Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Ч.4 Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
Р98
Р е ц е н з е н т ы: афедра высшей математии № 1 Белорссоо национальноо техничесоо ниверситета; дотор физио-математичесих на,
профессор афедры математичесоо моделирования и анализа данных Белорссоо осдарственноо ниверситета Е.Е. ЖВсе права на данное издание защищены. Воспроизведение всей нии или любой
ее части не может быть осществлено без разрешения издательства.

Рябшо, А. П.
Индивидальные задания по высшей математие.  В  4  ч.
Ч. 4. Операционное исчисление. Элементы теории стойчивости. Теория вероятностей. Математичесая статистиа : чеб.
пособие / А. П. Рябшо. – 4-е изд.  – Минс: Выш. ш., 2013. –
336 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2231-0.
Это четвертая, залючительная, ниа омплеса чебных пособий по рсвысшей математии, направленных на развитие и ативизацию самостоятельной работы стдентов техничесих взов. Содержатся теоретичесие сведения и наборы задач для адиторных и
индивидальных заданий.
Предыдщее издание вышло в 2009 .
Для стдентов техничесих специальностей взов. Бдет полезно
стдентам эономичесих специальностей, а таже преподавателям
взов, олледжей и технимов.
УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
Учебное издание
Рябшо Антон Петрович
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
В четырех частях
Часть 4
Операционное исчисление. Элементы теории стойчивости. 
Теория вероятностей. Математичесая статистиа
Учебное пособие
Редатор Е.В. Малышева. Хдожественный редатор В.А. Ярошевич. 
Техничесий редатор Н.А. Лебедевич. Корретор В.И. Аверина. 
Набор и омпьютерная верста Ю.Л. Шибаевой.
Подписано в печать 05.02.2013. Формат 84×108/32. Бмаа для офсетной печати. 
Гарнитра «Ньютон». Усл. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 17,02. Тираж  1500 эз. Зааз 411.

Респблиансое нитарное предприятие «Издательство “Вышэйшая шола”». 
ЛИ № 02330/0494062 от 03.04.2009. Пр. Победителей, 11, 220048, Минсe-mail: market@vshph.com  http://vshph.com

Респблиансое нитарное предприятие «Издательство “Белорссий Дом печати”». 
ЛП № 02330/0494179 от 03.04.2009. Пр. Независимости, 79, 220013, Минс.

ISBN 978-985-06-2231-0
© Рябшо А.П., 2006
© Рябшо А.П., 2007, с изменениями
© Оформление. УП «Издательство
“Вышэйшая шола”», 2007

Р98

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлааемая вниманию читателя ниа завершает омплес чебных пособий под общим названием «Индивидальные задания по высшей математие». Он написан в соответствии с действющими прораммами рса высшей математии в объеме 380–450 часов для инженерно-техничесих специальностей взов. Комплес  может быть использован таже
в взах дрих профилей, в оторых оличество часов, отведенное на изчение высшей математии, значительно меньше. (В последнем слчае из предлааемоо материала реомендется сделать необходимю выбор.) Кроме тоо, он вполне
достпен для стдентов вечерних и заочных отделений взов.
Данный омплес пособий адресован преподавателям и
стдентам и предназначен для проведения пратичесих адиторных занятий, самостоятельных (мини-онтрольных) работ
и выдачи индивидальных домашних заданий по всем разделам рса высшей математии.
С целью минимизации затрат времени при изчении предмета перед адиторными и индивидальными домашними заданиями  приводятся необходимые определения, формлы,
примеры с решениями, а после аждоо индивидальноо задания – решение типовоо варианта. К большинствпредлааемых задач даны ответы.
В четвертой ние омплеса  содержится материал по
операционномисчислению, элементам теории стойчивости, теории вероятностей, математичесой статистие. Ее
стртра аналоична стртре первых трех ни, а нмерация лав, парарафов и риснов продолжает соответствющю нмерацию. В приложениях приведены таблицы орииналов и их изображений, значений фнций распределения,
использемых в теории вероятностей и математичесой статистие, а таже двхчасовая онтрольная работа для блочных эзаменов.
Главы 18 и 19 данноо пособия содержат исправленный и
дополненный материал чебноо пособия «Сборнииндивидальных заданий по теории вероятностей и математичесой статистие» авторов А.П. Рябшо, В.В. Бархатова,

