Теория вероятностей в пакете MATLAB

 
 
 
К. Э. Плохотников, В. Н. Николенко 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
В ПАКЕТЕ MATLAB 
 
 
 
 
Рекомендовано УМО по образованию  
в области статистики и математических методов в 
экономике в качестве учебника для студентов, обучающихся  
по направлениям «Статистика», «Математические методы в экономике»  
и другим экономическим специальностям 
 
 
 

 
 
 
 
Москва 
Горячая линия – Телеком  
2014 

УДК 519.21 
ББК 22.171 
    П39 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. П. Пытьев; доктор физ.-мат. наук, 
профессор Л.А. Севастьянов 

Плохотников К. Э., Николенко В. Н. 

П39       Теория вероятностей в пакете MATLAB. Учебник для вузов. – М.: 
Горячая линия – Телеком, 2014. – 611с. + Папка с MATLAB-файлами (16 
семинарских занятий, 196 файлов). 
ISBN 978-5-9912-7005-2 
В учебном пособии изложены классические основы теории вероятностей на 
базе пакета прикладных программ MATLAB. Курс состоит из двух тесно связанных частей и включает 16 лекций (Часть I) и 16 семинарских занятий (Часть II). 
Во второй части представлены две контрольные работы с ответами, по 90 задач  
в каждой. Папка «Приложение к учебнику «Теория вероятностей в пакете MATLAB» содержит MATLAB-файлы учебных программ 16-и семинарских занятий. 
Данную папку можно скачать с сайта издательства. 
 Особенностью курса является активное использование изобразительных  
и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами 
навыками подсчета вероятностей и моделирования методом Монте-Карло различного рода случайных величин и событий. В последних трех лекциях и семинарах курса в рамках выборочного метода излагаются основы математической 
статистики. 
Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых входит дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика». 
Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои 
знания по теории вероятностей и основам математической статистики, опираясь 
на пакет прикладных программ MATLAB. 
ББК 22.171 
 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 
 
Электронное учебное издание 
 
Плохотников Константин Эдуардович,  Николенко Владимир Николаевич 
Теория вероятностей в пакете MATLAB 
Учебник для вузов 
 
Издание подготовлено авторами и опубликовано в авторской редакции 
 
 
 
Подписано в печать  31.12.2013.  Формат 60×90/8  Уч. изд. л. 25.  
 

ISBN 978-5-9912-7005-2                          ©  К. Э. Плохотников, В.Н. Николенко, 2013 
©  Издательство «Горячая линия – Телеком», 2013 
 

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 3 —

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ .................................................................................... 8

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 9

ЛЕКЦИЯ №1 .............................................................................................. 13

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................................... 13

§1. Определение теории вероятностей ........................................................................................... 13
§2. Некоторые примеры ................................................................................................................... 14
§3. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ........................................ 21

ЛЕКЦИЯ №2 .............................................................................................. 25

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 25

§1. Событие. Вероятность события ................................................................................................ 25
§2. Непосредственный подсчет вероятности ................................................................................. 27
§3. Частота или статистическая вероятность события .................................................................. 33
§4. Случайная величина ................................................................................................................... 34
§5. Геометрическая вероятность ..................................................................................................... 35
§6. Принцип практической уверенности ........................................................................................ 37

ЛЕКЦИЯ №3 .............................................................................................. 42

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ........................................................................... 42

§1. Определение комбинаторики .................................................................................................... 42
§2. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................... 42
§3. Биномиальное распределение ................................................................................................... 47
§4. Идея метода проверки статистических гипотез ...................................................................... 49

ЛЕКЦИЯ №4 .............................................................................................. 52

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .......................................... 52

§1. Смысл и назначение основных теорем теории вероятностей ................................................ 52
§2. Теорема сложения вероятностей .............................................................................................. 58

ЛЕКЦИЯ №5 .............................................................................................. 67

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. II ..................................... 67

§1. Теорема умножения вероятностей ............................................................................................ 67
§2. Формула полной вероятности ................................................................................................... 75
§3. Теорема гипотез (формула Бейеса) ........................................................................................... 79

ЛЕКЦИЯ №6 .............................................................................................. 84

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................................................................................84

§1. Пространство элементарных исходов ...................................................................................... 84
§2. Соответствие теории множеств и теории вероятностей ......................................................... 85

ЛЕКЦИЯ №7 .............................................................................................. 95

СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ............................................................................. 95

§1. Основные определения, характерные для серии испытаний.................................................. 95
§2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ........................................ 99
§3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 103

ЛЕКЦИЯ №8 ............................................................................................ 108

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 108

§1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 108
§2. Функция распределения .......................................................................................................... 112
§3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 117

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 4 —

ЛЕКЦИЯ №9 ............................................................................................ 119

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...................................................................................................119

