Медицинская и биологическая физика


ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.



В.Г. ЛЕЩЕНКО
Г.К. ИЛЬИЧ



МЕДИЦИНСКАЯ
И БИОЛОГИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА





Допущено
                         Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по медицинским специальностям





Минск «Новое знание»

znanium.com

Москва «ИНФРА-М»

2017

УДК [61:53+577.3](075.8)
ББК 53.6я73
      Л54

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

        Рецензенты:
          кафедра медицинской и биологической физики Гродненского государственного медицинского университета (зав. кафедрой — кандидат физико-математических наук, доцент И.М. Бертель);
          зав. кафедрой «Конструирование и производство приборов» Белорусского национального технического университета, доктор технических наук, профессор М.Г. Киселев



       Лещенко, В.Г.
Л54 Медицинская и биологическая физика : учеб. пособие / В.Г. Лещенко, Г.К. Ильич. — Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2017. — 552 с. : ил. — (Высшее образование).

         ISBN 978-985-475-456-7 (Новое знание).
         ISBN 978-5-16-005338-7 (ИНФРА-М, print).
         ISBN 978-5-16-105685-1 (ИНФРА-М, online).

         Рассмотрены физические процессы и явления, сопровождающие и обеспечивающие жизнедеятельность организма, а также физические основы как традиционных, так и современных методов диагностики и лечения. Использован удобный для усвоения порядок изложения материала: сначала физическая сторона изучаемого явления, а затем его медицинские и биологические приложения. В пособие включены также элементы высшей математики, теории вероятностей, основы статистики и корреляционного анализа в соответствии с типовой программой дисциплины.
         Для студентов медицинских вузов. Может быть полезно аспирантам и студентам технических вузов, изучающим медицинскую и биологическую физику.

УДК [61:53+577.3](075.8)
ББК 53.6я73









ISBN 978-985-475-456-7 (Новое знание)
ISBN 978-5-16-005338-7 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105685-1 (ИНФРА-М, online)

© Лещенко В.Г., Ильич Г.К., 2012
© ООО «Новое знание», 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие ........................................10
Глава 1. Элементы высшей математики
1.1. Производная функции........................... 12
1.2. Исследование функции с помощью производной. Нахождение экстремумов функции..................... 15
1.3. Дифференциал функции.......................... 17
1.4. Частные производные........................... 18
1.5. Частные дифференциалы. Полный дифференциал функции............................................ 19
1.6. Первообразная функция и неопределенный интеграл........................................... 21
1.7. Определенный интеграл......................... 21
1.8. Дифференциальные уравнения.................... 24
1.9. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений......................... 26
1.10. Примеры использования дифференциальных уравнений ......................................... 27
    Контрольные вопросы и задания.................. 30
Глава 2. Основы теории вероятностей
2.1. Классическое и статистическое определение вероятности........................................ 31
2.2. Виды случайных событий........................ 33
2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей..... 34
2.4. Принципы вероятностных подходов к задачам диагностики и прогнозирования заболеваний.......... 37
    Контрольные вопросы и задания.................. 40
Глава 3. Случайные величины и их распределение
3.1. Закон распределения дискретной случайной величины........................................... 42
3.2. Распределение непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности................ 44
3.3. Числовые характеристики распределения случайных величин............................................ 46
3.4. Нормальный закон распределения случайной величины........................................... 50
    Контрольные вопросы  и задания................. 53