В.В. Державец, И.Е. Юртя под общей редацией профессора
А.П. Рябшо, выпщенноо издательством «Вышэйшая шола» в 1992 .
Автор выражает исреннюю блаодарность рецензентам –
оллетивафедры высшей математии № 1 Белорссоо
национальноо техничесоо ниверситета, возлавляемомдотором техничесих на, профессором Н.А. Милиом, и
доторфизио-математичесих на, профессорафедры
математичесоо моделирования и анализа данных Белорссоо осдарственноо ниверситета Е.Е. Ж– за ценные
замечания и советы, способствовавшие лчшению нии.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адрес:
издательство «Вышэйшая шола», пр. Победителей, 11,
220048, Минс.
Автор

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Охаратеризем стртрпособия, методиео использования, оранизацию провери и оцени знаний, навыов и
мений стдентов.
Весь пратичесий материал по рсвысшей математии
разделен на лавы, в аждой из оторых даются необходимые
теоретичесие сведения (основные определения, формлирови теорем, формлы), использемые при решении задач и
выполнении пражнений. Изложение этих сведений иллюстрирется решенными примерами. (Начало решения примеров
обозначается символом , а онец – .) Затем даются подбори задач с ответами для всех пратичесих адиторных занятий (АЗ) и для самостоятельных (мини-онтрольных) работ на
10–15 минт во время этих занятий. И, наонец, приводятся
недельные индивидальные домашние задания (ИДЗ), аждое
из оторых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типовоо варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами.
В онце аждой лавы приводятся дополнительные задачи повышенной трдности и приладноо харатера.
Нмерация АЗ свозная и состоит из двх чисел: первое из
них азывает на лав, а второе – на порядовый номер АЗ в
этой лаве. Например, шифр АЗ-16.1 означает, что АЗ относится шестнадцатой лаве и является первым по счет. В данной ние омплеса содержится 23 АЗ и 9 ИДЗ.
Для ИДЗ таже принята нмерация по лавам. Например,
шифр ИДЗ-16.2 означает, что ИДЗ относится шестнадцатой
лаве и является вторым. Внтри аждоо ИДЗ принята следющая нмерация: первое число означает номер задачи в данном задании, а второе – номер варианта. Таим образом,
шифр ИДЗ-16.2: 16 означает, что стдент должен выполнять
16-й вариант из ИДЗ-16.2, оторый содержит задачи 1.16, 2.16,
3.16 и т.д.
При выдаче ИДЗ стдентам номера выполняемых вариантов можно менять от задания заданию по аой-либо системе или слчайным образом. Более тоо, можно при выдаче
ИДЗ любомстдентсоставить ео вариант, омбиниря однотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр

ИДЗ-16.1: 1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает, что стдентследет
решать в ИДЗ-16.1 первю задачиз варианта 2, вторю – из
варианта 4, третью – из варианта 6, четвертю – из варианта 1
и пятю – из варианта 15. Таой омбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов полчить большое оличество новых вариантов.
Внедрение ИДЗ в чебный процесс поазало, что целесообразнее выдавать ИДЗ не после аждоо АЗ (оторых, аправило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, влючающее
основной материал двх АЗ этой недели.
Дадим неоторые общие реомендации по оранизации
работы стдентов в соответствии с настоящим пособием.
1. В взе стденчесие рппы по 25 челове, проводятся два
АЗ в неделю, планирются еженедельные не обязательные для
посещения стдентами онсльтации, выдаются недельные
ИДЗ. При этих словиях для систематичесоо онтроля с выставлением оцено, азанием ошибои птей их исправления мот быть использованы выдаваемые аждомпреподавателю матрицы ответов и банлистов решений, оторые афедра заотавливает для ИДЗ (стдентам они не выдаются).
Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то
листы решений разрабатываются тольо для тех задач и вариантов, де важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыов и мений при вычислениях. Кафедра определяет, для аих ИДЗ нжны листы решений. Листы решений (один вариант располаается на одном
листе) использются при самоонтроле правильности выполнения заданий стдентами, при взаимном стденчесом онтроле, а чаще всео при омбинированном онтроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а стдент
по листрешений – свои вычисления. Это позволяет проверить ИДЗ 25 стдентов за 15–20 минт с выставлением оценов жрнал.
2. В взе стденчесие рппы по 15 челове, проводятся два
АЗ в неделю, в расписание для аждой рппы влючены обязательные два часа в неделю самоподотови под онтролем
преподавателя. При этих словиях оранизация индивидальной, самостоятельной, творчесой работы стдентов, оперативноо онтроля за ачеством этой работы значительно лчшается. Реомендованные выше методы приодны и в данном
слчае, однао появляются новые возможности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной

