Геометрия и графика, 2016, №4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор: 
Склянкина Д.С.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2016

Подписано в печать 19.12.2016. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Юрков В.Ю. 
Формальное представление условий 
инцидентности в многомерных проективных 
пространствах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Гирш А.Г. 
Огибающая семейства линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Короткий В.А., Гирш А.Г.
Графические алгоритмы реконструкции кривой 
второго порядка, заданной мнимыми элементами . . .19

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Сальков Н.А.
Геометрическое моделирование 
и начертательная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия — теория 
изображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

Нестеренко Л.А., Бурлов В.В., 
Ремонтова Л.В., Орлов Н.С.
3D-моделирование поверхностей 2-го порядка . . . . . .48

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

Большаков В.П., Чагина А.В.
Тестовые задания по основам трехмерного 
моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ 
И ПРОВЕДЕНИЯ ОЛИМПИАД

Прокопов Н.И., Вышнепольский В.И., 
Кадыкова Н.С.
Всероссийский студенческий конкурс 
«Инновационные разработки» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2016. Том 4. Вып. 4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. 
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2016. Vol. 4. Issue 4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия).

 Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет, институт 

тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 

 Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Институт физической химии и электрохимии им. 

А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).

 Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 

after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, 
Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 Нижегородский государственный архитектурно-строитель
ный университет, Нижний Новгород (Россия). 

 Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 

Nizhny Novgorod (Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профес
сор. Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор 
(Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, первый зам. гл. 
редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ), зам. гл. 
редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), ответственный 
секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.144.25: 514.185                 DOI: 10.12737/22838

В.Ю. Юрков 
Д-р техн. наук, профессор,
Омский государственный педагогический университет,
Россия, 644099, г. Омск, наб. Тухачевского, 14

Формальное представление 
условий инцидентности 
в многомерных проективных 
пространствах 

Аннотация. При изучении многомерных пространств и 

множеств подпространств обычно пользуются синтетическими и аналитическими методами. Недостатки синтетического 
метода — обращение к пространственному воображению и 
интуиции исследователя, невозможность формализации, 
необходимость построения больших и сложных логических 
конструкций — не позволяют, за редкими исключениями, 
выйти за пределы четырехмерного пространства. Теория исчислительной геометрии, представляемая как геометрия 
условий с основным элементом – условием инцидентности 
многомерных флагов позволяет решать многие задачи, которые до сих пор считались неразрешимыми. Самой простой из 
таких задач является классическая задача подсчета конечного числа подпространств данного пространства, удовлетворяющих множеству заданных условий (нормальная проблема 
алгебраической геометрии). Более серьезная задача – подсчет 
числа и значения алгебраических характеристик данного 
многообразия в данном пространстве. Для их решения была 
необходима разработка формализованного метода и алгоритмизация методики. Эта проблема была решена проф. 
В.Я. Волковым в его докторской диссертации при помощи 
разработанного им так называемого е-исчисления. Для понимания основ е-исчисления, или исчисления условий Шуберта, 
необходима достаточно хорошая математическая подготовка 
и популяризация метода. Последнее требует рассмотрения 
различных подходов к проблеме исчисления условий. В настоящей статье рассматриваются простейшие случаи табличного метода подсчета условий применительно к условиям 
инцидентности, которая понимается в общем смысле. 
Рассматривается исчисление единичных условий, условий 
размерности два, условий размерности (k + 1)(n – k) – 1. 
Объясняется формализация исчисления условий и редукция 
условий инцидентности. В качестве примера рассматривается задача о конечном числе прямых, пересекающих в n-мерном 
пространстве заданное число k-плоскостей. В частности, 
задача о числе прямых, пересекающих некоторое число заданных прямых, может быть корректна только в трехмерном 
и четырехмерном пространствах. Условия минимальной кратности, равной трем, существуют только в пространствах размерности 3k + 1. Условия кратности, равной четырем, существуют только в пространствах нечетной размерности. И так 
далее. Конкретное число прямых во всех случаях можно подсчитать редукцией соответствующих условий.

Ключевые слова: размерность, флаг, k-плоскость, условие 

инцидентности, редукция условий.

V.Yu. Yurkov 
Doctor of Engineering, Professor, 
Omsk State Pedagogical University,
14, Tukhachevsky Emb., Omsk, 644099, Russia

Formal Representation of Incidence Conditions 
in Multidimensional Projective Spaces

Abstract. Synthetic and analytical methods are usually used to 

investigate multidimensional spaces and sets of subspaces. Shortcomings 
of a synthetic method — the appeal to spatial imagination and the 
researcher's intuition, impossibility of formalization, need of creation 
of big and complex logical constructions don't allow to go beyond 
four-dimensional space, with rare exceptions. The theory of enumerative geometry submitted as geometry of conditions with a 
basic element – a multidimensional flags incidence condition allows 
solve many problems which up to now were considered as insoluble 
ones. The simplest of such problems is a classical problem for 
calculation of final number of given space’s subspaces meeting the 
set of given conditions (the normal problem of algebraic geometry). 
A more serious problem – calculation a number and values of algebraic characteristics for given variety in given space. For this 
problem solution it was necessary to develop a formalized method, 
as well as technique algorithmization. This problem has been solved 
by professor. V.Ya. Volkov in his doctoral dissertation by means of 
developed by him so-called e-calculations. For an understanding 
of e-calculation fundamentals or calculation of Schubert conditions 
a rather good mathematical background and method promotion 
are necessary. The last demands consideration of various approaches to conditions calculation problem. In the present paper are 
considered the simplest cases of a tabular method for conditions 
calculation, in relation to conditions of incidence which is understood in a general sense. Calculation of one-, two- and ((k + 1) 
(n – k) – 1)-dimensional conditions are considered. Conditions 
calculation formalization and incidence conditions reduction are 
explained. The problem about a final number of straight lines crossing the set number of k-planes in n-dimensional space is considered 
as an example. In particular, the problem about a number of straight 
lines crossing some number of the set straight lines can be correct 
only in three- and four-dimensional spaces. Conditions of the 
minimum multiplicity equal to three exist only in (3k + 1)-dimensional spaces. Conditions of the multiplicity equal to four exist only 
in odd dimensionality spaces. And so on. The concrete number of 
straight lines in all cases can be counted by reduction of the corresponding conditions.