Оглавление

Глава 4. Основы математической статистики
4.1. Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.............. 54
4.2. Статистическое распределение выборки.......... 56
4.3. Методы описательной статистики................ 64
4.4. Оценка параметров генеральной совокупности по параметрам выборки.............................. 66
4.5. Определение объема выборки при заданной точности интервальной оценки................................ 69
4.6. Понятие нормы для медицинских показателей....  70
4.7. Элементы корреляционного анализа.............. 70
    Контрольные вопросы и задания.................. 73
Глава 5. Элементы биомеханики
5.1. Кинематика и динамика движений человека....... 74
5.2. Виды деформаций и механические характеристики упругих тел........................................ 78
5.3. Механические свойства биотканей............... 84
    Контрольные вопросы и задания.................. 93
Глава 6. Механические колебания и волны
6.1. Гармонические колебания....................... 95
6.2. Затухающие колебания.......................... 98
6.3. Вынужденные колебания........................ 100
6.4. Сложение гармонических колебаний............. 102
6.5. Разложение сложных колебаний в ряд Фурье..... 104
6.6. Принципы применения Фурье-анализа для обработки диагностических данных.............. 105
6.7. Механические волны........................... 107
6.8. Эффект Доплера............................... 110
    Контрольные вопросы и задания................. 112
Глава 7. Акустика
7.1. Физические и физиологические характеристики звуковых волн..................................... 113
7.2. Область слышимости, порог слышимости и порог болевого ощущения................................. 116
7.3. Закон Вебера—Фехнера. Уровни интенсивности и уровни громкости звука.......................... 118
7.4. Отражение и поглощение акустических волн..... 120
7.5. Ультразвук и его медицинское применение. Инфразвук 122
    Контрольные вопросы и задания................. 130

Оглавление

5

Глава 8. Свойства жидкостей. Поверхностные явления
8.1. Поверхностная энергия ....................... 132
8.2. Силы поверхностного натяжения................ 134
8.3. Добавочное давление под изогнутой поверхностью жидкости. Формула Лапласа......................... 136
8.4. Явление смачивания........................... 137
8.5. Капиллярные явления.......................... 139
8.6. Газовая эмболия.............................. 141
8.7. Роль альвеолярного сурфактанта в процессе дыхания........................................... 143
8.8. Методы определения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей............................... 144
    Контрольные вопросы и задания................. 147
Глава 9. Физические основы гемодинамики
9.1. Основные гидродинамические понятия и законы . . . . 149
9.2. Вязкость жидкости. Ньютоновские и неньютоновские жидкости......................... 156
9.3. Течение вязкой жидкости. Формула Пуазейля..... 158
9.4. Методы определения вязкости жидкости......... 161
9.5. Условия перехода ламинарного течения жидкости в турбулентное.................................... 165
9.6. Некоторые особенности движения крови по сосудам 166
9.7. Роль эластичности сосудов в системе кровообращения.Пульсовые волны.................... 170
9.8. Распределение давления и скорости кровотока в сосудистой системе.............................. 174
9.9. Некоторые методы определения давления и скорости крови.................................. 177
9.10. Работа и мощность сердца.................... 180
    Контрольные вопросы и задания................. 182
Глава 10. Физические свойства и функции биологических мембран
10.1. Строение и физические свойства биологических мембран........................................... 184
10.2. Транспорт молекул и ионов через мембраны..... 190
10.3. Математическое описание пассивного транспорта. . . 195
10.4. Активный транспорт ионов.................... 198
     Контрольные вопросы и задания................ 201

Оглавление

Глава 11. Мембранные потенциалы клетки
11.1. Равновесные потенциалы Нернста.............. 202
11.2. Потенциал покоя клетки...................... 203
11.3. Возбуждение клетки. Генерация потенциала действия 207
11.4. Подпороговые раздражители и местные потенциалы 216
11.5. Распространение потенциала действия по аксонам. . . 217
     Контрольные вопросы и задания................ 224

Глава 12. Электрические поля органов и тканей.
Методы их регистрации
12.1. Электрическое поле и его характеристики..... 226
12.2. Электрический диполь и его поле............. 230
12.3. Физические основы электрографии органов и тканей.......................................... 236
     Контрольные вопросы и задания................ 243

Глава 13. Электропроводимость биологических тканей и жидкостей для постоянного тока
13.1. Постоянный ток в электролитах............... 245
13.2. Особенности электропроводимости биологических тканей............................................ 248
13.3. Некоторые лечебные методы, основанные на использовании постоянного тока................. 251
     Контрольные вопросы и задания................ 253

Глава 14. Переменный ток. Электрический импеданс
живой ткани. Основы реографии
14.1. Основные характеристики переменного тока.... 254
14.2. Различные нагрузки в цепи переменного тока.. 255
14.3. Сопротивление живой ткани переменному току.. 261
14.4. Физические основы реографии................. 264
     Контрольные вопросы и задания................ 268
Глава 15. Магнитное поле
15.1. Общие свойства и характеристики магнитного поля. . . 269
15.2. Силовое действие магнитного поля............ 273
15.3. Магнитный поток, закон электромагнитной индукции. . . 277
15.4. Самоиндукция. Индуктивность контура. Энергия магнитного поля................................... 279
15.5. Магнитные свойства веществ.................. 281