§1. Плотность распределения ........................................................................................................ 119
§2. Числовые характеристики случайных величин ..................................................................... 125
§3. Показатели средней величины ................................................................................................ 126

ЛЕКЦИЯ №10 .......................................................................................... 134

МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ

ОТКЛОНЕНИЕ .....................................................................................................................134

§1. Моменты ................................................................................................................................... 134
§2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 138
§3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 140

ЛЕКЦИЯ №11 .......................................................................................... 147

НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 147

§1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 147
§2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 154
§3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 157
§4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 161

ЛЕКЦИЯ №12 .......................................................................................... 164

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 164

§1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 164
§2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 167
§3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 174

ЛЕКЦИЯ №13 .......................................................................................... 181

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 181

§1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 181
§2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 185
§3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 192
§4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 197

ЛЕКЦИЯ №14 .......................................................................................... 199

ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 199

§1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 199
§2. Случайная выборка .................................................................................................................. 202
§3. Оценка параметров генеральной совокупности .................................................................... 206
§4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 209
§5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 212

ЛЕКЦИЯ №15 .......................................................................................... 217

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО 
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 217

§1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 217
§2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 223
§3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 228

ЛЕКЦИЯ №16 .......................................................................................... 233

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 233

§1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 233
§2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 234
§3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 242
§4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 245
§5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 248

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 5 —

ЧАСТЬ II. СЕМИНАРЫ ........................................................................ 253

СЕМИНАР №1 ......................................................................................... 254

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 254

§1. Вводные задачи ........................................................................................................................ 254
§2. Устойчивость частот в массовых статистических совокупностях ......................................266

СЕМИНАР №2 ......................................................................................... 271

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ........................................ 271

§1. Событие. Вероятность события .............................................................................................. 271
§2. Непосредственный подсчет вероятности ............................................................................... 272
§3. Частота или статистическая вероятность события ................................................................ 278
§4. Геометрическая вероятность ................................................................................................... 280
§5. Принцип практической уверенности ...................................................................................... 282

СЕМИНАР №3 ......................................................................................... 290

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ......................................................................... 290

§1. Размещения, перестановки и сочетания ................................................................................. 290
§2. Биномиальное распределение ................................................................................................. 295
§3. Идея метода проверки статистических гипотез .................................................................... 296
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 299

СЕМИНАР №4 ......................................................................................... 301

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ......................................................... 301

§1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 301
§2. Примеры использования теоремы сложения вероятностей ................................................. 302
§3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 313

СЕМИНАР №5 ......................................................................................... 315

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ 
ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ ......................................................................... 315

§1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 315
§2. Задачи на тему теоремы умножения вероятностей ............................................................... 316
§3. Задачи на тему формулы полной вероятности ...................................................................... 323
§4. Задачи на тему теорема гипотез или формулы Бейеса ......................................................... 327
§5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 331

СЕМИНАР №6 ......................................................................................... 333

ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ .............................................. 333

§1. Краткая теоретическая справка ............................................................................................... 333
§2. Примеры пространств элементарных исходов ...................................................................... 333
§3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 342

СЕМИНАР №7 ......................................................................................... 346

СЕРИЯ ПОВТОРНЫХ ОПЫТОВ ........................................................................... 346

§1. Биномиальное распределение ................................................................................................. 346
§2. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа ...................................... 349
§3. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности ....................................... 355
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 361

СЕМИНАР №8 ......................................................................................... 364

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............................... 364

§1. Ряд распределения. Многоугольник распределения ............................................................. 364
§2. Функция распределения .......................................................................................................... 368
§3. Вероятность попадания в заданный интервал ....................................................................... 373
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 375

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 6 —

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 ПО МАТЕРИАЛАМ

СЕМИНАРОВ №1 — №8................................................................................. 380

СЕМИНАР №9 ......................................................................................... 387

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОКАЗАТЕЛИ СРЕДНЕГО

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН...................................................................................................387

§1. Плотность распределения ........................................................................................................ 387
§2. Показатели средней величины ................................................................................................ 396
§3. Дополнительные задачи........................................................................................................... 406

СЕМИНАР №10 ....................................................................................... 411

МОМЕНТЫ. ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ

ОТКЛОНЕНИЕ .....................................................................................................................411

§1. Моменты ................................................................................................................................... 411
§2. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение .................................................................... 416
§3. Коэффициент асимметрии и эксцесс ...................................................................................... 418
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 428

СЕМИНАР №11 ....................................................................................... 430

НОРМАЛЬНОЕ, РАВНОМЕРНОЕ И ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......... 430

§1. Нормальный закон распределения.......................................................................................... 430
§2. Равномерно распределенная случайная величина................................................................. 438
§3. Закон Пуассона ......................................................................................................................... 442
§4. Свойства математического ожидания и дисперсии .............................................................. 444
§5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 448