Keywords: dimension, flag, k-plane, incidence condition, re
duction of condition.

При изучении многомерных пространств обычно 

используют следующие фундаментальные результаты [12; 
15; 23; 24]. Во-первых, формулу Грассмана размерности 
множества k-плоскостей в n-мерном пространстве

  
dim G(n, k) = (k + 1)(n – k).  
(1)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13

Во многих монографиях и учебниках эта форму
ла легко доказывается аналитически или при помощи исчисления параметров.

Во-вторых, формулу размерности k пространства 

пересечения m-плоскости и p-плоскости общего 
положения

k = m + p – n.  
(2)

Если значение k оказывается отрицательным, то 

считают, что данные подпространства не пересекаются или скрещиваются.

Из формулы Грассмана можно сделать вывод, что 

различные множества k-плоскостей в n-мерном пространстве могут иметь размерность

 
0 # dim G(n, k) # (k + 1)(n – k).

Если множество k-плоскостей подчинено какому
либо условию, то размерность множества уменьшается. Минимальное значение соответствует конечному числу k-плоскостей, максимальное – грассманову многообразию k-плоскостей, на которое не 
накладывается никаких условий. Можно сформулировать следующее определение [5–9; 18].

Определение 1. Размерностью условия называется 

разность между значением размерности данного 
множества, не подчиненного никаким условиям, 
и значением размерности данного множества, подчиненного данному условию.

Самым простым условием является условие про
хождения k-плоскости через точку [2; 3; 10; 19; 20]. 
Учитывая, что точечный базис k-плоскости состоит 
из k + 1 независимых точек, то размерность указанного условия равна n – k. Если дано условие прохождения k-плоскости через две точки, то оно эквивалентно условию прохождения k-плоскости через 
прямую, определенную этими двумя точками. Это 
очевидное утверждение можно обобщить на любое 
число независимых точек, не превышающее значения 
k + 1. То есть если дано условие прохождения k-плоскости через m независимых точек, то оно эквивалентно условию прохождения k-плоскости через такое 
множество независимых подпространств, объединение 
точечных базисов которых составляет m точек.

Условия единичной размерности

Следующим по сложности условием является 

условие пересечения k-плоскости данной прямой. 
Поскольку точка пересечения приобретает один 
свободный параметр, размерность условия прохождения через точку уменьшается на единицу и составляет n – k – 1. Обобщением будет условие пересечения 

k-плоскости данной m-плоскости в точке. Размерность 
такого условия равна n – k – m, k + m < n.

Таким образом, появляется возможность класси
фицировать условия по размерности. Условием нулевой размерности является нулевое условие или 
отсутствие условия. Условием единичной размерности являются условия пересечения двух прямых 
в трехмерном пространстве, прямой и плоскости в четырехмерном пространстве, двух плоскостей в пятимерном пространстве, …, k-плоскости и (n – k – 1)плоскости и т.д.

Опираясь на эти рассуждения, можно сформули
ровать некоторые предложения, касающиеся множеств 
k-плоскостей [8; 16; 17; 21; 22]. Все заданные подпространства считаем подпространствами общего положения, а все условия, упоминаемые в этих предложениях, являются условиями единичной размерности. 
Расположим предложения в порядке усложнения.

1. В трехмерном пространстве множество прямых, 

пересекающих четыре заданные прямые, конечно.

2. В четырехмерном пространстве множество пря
мых, пересекающих шесть заданных плоскостей, 
конечно.

3. В пятимерном пространстве множество прямых, 

пересекающих восемь заданных 3-плоскостей, конечно.

И так далее.
Предложение 1. В n-мерном пространстве множе
ство прямых, пересекающих 2(n – 1) заданных 
(n – 2)-плоскостей, конечно.

Доказательство. 2(n – 1)(n – 1 – (n – 2)) = (1 + 1)

(n – 1).

4. В четырехмерном пространстве множество пло
скостей, пересекающих шесть заданных прямых, 
конечно.

5. В пятимерном пространстве множество пло
скостей, пересекающих девять заданных плоскостей, 
конечно.

6. В шестимерном пространстве множество пло
скостей, пересекающих двенадцать заданных 3-плоскостей, конечно.

И так далее.
Предложение 2. В n-мерном пространстве множе
ство плоскостей, пересекающих 3(n – 2) заданных 
(n – 3)-плоскостей, конечно.

Доказательство аналогичное.
7. В пятимерном пространстве множество 3-плоско
стей, пересекающих восемь заданных прямых, конечно.

8. В шестимерном пространстве множество 3-пло
скостей, пересекающих двенадцать заданных плоскостей, конечно.

9. В семимерном пространстве множество 3-пло
скостей, пересекающих шестнадцать заданных 3-плоскостей, конечно.

И так далее.
Предложение 3. В n-мерном пространстве множе
ство 3-плоскостей, пересекающих 4(n – 3) заданных 
(n – 4)-плоскостей, конечно.

Доказательство аналогичное.
Окончательно, для условий единичной размер
ности имеем.

Предложение 4. В n-мерном пространстве множе
ство k-плоскостей, пересекающих (k + 1)(n – k) заданных (n – k – 1) -плоскостей, конечно.

Обратимся теперь к случаю, когда число единич
ных условий меньше, чем n – k – 1. Пусть их число 
равно n – k – 2. Тогда получим одномерное множество k-плоскостей, т.е. (k + 1)-мерную поверхность 
с k-мерными образующими. Направляющими такой 
(k + 1)-поверхности служат n – k – 2 заданных в 
общем положении (n – k – 1)-плоскостей. Порядок 
(k + 1)-поверхности определяется числом ее точек 
пересечения с подпространством дополнительной 
размерности, т.е. с (n – k – 1)-плоскостью общего 
положения. Как уже было сказано, число точек пересечения конечно.

Пусть число единичных условий равно n – k – 3. 