Оглавление

7

15.6. Магнитные свойства биотканей................ 283
15.7. Биологическое действие магнитного поля...... 285
     Контрольные вопросы и задания................ 287
Глава 16. Основы электростимуляции
тканей и органов
16.1. Параметры импульсных токов.................. 289
16.2. Физиологическое обоснование параметров импульсных токов при электростимуляции............. 292
16.3. Электростимуляция сердечной мышцы........... 298
     Контрольные вопросы и задания................ 299
Глава 17. Использование электромагнитных полей
высокой частоты в медицине
17.1. Тепловое действие ЭМП высокой частоты....... 301
17.2. Нетепловое действие ЭМП высоких частот...... 308
     Контрольные вопросы и задания................ 311
Глава 18. Получение и регистрация
биофизических данных
18.1. Регистрация биопотенциалов.................. 314
18.2. Регистрация неэлектрических параметров. Датчики. . . . 317
18.3. Усиление электрических сигналов............. 324
18.4. Регистрирующие устройства................... 332
     Контрольные вопросы и задания................ 334

Глава 19. Общие свойства и поляризация
электромагнитных волн
19.1. Общие свойства и шкала электромагнитных волн. . . 336
19.2. Виды поляризации электромагнитных волн...... 339
19.3. Методы получения поляризованного света...... 343
19.4. Прохождение света через поляризатор. Закон Малюса...................................... 349
19.5. Оптическая активность....................... 350
19.6. Методы исследования в поляризованном свете.. 351
     Контрольные вопросы и задания................ 356
Глава 20. Тепловое излучение тел
20.1. Основные характеристики теплового излучения. . . . 358
20.2. Законы теплового излучения.................. 360
20.3. Излучение Солнца............................ 364

Оглавление

20.4. Инфракрасное излучение и его применение в медицине....................................... 365
20.5. Тепловое излучение тела человека........... 366
20.6. Понятие о термографии...................... 368
     Контрольные вопросы и задания............... 369
Глава 21. Оптические спектры атомов и молекул 21.1. Поглощение света........................... 370
21.2. Рассеяние света............................ 374
21.3. Энергетические состояния атомов............ 377
21.4. Спектр атома водорода...................... 381
21.5. Спектры сложных атомов..................... 384
21.6. Спектры молекул............................ 387
21.7. Люминесценция.............................. 392
     Контрольные вопросы и задания............... 401
Глава 22. Вынужденное излучение. Лазеры
22.1. Вынужденное излучение и его свойства....... 403
22.2. Условия усиления света. Лазеры............. 405
22.3. Применение лазерного излучения в медицине... 410
     Контрольные вопросы и задания............... 411
Глава 23. Элементы фотобиологии
23.1. Фотобиологические процессы................. 413
23.2. Типы фотохимических реакций................ 416
23.3. Фотосенсибилизированные фотобиологические процессы......................................... 417
23.4. Основы фотодинамической терапии............ 419
     Контрольные вопросы и задания............... 421
Глава 24. Биофизические основы зрения
24.1. Строение глаза............................. 422
24.2. Оптическая система глаза................... 424
24.3. Биофизические основы фоторецепции.......... 431
     Контрольные вопросы и задания............... 441
Глава 25. Приборы для исследования микрообъектов
25.1. Линза...................................... 443
25.2. Лупа....................................... 449
25.3. Микроскоп.................................. 450
25.4. Электронный микроскоп...................... 453
25.5. Сканирующая зондовая микроскопия........... 458
     Контрольные вопросы и задания............... 460

