей существует бесконечное
множество других числовых полей.
Числовым полем является множество чисел {Q(α)}, где α — фиксированное число из R или C, а Q(x) пробегает всевозможные рациональные функции с рациональными коэффициентами, не имеющие