Тогда получим двумерное множество k-плоскостей, 
т.е. конгруэнцию с k-мерными образующими. 
Направляющими такой конгруэнции служат n – k – 3 
заданных в общем положении (n – k – 1)-плоскостей. 
У такой конгруэнции будут две основные числовые 
характеристики: порядок и класс. Для их определения необходимо привлечение условий размерности 
два, что будет рассмотрено в последующем.

Пусть число единичных условий равно n – k – 4. 

Тогда получим трехмерное множество k-плоскостей, 
т.е. комплекс с k-мерными образующими. Направляющими такого комплекса служат n – k – 4, заданных в общем положении, (n – k – 1)-плоскостей. 
У такого комплекса будут три основные числовые 
характеристики: порядок, класс-1 и класс-2. Для их 
определения необходимо привлечение условий размерности три. Заметим, что для многомерной геометрии нецелесообразно вводить различные термины, обозначающие ту или иную числовую характеристику множества, поскольку число таких характеристик может быть достаточно большим. Поэтому 
мы обозначаем все числовые характеристики, кроме 
порядка, как класс-i. 

Условия размерности 2

Рассмотрение условий размерности два начнем с 

некоторых утверждений. Во-первых, условие размерности два можно рассматривать как одновременное наложение на k-плоскость двух условий единичной размерности. Во-вторых, в пространстве любой 

размерности и для любого значения k существуют 
только два условия размерности два. Первое утверждение достаточно очевидное, но второе требует обоснования.

Пусть n = 3, k = 1. Тогда два условия единичной 

размерности – это условия пересечения прямой с 
двумя заданными прямыми общего положения. Никакие 
изменения взаимного положения этих двух прямых 
не изменят исходного условия до тех пор, пока две 
заданные прямые не окажутся в одной плоскости. 
Тогда исходное условие может быть выполнено только двумя способами: либо прямая пройдет через их 
точку пересечения, либо прямая будет лежать в их 
плоскости. 

Пусть n = 4, k = 1. Тогда два условия единичной 

размерности – это условия пересечения прямой с 
двумя заданными плоскостями общего положения. 
Никакие изменения взаимного положения этих двух 
плоскостей не изменят исходного условия до тех пор, 
пока две заданные плоскости не окажутся в одной 
гиперплоскости. Тогда исходное условие может быть 
выполнено только двумя способами: либо прямая 
пересечет прямую их пересечения, либо прямая будет лежать в их гиперплоскости. И так далее. 

Пусть n = 4, k = 2. Тогда два условия единичной 

размерности – это условия пересечения плоскости 
с двумя заданными прямыми общего положения. 
Никакие изменения взаимного положения этих двух 
прямых не изменят исходного условия до тех пор, 
пока две заданные прямые не окажутся в одной плоскости. Тогда исходное условие может быть выполнено только двумя способами: либо плоскость пройдет через точку их пересечения, либо плоскость 
пересечет их плоскость по прямой. 

Пусть n = 5, k = 2. Тогда два условия единичной 

размерности – это условия пересечения плоскости 
с двумя заданными плоскостями общего положения. 
Никакие изменения взаимного положения этих двух 
плоскостей не изменят исходного условия до тех пор, 
пока две заданные плоскости не окажутся в одной 
3-плоскости. Тогда исходное условие может быть 
выполнено только двумя способами: либо плоскость 
пересечет прямую их пересечения, либо плоскость 
пересечет их 3-плоскость по прямой. И так далее.

Приведенные примеры соответствуют известным 

в многомерной геометрии принципам: принципу 
непрерывности и принципу специализации условий 
[7; 8; 23].

Итак, пусть на k-плоскость одновременно нало
жено два условия единичной размерности, то есть 
два условия пересечения с двумя, заданными в общем 
положении, (n – k – 1)-плоскостями. Очевидно, что 
никакие изменения взаимного положения этих 
(n – k – 1)-плоскостей не изменят исходного условия 

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016

до тех пор, пока эти две (n – k – 1)-плоскости не 
окажутся в одной (n – k)-плоскости. Тогда исходное 
условие может быть выполнено только двумя способами: либо k-плоскость пересечет (n – k – 2)-плоскость их пересечения в точке, либо k-плоскость 
пересечет их (n – k)-плоскость по прямой.

Предложение 5. Для k-плоскости в n-мерном про
странстве существуют только два условия размерности 
два: условие пересечения (n – k – 2)-плоскости в точке и условие пересечения (n – k)-плоскости по прямой.

Условия максимальной размерности

Единственным условием максимальной размер
ности, равной (k + 1)(n – k), является условие совпадения k-плоскости с заданной k-плоскостью.

Условие размерности (k + 1)(n – k) – 1 

Линейным одномерным множеством k-плоскостей 

по определению является множество, заметающее 
(k + 1)-плоскость (по классическому определению, 
принятому в проективной геометрии, форма 1-й ступени или линейный пучок k-плоскостей). Центром 
такого множества является (k – 1)-плоскость. 
Следовательно, условие размерности (k + 1)(n – k) – 1 
единственное и формулируется как условие прохождения k-плоскости через заданную (k – 1)-плоскость.

Условия размерности (k + 1)(n – k) – 2

Условий такой размерности всего два. Первое 

получится как условие принадлежности k-плоскости 
заданной (k + 2)-плоскости и прохождения в ней 
через заданную (k – 1)-плоскость. Второе – как условие принадлежности k-плоскости заданной (k + 1)плоскости и прохождения через заданную в ней 
(k – 2)-плоскость. Действительно,

 (k + 1)(n – k) – [(k + 1)(k + 2 – k) – k(k + 2 – k)] =
 
= (k + 1)(n – k) –2,

 
(k + 1)(n – k) – [(k + 1)(k + 1 – k) – (k – 1)

 
(k + 1 – k)] = (k + 1)(n – k) –2.

Двойственность на множестве простых условий

Определение 2. Простым условием на k-плоскость 

будем называть единственное условие любой допустимой размерности. Если k-плоскость подчиняется 
нескольким условиям одновременно, то такое условие будем называть сложным. Если все условия, которым одновременно подчиняется k-плоскость, одинаковые, то такое условие будем называть кратным.