Оглавление

9

Глава 26. Электронный парамагнитный и ядерный магнитный резонанс
26.1. Свободные радикалы в биологических системах. . . . 462
26.2. Электронный парамагнитный резонанс.......... 464
26.3. Ядерный магнитный резонанс ................. 470
26.4. Принципы магнитно-резонансной томографии..... 475
     Контрольные вопросы и задания................ 480
Глава 27. Рентгеновское излучение
27.1. Тормозное рентгеновское излучение........... 482
27.2. Характеристическое рентгеновское излучение... 486
27.3. Первичные эффекты взаимодействия рентгеновского излучения с веществом.............. 488
27.4. Ослабление рентгеновского излучения в веществе . . 490
27.5. Физические принципы рентгенодиагностики...... 492
     Контрольные вопросы и задания................ 495
Глава 28. Радиоактивность
28.1. Основные характеристики ядер................ 497
28.2. Виды радиоактивного распада................. 500
28.3. Простейшие ядерные реакции. Получение радионуклидов..................................... 503
28.4. Основной закон радиоактивного распада. Активность радионуклидов.......................... 507
28.5. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом....................................... 512
28.6. Принципы радионуклидных методов диагностики. . . 517
28.7. Физические основы лучевой терапии........... 521
     Контрольные вопросы и задания................ 524
Глава 29. Дозиметрия ионизирующих излучений
29.1. Дозы излучения.............................. 525
29.2. Принципы расчета доз внутреннего облучения... 534
29.3. Детекторы ионизирующих излучений............ 538
29.4. Дозиметрические приборы..................... 542
29.5. Естественный радиационный фон, фоновое облучение человека.......................................... 545
     Контрольные вопросы и задания................ 548
     Литература................................... 549

                Предисловие





   При подготовке медицинских специалистов современного уровня постоянно увеличивается роль базовых естественных наук, что обусловлено внедрением новых технических решений в современную медицину. Это относится, в частности, к физике и связанным с ней смежным техническим дисциплинам (медицинская электроника, материаловедение и др.).
   Практически в каждой стратегической и утилитарной задаче современного медицинского образования можно отметить необходимость знания и понимания физических законов и явлений. Например, значительный прогресс в области морфологических наук и в связанных с ними методиках диагностики заболеваний стал возможен и благодаря использованию таких чисто физических методов, как оптическая и электронная микроскопия, атомно-силовая микроскопия, рентгеновская и магнитно-резонансная томография, позитронно-эмиссионная томография и др. Что касается физиологических процессов, протекающих в организме, то еще великий физиолог И.П. Павлов подчеркивал, что понять механизм функционирования живого организма невозможно без знаний законов физики.
   Значительная часть современных методов диагностики заболеваний основана на физических методах, а их приборная реализация в виде физических устройств осуществляется средствами медицинской электроники.
   В лечебном процессе физические методы и аппаратура также нашли широкое применение. Вся физиотерапия основана на использовании дозированного воздействия на организм токов, полей и излучений. Возможности хирургического лечения заболеваний существенно расширяются благодаря использованию ультразвуковой, лазерной и высокочастотной техники. Палаты реанимации и интенсивной терапии оснащены специализированной физической аппаратурой, которую необходимо грамотно и безопасно эксплуатировать.

Предисловие                                           11

   Оценка состояния окружающей человека среды и продуктов питания, определение их санитарно-гигиенических характеристик тоже осуществляется физическими методами и приборами наряду с биохимическими и микробиологическими технологиями.
   Необходимость грамотного количественного описания медико-биологических процессов и корректной обработки медицинских данных требует освоения будущими врачами определенных элементов математического аппарата, без которых невозможно овладеть современными медицинскими информационными технологиями. Поэтому наряду с физическими разделами в учебник включены элементы высшей математики, теории вероятностей и математической статистики.
   Из перечисленного следует, что важнейшим базовым элементом для усвоения современных методов диагностики и лечения заболеваний, контроля окружающей среды и других медицинских задач является комплекс физико-математических знаний, который и рассматривается в курсе медицинской и биологической физики.
   Главы 1, 6, 7, 9, 13, 14, 27, 28 и 29 учебника написаны доцентом Г.К. Ильичом, остальные — доцентом В.Г. Лещенко.
   Авторы выражают глубокую признательность доценту Н.И. Инсаровой за ценные замечания и существенный личный вклад при подготовке глав «Основы теории вероятностей», «Основы математической статистики», «Элементы биомеханики», а также искренне благодарны доктору технических наук профессору М.Г. Киселеву, кандидату физико-математических наук доценту И.М. Бертелю и кандидату технических наук доценту Н.Т. Минчене за нелегкий труд по рецензированию данного учебника.