СЕМИНАР №12 ....................................................................................... 452

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .................................................................. 452

§1. Понятие о системе случайных величин ................................................................................. 452
§2. Система двух случайных величин .......................................................................................... 454
§3. Законы распределения случайных величин, входящих в систему....................................... 464
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 473

СЕМИНАР №13 ....................................................................................... 476

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .................................... 476

§1. Закон больших чисел ............................................................................................................... 476
§2. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева .......................................................................... 482
§3. Обобщенная теорема Чебышева, теорема Маркова .............................................................. 492
§4. Теоремы Бернулли и Пуассона ............................................................................................... 499
§5. Дополнительные задачи........................................................................................................... 501

СЕМИНАР №14 ....................................................................................... 505

ВВЕДЕНИЕ В ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД СТАТИСТИКИ .................................... 505

§1. Генеральная и выборочная совокупности .............................................................................. 505
§2. Случайная выборка .................................................................................................................. 508
§4. Оценки математического ожидания и дисперсии ................................................................. 514
§5. Доверительный интервал. Доверительная вероятность ........................................................ 518
§6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 523

СЕМИНАР №15 ....................................................................................... 531

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНО 
РАСПРЕДЕЛЕННОЙ И БИНОМИАЛЬНОЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................... 531

§1. Распределение Стьюдента ....................................................................................................... 531
§2. Распределение “хи-квадрат” ................................................................................................... 539
§3. Оценка вероятности по частоте .............................................................................................. 548
§4. Дополнительные задачи........................................................................................................... 554

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 7 —

СЕМИНАР №16 ....................................................................................... 559

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ...................................................... 559

§1. Статистическая гипотеза ......................................................................................................... 559
§2. Двухсторонний критерий оценки математического ожидания ............................................ 560
§3. Односторонние критерии оценки математического ожидания ............................................ 574
§4. Оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии........................................ 578
§5. Оценка дисперсии нормального распределения ................................................................... 584
§6. Дополнительные задачи........................................................................................................... 590

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ПО МАТЕРИАЛАМ

СЕМИНАРОВ №9 — №16............................................................................... 597

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1 ..................................... 608

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2 ..................................... 610

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 8 —

ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ 

Плохотников К.Э., Николенко В.Н. Теория вероятностей в пакете MATLAB 

— 9 —

Введение 

Экономические реформы, направленные на ускорение перехода России к рыночным отношениям, не могут быть успешными без глубокой научной 
проработки проблем формирования и развития рынка товаров и услуг, преобразования хозяйственного механизма применительно к рынку и создания 
соответствующего методологического, правового, информационного обеспечения коммерческой деятельности предприятий и организаций разных форм 
собственности. 

Успех коммерческой деятельности во многом зависит от адекватной 
оценки рыночной ситуации, собственных возможностей и потенциала конкурентов, обоснованности прогноза последствий принятых решений, степени 
риска на рынке и т.п. Именно теория вероятностей и математическая статистика используют и развивают методологию анализа и прогнозирования 
подобной информации. 

В связи с повышенными требованиями, которые предъявляются к работе коммерсантов, менеджеров, экономистов, аналитиков и т.п., возникла 
необходимость их более глубокой теоретико-вероятностной и статистической подготовки. 

Задачи изучения дисциплины “Теория вероятностей” состоят в реализации требований, установленных в Государственном образовательном 
стандарте высшего профессионального образования1, к подготовке специалистов в области прикладной информатики (код 230700). 

Изучение данной дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий. Всего в данном курсе предусмотрено 16 лекций 
и 16 семинарских занятий. Объем курса 32 + 32 = 64 часа. Лекционные занятия имеют своей целью ввести студентов в курс проблем теории 
вероятностей, разъяснить сущность основных категорий, методов, показателей теории вероятностей, а также математической статистики в части основ 
выборочного метода. Лекции призваны развивать у студентов теоретиковероятностное и статистическое мышление, дать понятие о роли и значении 
теории вероятностей и математической статистики в обществе, их методов и 
показателей в социально-экономических исследованиях. Лекции должны облегчать студентам самостоятельную работу над курсом, над учебной 
литературой и контрольными работами, указать направление и способы самостоятельного углубленного изучения курса. 

Цель практических занятий — научить студентов применять теоретические знания для решения практических задач, а также проверить усвоение 
студентами лекционного материала, другой учебной литературы, степень 
глубины и интенсивности их самостоятельной работы. 

На практических занятиях студент знакомится с таким современным 
специализированным пакетом прикладных программ, как MATLAB. На 

1 http://www.osu.ru/docs/bachelor/fgos/230700b.pdf