Итак, условие нулевой размерности и условие 

максимальной размерности – единственные. Условие 
размерности 1 и условие размерности (k + 1)
(n – k) – 1 — тоже единственные. Мощность множества простых условий размерности 2 и мощность 
множества простых условий размерности (k + 1)
(n – k) – 2 одинаковы и равны двум. 

Можно проверить утверждение, что мощность 

множества простых условий размерности 3 и мощность множества простых условий размерности 
(k + 1)(n – k) – 3 тоже одинаковы и равны трем. 
Действительно, возьмем простое условие размерности 2, формулируемое как условие пересечения kплоскости заданной (n – k – 2)-плоскости в точке. 
Чтобы увеличить размерность условия на единицу 
достаточно выполнить одно из двух действий. Или, 
во-первых, уменьшить размерность заданной плоскости на единицу, т.е. сформулировать условие как 
пересечение k-плоскости заданной (n – k – 3)-плоскости в точке. Или, во-вторых, сформулировать 
условие как пересечение k-плоскости заданной 
(n – k)-плоскости по прямой, пересекающей некоторую заданную (n – k – 2)-плоскость в точке. 

Возьмем простое условие размерности 2, форму
лируемое как условие пересечения k-плоскости заданной (n – k)-плоскости по прямой. Чтобы увеличить размерность условия на единицу, достаточно 
снова выполнить два действия. Или, во-первых, 
сформулировать исходное условие как пересечение 
k-плоскости заданной (n – k)-плоскости по прямой, 
пересекающей некоторую заданную (n – k – 2)-плоскость в точке. Или, во-вторых, сформулировать 
условие как пересечение k-плоскости заданной 
(n – k + 1)-плоскости по 2-плоскости. В первом и 
во втором случаях появляется одно и то же условие. 
Всего получится три условия размерности 3. 

Возьмем простое условие размерности (k + 1)

(n – k) – 2, сформулированное как принадлежность 
k-плоскости (k + 2)-мерному подпространству. Чтобы 
уменьшить размерность условия на единицу, достаточно выполнить одно из двух действий. Во-первых, 
можно увеличить размерность подпространства и 
сформулировать условие как принадлежность k-плоскости (k + 3)-мерному подпространству. Во-вторых, 
можно оставить k-плоскость в (k + 2)-мерном подпространстве, но наложить условие пересечения 
некоторой k-плоскости по (k – 1)-плоскости.

Возьмем простое условие размерности (k + 1)

(n – k) – 2, сформулированное как принадлежность 
k-плоскости заданной (k + 1)-плоскости и пересечение некоторой k-плоскости по (k – 1)-плоскости. 
Тогда снова достаточно выполнить одно из двух действий. Во-первых, можно увеличить размерность 
подпространства и сформулировать условие как при
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13

надлежность k-плоскости (k + 2)-мерному подпространству с пересечением некоторой k-плоскости по 
(k – 1)-плоскости. Во-вторых, можно оставить 
k-плоскость в (k + 1)-мерном подпространстве, но 
наложить условие пересечения некоторой (k – 1)-плоскости по (k – 2)-плоскости.

Совпадение второго условия в первом случае с 

первым условием во втором случае доказывает, что 
мощность множества простых условий размерности 
(k + 1)(n – k) – 3 равна трем. И так далее.

В общем случае имеем.
Предложение 6. Мощность множества простых 

условий размерности i равна мощности множества 
простых условий размерности (k + 1)(n – k) – i, 
0 ≤ i ≤ (k + 1)(n – k).

Синтетическое доказательство приводить не будем 

ввиду его громоздкости.

Определение 3. Простые условия размерности i и 

простые условия размерности (k + 1)(n – k) – i назовем двойственными условиями.

Таким образом, имеется возможность подсчитать 

мощность множества простых условий для k-плоскости и определить его структуру по принципу двойственности. Мощность множества простых условий инцидентности равна числу сочетаний из n + 1 по k + 1.

Простейшие условия

Определение 4. Простые условия пересечения 

k-плоскостью заданной i-плоскости, 0 ≤ i ≤ n – k, 
в точке назовем простейшими условиями.

Пусть на k-плоскость одновременно наложено 

два одинаковых условия единичной размерности, т.е. 
двукратное условие размерности 2, формулируемое 
как условие пересечения с двумя заданными в общем 
положении (n – k – 1)-плоскостями. Это условие 
может быть выполнено либо когда k-плоскость пересечет (n – k – 2)-плоскость их пересечения в точке, либо когда k-плоскость пересечет их общую 
(n – k)-плоскость по прямой.

Первое условие, по определению, является про
стейшим. Простейшим является и исходное условие. 
Второе условие простейшим не является, но его можно сформулировать через простейшие условия следующим образом. Условие пересечения k-плоскостью 
заданной (n – k)-плоскости по прямой общего положения эквивалентно условию пересечения k-плоскостью с двумя заданными в общем положении 
(n – k – 1)-плоскостями за вычетом условия, когда 
k-плоскость пересечет (n – k – 2)-плоскость их пересечения в точке.

Например, k = 1, n = 3. Условие пересечения пря
мой двух прямых общего положения эквивалентно 
условию прохождения прямой через точку или усло
вию принадлежности прямой плоскости. Условие 
принадлежности прямой плоскости не является простейшим, но его можно выразить как условие пересечения прямой двух прямых общего положения за 
вычетом условия прохождения прямой через точку.

Пусть k = 1, n = 4. Условие пересечения прямой 

двух плоскостей общего положения (двукратное условие размерности 2) эквивалентно условию пересечения 
прямой или условию принадлежности гиперплоскости. 
Условие принадлежности прямой гиперплоскости не 
является простейшим, но его можно выразить как 
условие пересечения прямой двух плоскостей общего 
положения за вычетом условия пересечения прямой.

Условие пересечения прямой плоскости и прямой 

общего положения (сложное условие размерности 3) 
эквивалентно условию прохождения прямой через 
точку или условию принадлежности гиперплоскости 
с пересечением прямой в этой гиперплоскости. Второе 
условие не является простейшим. Его можно сформулировать как условие пересечения прямой плоскости и прямой общего положения за вычетом 
условия прохождения прямой через точку. 