Глава 1





                Элементы высшей математики





   Математические методы долгое время плодотворно используются в медицине для количественного описания и моделирования физиологических процессов, обработки и анализа медицинских данных, создания моделей возникновения, развития и прогнозирования заболеваний, для решения других важнейших задач.
   Даже для общего знакомства с принципами и возможностями медицинского применения математических методов необходимо иметь представление соответствующем математическом аппарате, в частности об основополагающих разделах высшей математики — дифференциальном и интегральном исчислении.



            1.1. Производная функции


   Количественно описать сложные изменяющиеся процессы жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку используемые для этой цели математические величины должны сами обладать способностью к «движению». Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам.

Рис. 1.1. Геометрический смысл производной

   Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции. Для пояснения этого понятия рассмотрим рис. 1.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость У = f (x) ■
Отметим на графике некоторые значения аргумента х 1 и

1.1. Производная функции

13

х₂, разница между которыми есть приращение аргумента: Ax = х₂ - х 1. Приращение функции равно: Ay = у₂ - у 1. Для

непрерывных функций, если Ax ^ 0, то и Aу ^ 0. Однако к
     ________ _______. .     А у ___  ____ _ _      , чему стремится отношение ---------------------- при неограниченном убыва-
А x

нии Ax заранее сказать нельзя, это зависит от конкретного вида функции у(x) и характеризует темп ее изменения.
   Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента

при его неограниченном убывании. Производная функции одного аргумента обозначается у' или -^y-. Таким образом, dx

, dy . .Aу у ' = —= lim — dx Ax >⁰ Ax

(1.1)

   Производная функции имеет простой геометрический

смысл. Из рис. 1.1 видно, что отношение

A у
A x

                 BC = tg a, AC

где a — угол наклона секущей AB к оси абсцисс.

   Если Ax неограниченно убывает (х₂ стремится к х 1), то секущая вырождается в касательную к графику функции в точке А, наклоненную к оси абсцисс под углом a₀:


lim — = tg a₀.
                       Ax>0 Ax


(1.2)

   Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс численно равен значению производной функции в данной точке.
   К физическому смыслу производной подойдем, рассмотрев механическое движение. Если за время At тело проходит путь AS, то средняя скорость движения за это время

v =AS ср   A t

1. Элементы высшей математики

   Но на пути AS скорость может иметь различные мгновенные значения (vмгн), которые определяются как предел отношения AS к At при At ^ 0:

A S
A t

d S d t

V мгн

= lim
A t ^ 0

(1.3)

   Следовательно, мгновенная скорость движения в данной точке представляет собой значение в данный момент времени производной от пути по времени.
   Итак, производная по времени имеет смысл скорости некоторого процесса. Если рассматривается ускорение (а) механического прямолинейного движения, то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:

a мгн

dv = d Г dS V d² S dt dt \ dt ) dt²

(1.4)

   Следовательно, вторая производная пути по времени имеет физический смысл ускорения.
   Если некоторая величина у зависит от пространственной координаты х, то производная — характеризует скорость dx пространственного изменения величины у. Производная функции по пространственной координате называется градиентом этой функции.
   Поясним смысл градиента. Например, некоторое вещество неравномерно распределено вдоль координаты x, т.е. его концентрация С является некоторой функцией х (рис. 1.2). Тогда скорость изменения концентрации вдоль х определяется производной dC и dx называется градиентом концентрации.
Аналогично существуют градиенты давления, темпе-

dC gr&dC⁼dx

Молекулярные вещества

Рис. 1.2. Пояснение понятия «градиент концентрации»

1.2. Исследование функции с помощью производной

15

ратуры и других величин. В физике и математике градиент

df dx

— это вектор, который направлен в сторону возрастания

величины f.
   Градиенты характеризуют неравномерность распределения величины в пространстве и являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в физических и биологических системах.

   Так, наличие градиента концентрации является причиной и количественной мерой диффузии, заставляющей молекулы вещества распределяться более равномерно, перемещаясь в направлении меньшей концентрации, т.е. противоположно вектору градиента концентрации. Аналогично перенос тепла в некотором направлении (теплообмен) возникает при



наличии градиента температуры; движение электрически заряженных частиц побуждается градиентом электропотен



циала и т.п.



1.2. Исследование функции с помощью производной. Нахождение экстремумов функции
  Для исследования функции у(x) широко применяются ее производные у'(x) и у"(x). Их используют для нахождения областей возрастания и убывания функции, для нахождения и исследования ее экстремумов.
  В точках экстремумов производная функции у'(x) всегда равна нулю. Эти точки, а также точки разрывов функции делят всю область ее определения на участки, в которых знак производной сохраняется постоянным (рис. 1.3):
  >    если у'(х) < 0, то функция у(x) на этом участке убывает: (x 1, x2), (c, d);
  >    если у'(х) > 0, то функция у(x) на этом участке возрастает : (а, х 1), (х₂, х₃) и (х₃, b);
  >    если у'(х) = 0, то функция у(x) на этом участке постоянна : (b, c).

1. Элементы высшей математики

Рис. 1.3. Максимум (х 1, у 1), минимум (х₂, у₂) функции, области ее возрастания (+), убывания (-) и постоянства (bc). Сверху проставлены знаки и нули производной функции

   Если у'(х) = 0 только в отдельных точках х 1, х₂, х₃, ..., то функция в этих точках может иметь экстремум, т.е. максимум или минимум.
   Функция у = f(x) имеет максимум в точке х 1, если ее значение в этой точке больше значений функции в любых ближайших соседних точках: f(x 1) > f(x 1 - Ax) и f(x 1) > f(x 1 + Ax).
   Функция у = f(x) имеет минимум в точке х₂, если ее значение в этой точке меньше значений функции в любых ближайших соседних точках: f(x₂) < f(x₂ - Ax) и f(x₂) < f(x₂ + Ax).
   Как уже отмечалось, в точках экстремумов производная функции всегда равна нулю: у'(x) = 0. Это свойство и используют для нахождения экстремумов функции.
   Порядок исследования функции у = f(x) на экстремум:
   1. Найти производную функции у'(x).
   2.   Решить уравнение у'(x) = 0. Корни этого уравнения х 1, х₂, х₃, ..., xₙ являются точками, подозрительными на наличие экстремума функции.
   3.   Для установления вида экстремума в этих точках пользуются двумя способами.
   1-й способ. Определить знак производной у'(x) слева и справа от подозрительной точки х₁г т.е. в соседних точках (xi - Ax) и (xi + Ax):

1.3. Дифференциал функции 1 7

  >    если при переходе через подозрительную точку xi знак производной изменяется с «-» на «+», т.е. у'(xi - Ax) < 0, а у'(xi + Ax) > 0, то в точке xi будет минимум функции ⁽⁻, ⁰, ⁺⁾;
  >    если при переходе через подозрительную точку xi знак производной изменяется с «+» на «-», т.е. у'(xi - Ax) > 0, а у'(xi + Ax) < 0, то в точке xi максимум функции (+, 0, -);
  >    если при переходе через подозрительную точку xi знак производной не изменяется (-, 0, -) или (+, 0, +), то в точке xi экстремума нет.
  2-й способ. Найти вторую производную у"(x) исследуемой функции и определить ее знак в подозрительных точках:
  >    если у"(xi) < 0, то в точке xi будет максимум функции;
  >    если у"(xi) > 0, то в точке xi будет минимум функции;
  >    если у"(xi) = 0, то экстремум функции в точке xi нс определен и необходимо воспользоваться 1-м способом
  Второй способ обычно менее трудоемкий и поэтому более предпочтительный.


            1.3. Дифференциал функции


  Дифференциалом аргумента dx называют приращение аргумента Ax, т.е. dx = Ax.
  Дифференциалом функции dу называют произведение производной функции на приращение (или дифференциал) аргумента:
dу = у 'A x = у' dx.        (1.5)

  Дифференциал функции dу не равен ее приращению Aу, но представляет собой его главную часть. В этом заключается его аналитический смысл. При малых приращениях аргумента можно считать, что Aу ® dу.
  Из смысла дифференциала следует его важное практическое применение: дифференциал функции позволяет приближенно определить, насколько изменяется функция при небольших изменениях ее аргумента.