Условие пересечения прямой плоскости и прохож
дения через точку общего положения (сложное условие размерности 4) эквивалентно условию принадлежности прямой гиперплоскости и прохождения 
прямой через точку в этой гиперплоскости.

Условие пересечения прямой двух прямых обще
го положения (сложное условие размерности 3) эквивалентно условию прохождения прямой через 
точку в некоторой гиперплоскости или условию 
принадлежности плоскости. Оба условия не являются простейшими. Но первое уже выражено через 
простейшие. Следовательно, второе условие можно 
сформулировать как условие пересечения двух прямых за вычетом условия пересечения прямой плоскости и прохождения через точку общего положения. 

Условие пересечения прямой заданной прямой об
щего положения и прохождения через точку общего 
положения (сложное условие размерности 5) эквивалентно условию принадлежности прямой плоскости и 
прохождения прямой через точку в этой плоскости.

Условие прохождения прямой через две точки об
щего положения (сложное условие размерности 6) 
эквивалентно условию совпадения прямой с заданной 
прямой.

Аналогичные рассуждения можно привести для 

других значений n и k.

Формализация условий инцидентности

Допустим, что k-плоскость рассматривается как 

полный флаг V, т.е. как система вложенных друг в 
друга плоскостей размерности от 0 до k:

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016

V = {V0 ≤ V1 ⊂ … ⊂ Vk – 2 ⊂ Vk – 1 ⊂ Vk}.

Допустим, что в n-мерном пространстве задан 

другой, в общем случае неполный, флаг W:

 
W = {W0 ⊂ W1 ⊂ … ⊂ Wk – 2 ⊂ Wk – 1 ⊂ Wk}.

Верхние индексы обозначают размерность, нижние 

индексы обозначают номер. Что касается размерностей элементов флага W, можно утверждать следующее:

 
k ≤ dim Wk ≤ n; k – 1 ≤ dim Wk – 1 ≤ n – 1; 

k – 2 ≤ dim Wk – 2 ≤ n – 2; … ;

 
2 ≤ dim W2 ≤ n – k + 2; 1 ≤ dim W1 ≤ n – k + 1; 

 
0 ≤ dim W0 ≤ n – k.  
(3)

Последнее неравенство 0 ≤ dim W0 очевидно, так 

как размерность не может быть отрицательной. Первое 
неравенство k ≤ dim Wk тоже очевидно, так как, 
в крайнем случае, если флаг W полный и если 
dim Wk < k, то dim W0 окажется отрицательной, что 
невозможно. Все промежуточные размерности, удовлетворяющие приведенной системе неравенств, 
образуют конечное множество флагов. Представим 
их в виде таблицы, причем расположим в порядке 
убывания размерности.

Отношение инцидентности двух флагов V и W

эквивалентно соотношению двух строк таблицы: 
первой и любой другой (полное количество строк 
будет на единицу больше числа сочетаний из n + 1 

по k + 1). Приняв 0 ≤ i ≤ n – k, 0 ≤ j ≤ n – k, i < j
и рассматривая строки 1 и 2, можно заметить, что 
условие

 
(k – i) + (n – j) = (n – i) + (k – j)

или

 
(k – i) + (n – j) – n = k – i – j

удовлетворяется для любых значений i и j. Это означает, что флаги V и W в n-мерном пространстве пересекаются естественно, без каких-либо условий. 
Другими словами, размерность условия пересечения 
флагов равна нулю. 

Рассматривая строки № 1 и № 12, заметим, что 

эти равенства не удовлетворяются ни при каких значениях i и j и (k – i) + (n – j) – n имеет максимальное 
значение для любых значений i и j. Следовательно, 
само условие интерпретируется как совпадение 
k-плоскости с заданной в n-мерном пространстве 
другой k-плоскостью и имеет максимальную размерность, равную (k + 1)(n – k).

Рассматривая строки № 1 и № 4, получаем усло
вие инцидентности размерности 2, интерпретируемое 
как прохождение k-плоскости через (n – k – 2)-плоскость. Приведенные выше равенства не удовлетворяются только при j = 0, но при любых других значениях они удовлетворяются.

Рассматривая строки № 1 и № 7, получаем усло
вие инцидентности размерности 3, интерпретируемое 
как пересечение k-плоскости заданной (n – k)-пло
Таблица 1

№
Флаг
Размерности

1
V
k
k – 1
k – 2
…
k – i
…
2
1
0

2

W

n
n – 1
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k

3
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k – 1 

4
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k – 2 

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

5
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
0 

6
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k
n – k – 1 

7
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k
n – k – 2 

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

8
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k
0 

9
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k – 1 
n – k – 2 

10
n
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k – 1 
n – k – 3 

…
…
…
…
…
…
…
…
…
…

11
k + 1
k – 1 
k – 2 
…
k – i
…
2
1
0

12
k
k – 1 
k – 2 
…
k – i
…
2
1
0

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13

скости по прямой, которая пересекает заданную в 
(n – k)-плоскости (n – k – 2)-плоскость в точке. 
Приведенные выше равенства не удовлетворяются 
только при j = 0 и j = 1, но при любых других значениях они удовлетворяются. И так далее.

На примере пятимерного пространства рассмотрим 

введенные условия инцидентности. Основными объектами пятимерного пространства являются точки, 
прямые, плоскости, 3-плоскости и гиперплоскости. 
Для точки условия инцидентности эквивалентны 
условиям принадлежности V 0 W, 0 ≤ dim W ≤ 5.

Для прямой условия инцидентности представим 

в виде табл. 2, в которой флаг V = {1, 0} не приведен. 
Второй столбец таблицы включает простейшие 
условия. Строка № 3 означает, что в пятимерном 
пространстве задана 2-плоскость, которую прямая 
флага V должна пересекать в точке. Строка № 7 
означает, что в пятимерном пространстве задана 
гиперплоскость и 2-плоскость в ней, которую прямая 
флага V должна пересекать в точке, принадлежа гиперплоскости. Строка № 13 означает, что в пятимерном пространстве задана 2-плоскость, и прямая 
флага V должна принадлежать ей. 

Таблица 2

№
W
Размерность
№
W
Размерность
№
W
Размерность

1
5, 4
0
6
4, 3
2
11
3, 1
5

2
5, 3
1
7
4, 2
3
12
3, 0
6

3
5, 2
2
8
4, 1
4
13
2, 1
6

4
5, 1
3
9
4, 0
5
14
2, 0
7

5
5, 0
4
10
3, 2
4
15
1, 0
8

В табл. 3 представлены условия инцидентности 

для плоскости. Простейшие условия представлены 
в строках с первой по четвертую.

Таблица 3

№
W
Размерность
№
W
Размерность
№
W
Размерность

1
5, 4, 3
0
8
5, 2, 1
2
15
4, 2, 0
6

2
5, 4, 2
1
9
5, 2, 0
3
16
4, 1, 0
7

3
5, 4, 1
2
10
5, 1, 0
4
17
3, 2, 1
6

4
5, 4, 0
3
11
4, 3, 2
5
18
3, 2, 0
7

5
5, 3, 2
2
12
4, 3, 1
4
19
3, 1, 0
8

6
5, 3, 1
3
13
4, 3, 0
5
20
2, 1, 0
9

7
5, 3, 0
4
14
4, 2, 1
5

Геометрическая интерпретация некоторых условий 

следующая. Строка № 4 означает, что в пятимерном 
пространстве задана точка и 2-плоскость флага V
должна проходить через нее. Строка № 8 означает, 

что в пятимерном пространстве задана 2-плоскость 
и 2-плоскость флага V должна пересекать ее по прямой, на которую не накладывается никаких условий. 
Строка № 15 означает, что в пятимерном пространстве задана гиперплоскость, 2-плоскость в ней и 
точка в этой 2-плоскости. 2-плоскость флага V должна лежать в гиперплоскости, пересекать 2-плоскость 
по прямой, которая должна проходить через заданную 
точку. 

В табл. 4 представлены условия инцидентности 

для 3-плоскости. Строка № 7 означает, что в пятимерном пространстве задана 3-плоскость, а 3-плоскость флага V должна ее пересекать по плоскости 
без каких-либо дополнительных условий. Строка 
№ 8 означает, что в пятимерном пространстве задана 3-плоскость и точка в ней, а 3-плоскость флага V
должна ее пересекать по плоскости, проходящей 
через заданную точку. Строка № 9 означает, что в 
пятимерном пространстве задана 3-плоскость и прямая в ней, а 3-плоскость флага V должна ее пересекать 
по плоскости, проходящей через заданную прямую. 

Таблица 4

№
W
Р-сть
№
W
Р-сть
№
W
Р-сть

1
5, 4, 3, 2
0
6
5, 4, 1, 0
4
11
4, 3, 2, 1
4

2
5, 4, 3, 1
1
7
5, 3, 2, 1
3
12
4, 3, 2, 0
5

3
5, 4, 3, 0
2
8
5, 3, 2, 0
4
13
4, 3, 1, 0
6

4
5, 4, 2, 1
2
9
5, 3, 1, 0
5
14
4, 2, 1, 0
7

5
5, 4, 2, 0
3
10
5, 2, 1, 0
6
15
3, 2, 1, 0
8

И, наконец, условия для гиперплоскости (табл. 5).

Таблица 5

№
W
Размерность
№
W
Размерность

1
5, 4, 3, 2, 1
0
4
5, 4, 2, 1, 0
3

2
5, 4, 3, 2, 0
1
5
5, 3, 2, 1, 0
4

3
5, 4, 3, 1, 0
2
6
4, 3, 2, 1, 0
5

Принцип сохранения числа решений

Принцип сохранения числа решений приме
нительно к линейным подпространствам можно 
сформулировать в следующем виде [11; 13; 14]. 
Число искомых подпространств будет бесконечным 
или сохраняется неизменным, если параметры 
положения исходных подпространств изменяются непрерывно.

Рассмотрим отношение инцидентности флагов 

V = {2, 1, 0}, W1 = {5, 4, 2}, W2 = {5, 3, 1}. В геометрической интерпретации флаг V должен удовлетворять 
одновременно двум условиям: пересекать заданную 
в пятимерном пространстве плоскость в точке и 
пересекать заданную 3-плоскость по прямой, которая, 

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016

в свою очередь, должна пересекать заданную в этой 
же 3-плоскости прямую. 

Выберем специальное положение заданной пло
скости и 3-плоскости, при котором они пересекаются по прямой так, что последняя пересекает заданную в 3-плоскости прямую. Тогда исходному 
сложному условию будет удовлетворять такое множество плоскостей, которые будут пересекать полученную плоскость двух прямых, так как такие плоскости будут пересекать заданную плоскость в точках 
прямой пересечения плоскости и 3-плоскости. 
А 3-плоскость будут пересекать по прямым, которые 
будут пересекать заданную в 3-плоскости прямую.

Кроме того, этому же условию будет удовлетворять 

множество плоскостей, которые проходят через точку пересечения прямой, по которой пересекаются 
заданные плоскость и 3-плоскость, и прямой, принадлежащей 3-плоскости, так как искомые плоскости будут пересекать заданную плоскость в полученной точке, а 3-плоскость будут пересекать по прямым, 
которые, в свою очередь, будут проходить через указанную точку, а значит, также пересекать прямую, 
заданную в 3-плоскости.

И наконец, указанному условию будет удовлет
ворять множество плоскостей, которые принадлежат 
гиперплоскости, определенной специальным положением заданных плоскости и 3-плоскости, и пересекают прямую, заданную в 3-плоскости. Тогда условие пересечения искомых плоскостей с заданной 
плоскостью в точке и с заданной 3-плоскостью по 
прямой выполняется безусловно. 

Все сказанное можно представить табл. 6.

Таблица 6

№
Флаг
Размерность условия

1
V
2
1
0
—

2
W1
5
4
2
1

3
W2
5
3
1
3

4
(W12)1
5
3
0
4

5
(W12)2
5
2
1
4

6
(W12)3
4
3
1
4

Другой пример. Предположим, что требуется най
ти число прямых, которые в четырехмерном пространстве пересекают две заданные плоскости и 
лежат в третьей заданной плоскости. 

Допустим, что первые две заданные плоскости 

пересекаются по прямой. Тогда условие пересечения 
с ними будут удовлетворять как прямые, пересекающие полученную прямую, так и прямые, лежащие 
в гиперплоскости, образованной этими плоскостями. 
Отсюда следует, что двукратное условие будет эквивалентно двум простым условиям инцидентности 
V(W12)1 и V(W12)2 (табл. 7).

Таблица 7

№
Флаг
Размерность условия

1
V
1
0
—

2
W1
4
2
1

3
W2
4
2
1

4
W3
2
1
4

5
(W12)1
4
1
2

6
(W12)2
3
2
2

7
(W12)13
1
0
6

8
(W12)23
1
0
6

Однако условие V(W12)13 является нулевым, так 

как условия V(W12)1 и V(W3) несовместны. Очевидно, 
что прямая не может пересекать заданную в четырехмерном пространстве прямую и в то же время 
лежать в заданной плоскости. Следовательно, остается только условие V(W12)23 и единственное решение, 
так как прямая может лежать одновременно в заданной 3-плоскости и в заданной 2-плоскости. Эта прямая является прямой их пересечения.

Редукция условий инцидентности

Редукция простейших условий – самый простой 

случай редукции сложных условий, т.е. поиска множества условий, эквивалентных данному сложному 
условию [1; 4]. Пусть даны два простейших условия 
V(W1) и V(W2), которым флаг V должен удовлетворять 
одновременно. Любой один из них можно считать 
редуцируемым, а другой – редуцирующим. Если 
размерности этих условий обозначить dim V(W1) и 
dim V(W2), то размерность сложного условия будет 
равна dim V(W1) + dim V(W2). Вообще, размерность 
сложного условия инцидентности равна сумме размерностей составляющих. Изменение размерности 
условия происходит за счет изменения значений 
размерности компонентов флага W. Следовательно, 
если условие V(W2) – редуцирующее, то сумма размерностей компонентов флага W1 должна быть уменьшена на величину dim V(W2) при соблюдении неравенств (3). Если условие V(W1) – редуцирующее, то 
сумма размерностей компонентов флага W2 должна быть уменьшена на величину dim V(W1) при 
соблюдении неравенств (3). Результат будет одним 
и тем же.

Из табл. 8 видно, что размерность условия V(W2) 

равна двум. Следовательно, размерности компонентов флага W1 должны быть уменьшены на две единицы. Это можно сделать следующими способами: 
во-первых, уменьшить размерность последнего компонента до n – k – 3, во-вторых, уменьшить размерность предпоследнего и последнего компонентов до 
n – k и n – k – 1.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13

Размерность условия V(W1) равна единице. 

Следовательно, размерности компонентов флага W2
должны быть уменьшены на единицу. Это можно 
сделать следующими способами: во-первых, уменьшить 
размерность последнего компонента до n – k – 3, 
во-вторых, уменьшить размерность предпоследнего 
компонента до n – k. Результат представлен в строках 
5 и 6 табл. 8.

Если одно из условий, составляющих сложное 

условие, не является простейшим, то это условие 
должно считаться редуцируемым, а простейшее – 
редуцирующим. Рассмотрим пример (табл. 9). Флаги 
(W3)1 являются результатом редукции условий V(W3) 
и V(W1). Флаги (W3)12 являются результатом редукции 
условий V((W3)1) и V(W2). Коэффициент 2 перед флагом V(W3)12 = {4, 3, 1} в строке 8 появляется в результате уменьшения на единицу размерностей флагов 
(W3)1 = {5, 3, 1} и (W3)1 = {4, 3, 2}.

Таблица 9

№
Флаг
Размерность условия
Коэффи
циент

1
V
2
1
0

2
W1
5
4
2
1

3
W2
5
4
2
1

3
W3
5
3
2
2

4

(W3)1

5
3
1
3

5
4
3
2
3

6

(W3)12

5
3
0
4
1

7
5
2
1
4
1

8
4
3
1
4
2

В заключение рассмотрим решение задачи о числе 

прямых, пересекающих в n-мерном пространстве 
заданное число k-плоскостей. Оставим в стороне 
тривиальный случай, когда k = 0, так как через 
две точки пройдет единственная прямая. Поэтому 
0 < k < n – 1. Размерность множества прямых в 

n-мерном пространстве равна 2(n – 1). Размерность 
условия пересечения прямой k-плоскости равна 
n – k – 1. Следовательно, кратность сложного условия равна целочисленному решению уравнения 
2(n – 1) = (n – k – 1) × x. Некоторые решения представлены в табл. 10.

Таблица 10

n
k
x
n
k
x
n
k
x

3
1
4
7
1
—
9
1
—

4
1
3
2
3
2
—

2
6
3
4
3
—

5
1
—
4
6
4
4

2
4
5
12
5
—

3
8
8
1
—
6
8

6
1
—
2
—
7
16

2
—
3
—
10
1
—

3
5
4
—
2
—

4
10
5
7
3
3

6
14
4
—

5
—

6
6

7
9

8
18

В частности, легко можно убедиться, что задача 

о конечном числе прямых, пересекающих некоторое 
число заданных прямых, может быть корректна только в трехмерном и четырехмерном пространствах. 
Условия минимальной кратности, равной трем, существуют только в пространствах размерности 3k + 1. 
Условия кратности, равной четырем, существуют 
только в пространствах нечетной размерности. И так 
далее. Конкретное число прямых во всех случаях можно подсчитать редукцией соответствующих условий.

Таблица 8 

№
Флаг
Размерности компонентов флага

1
V
K
k – 1 
k – 2 
…
k – i
…
2
1
0

3
W1
N
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k – 1 

4
W2
N
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k – 2 

5
N
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k + 1
n – k – 3 

6
N
n – 1 
n – 2
…
n – i
…
n – k + 2
n – k
n – k – 1

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13                                                                  ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016

Литература

1. Волков В.Я. Алгоритмы разложения сложных условий в 

исчислительной геометрии [Текст] / В.Я. Волков // Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов. — Новосибирск, 1977. — С. 108–110.

2. Волков В.Я. Исчисление Шуберта и проблема много
значных соответствий [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Второй Сибирский конгресс по прикладной и 
индустриальной математике (ИНПРИМ 96). Новосибирск, 1996. — С. 70.

3. Волков В.Я. Конструирование шубертовых многообра
зий и их применение [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Геометрическое моделирование и компьютерная 
графика. — СПб., 1992. — С. 45–50.

4. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе 

геометрического моделирования [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. — 
Омск: Изд -во СибАДИ, 2010. — 253 с.

5. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия: 

основные задачи [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // 
Вестник Сибирской автомобильно дорожной академии 
(СибАДИ). — 2005. — Вып. 3. — С. 54–59.

6. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия 

[Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. — Омск: Изд -во 
ОмГПУ, 2008. — 244 с.

7. Волков В.Я. Некоторые вопросы теории и приложе
ния исчислительной геометрии [Текст] / В.Я. Волков, 
В.Ю. Юрков // Геометрические модели и алгоритмы. — 
1988. — С. 31–36.

8. Волков В.Я. Редуцируемые произведения многомерных 

циклов Шуберта [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // 
Математика и информатика: наука и образование. — 
2002. — Вып. 2. — С. 8–13.

9. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования 

геометрических объектов многомерных пространств и 
еt приложения [Текст]: автореф. дис. … д -ра техн. наук / 
В.Я. Волков. — М., 1983. — 28 с.

10. Волков В.Я. Шубертовы многообразия, их свойства и 

применение [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1990. — 
Вып. 50. — С. 23–25.

11. Глаголев А.А. Числовая геометрия [Текст] / А.А. Глаго
лев, А.А. Глаголева. — М.: ВПАЛИ, 1936. — 72 с.

12. Гриффитс Ф. Принципы алгебраической геометрии 

[Текст] / Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. — М.: Мир, 1982. — 
Т. 1. — 496 с. — Т. 2. — 366 с.

13. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии 

[Текст] / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1989. — Т. 1. — 456 с.

14. Попов И.А. Принцип сохранения числа [Текст] / И.А. По
пов // Сборник статей по алгебраической геометрии. 
Труды научно- технической конференции Военнотранспортной академии. — 1938. — № 2. — С. 73–77.

15.  Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный 

курс [Текст] / Дж. Харрис; пер. с англ. Ф.Л. Зака. — М.: 
МЦНМО, 2005. — 400 с.

16.  Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и многозначные со
ответствия [Текст] / В.Ю. Юрков // Омский научный 
вестник. — 1998. — Вып. 2. — С. 57–59.

17. Юрков В.Ю. Исчислительные задачи для многообразий 

комбинаторной структуры [Текст] / В.Ю. Юрков // Омский научный вестник. — 2009. — № 3. — С. 44–48.

18. Юрков В.Ю. Исчислительный метод геометрии [Текст] / 

В.Ю. Юрков // Альманах современной науки и образования. — 2009. — № 6. — С. 232–236.

19. Юрков В.Ю. Конечные множества линейных объектов 

и условия инцидентности. — Деп. в ВИНИТИ 28.02.95. 
№ 553 — В95. — 8 с.

20. Юрков В.Ю. О произведении неоднотипных условий 

Шуберта. — Деп. в ВИНИТИ 17.02.97, № 507 — В97. — 
7 с.

21. Юрков В.Ю. Основные уравнения связи неоднотип
ных условий в многомерных пространствах. — Деп. в 
ВИНИТИ 20.07.98, № 2258 — В98. — 9 с.

22. Юрков В.Ю. Цепи и циклы условий Шуберта [Текст] / 

В.Ю. Юрков // Альманах современной науки и образования. — 2009. — № 12. — С. 141–143.

23. Baker H.F. Principles of Geometry. — New York: Frederick 

Ungar Publishing Co., 1960. — Vol. IV–VI.

24. Kleiman S.L. Schubert calculus [Текст] / S.L. Kleiman, 

D. Laskov // Amer. Math. Monthly. — 1972. — 79. — 
P. 1061–1082.

References

1. Volkov V.Ja. Algoritmy razlozhenija slozhnyh uslovij v 

ischislitel'noj geometrii [Algorithms of decomposition of 
complex conditions in enumerative geometry]. Avtomatizacija analiza i sinteza struktur JeVM i vychislitel'nyh algoritmov
[Automating the analysis and synthesis of structures of computer and computational algorithms]. Novosibirsk, 1977,
 pp. 108–110.

2. Volkov V.Ya., Yurkov V.Yu. Ischislenie Shuberta i problema 

mnogoznachnyh sootvetstvij [Calculation of Schubert and 
the problem of multi-valued correspondences]. Vtoroj Sibirskij 
Kongress po Prikladnoj i Industrial'noj Matematike (INPRIM-96)
[Second Siberian Congress on Industrial and Applied Mathematics (INPRO-96)]. Novosibirsk, 1996, p. 70.

3. Volkov V.Ya., Yurkov V.Yu. Konstruirovanie shubertovyh 

mnogoobrazij i ih primenenie [Construction shubertovyh 
manifolds and their applications]. Geometricheskoe modelirovanie i komp'juternaja grafika [Geometric modeling and 
computer graphics]. St. Petersburg, 1992, pp. 45–50.

4. Volkov V.Ya., Yurkov V.Yu., Panchuk K.L., Kaigorodtseva N.V. 

Kurs nachertatel'noj geometrii na osnove geometricheskogo 
modelirovanija [Course descriptive geometry based on geometric modeling]. Omsk, SibADI Publ., 2010. 253 p.

5. Volkov V.Ya., Yurkov V.Yu. Mnogomernaya ischislitel'naya 

geometriya: osnovnye zadachi [Multidimensional enumerative geometry: the main problem]. Vestnik Sibirskoy avtomobil'nodorozhnoy akademii (SibADI) [Bulletin of the Siberian 
automobile and road Academy]. 2005, I. 3, pp. 54–59.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 4. 3–13