самоподотови можно проонтролировать проработтеории и решение ИДЗ, выставить оцени части стдентов, принять задолженности по ИДЗ отстающих.
Наопление большоо оличества оценоза ИДЗ, самостоятельные и онтрольные работы в адитории позволяет
онтролировать чебный процесс, правлять им, оценивать
ачество своения изчаемоо материала.
Все это дает возможность отазаться от традиционноо
итоовоо семестровоо (одовоо) эзамена по материалсеместра (чебноо ода) и ввести таназываемю рейтинбло-модльню систем(РБМС) оцени знаний и навыов
стдентов, состоящю в следющем. Материал семестра (чебноо ода) разбивается на блои (модли), по аждомиз блоов (модлей) выполняются АЗ, ИДЗ и в онце аждоо цила –
двхчасовая письменная олловим-онтрольная работа, в
оторю входят 2–3 теоретичесих вопроса и 5–6 задач. Учет
оценопо АЗ, ИДЗ и олловим-онтрольной позволяет
вывести объетивню общю оценза аждый бло(модль)
и итоовю оценпо всем блоам (модлям) семестра (чебноо ода). Положение о РБМС см. в ч. 1 данноо омплеса
чебных пособий (прил. 5).
В залючение отметим, что своение содержащеося в пособии материала арантирет хорошие знания стдентов по
соответствющим разделам рса высшей математии. Для
отлично спевающих стдентов необходима подотова заданий повышенной сложности (индивидальный подход в обчении!) с перспетивными поощрительными мерами. Например, можно разработать для таих стдентов специальные задания на весь семестр, влючающие задачи настоящео пособия и дополнительные более сложные задачи и теоретичесие
пражнения (для этой цели, в частности, предназначены дополнительные задачи в онце неоторых лав). Преподаватель
может выдать эти задания в начале семестра, становить рафиих выполнения под своим онтролем, разрешить свободное посещение леционных или пратичесих занятий по
высшей математие и в слчае спешной работы выставить
отличню оцендо эзаменационной сессии.

16. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

16.1. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО ЛАПЛАСУ

Начальной фнцией или орииналом называют фнцию f (t) действительной переменной t, довлетворяющю следющим словиям:
1) f (t) = 0 при t < 0; 
2) если M > 0  и s – неоторые вещественные числа, то 

 при t ≥ 0;
(16.1) 
3) f (t) – сочно-непрерывная и интериремая на любом онечном отрезе изменения t. 
Точная нижняя рань s0 всех чисел s, для оторых выполняется неравенство (16.1), называется поазателем роста фнции f (t).
Если сществет несобственный интерал

,
(16.2)

де p = a + bi, Re p = a > 0, Im p = b, то фнцию F (p)  омплесной переменной p называют изображением фнции f (t) по Лаплас, или ее лапласовым изображением, или просто изображением.
Правило (16.2) полчения по заданноморииналf (t) изображения F (p)
называется преобразованием Лапласа.
Если Re p = a ≥ s > s0 и выполняется словие (16.1), то можно доазать, что
несобственный интерал (16.2) абсолютно сходится и определяет  аналитичесю фнцию в полплосости a > s0 (рис. 16.1); при этом

.
(16.3)

f t( )
Mest
≤

F p
( )
f t( )

0

+∞
∫
e–ptdt
=

F p
( )
Re p
+∞
→
lim
0
=

Р и с. 16.1

Если F (p) – лапласово изображение f (t), то рато это записывается в виде F (p)
f (t) или F (p) = L{f (t)}.

Можно доазать, что  всяомизображению F(p), довлетворяющемсловию
(16.3), соответствет единственная начальная фнция (ориинал). Принятые
обозначения:  f (t)
F (p) или f (t) = L–1{F (p)}.

Пример 1. Найти изображение единичной фнции Хевисайда

Графифнции σ0 (t) приведен на рис. 16.2.

Очевидно, что σ0 (t) довлетворяет всем словиям ориинала и s0 = 0. По
формле (16.2) имеем:

, 

таа. Следовательно, 
, т.е. 
 
 
. Пример 2. Найти изображение F (p) фнции eαt, де α∈R.
Имеем:

,

если Re p > α = s0.

Следовательно, eαt 
. З а м е ч а н и е .  Из определения ориинала следет, что не всяая фнция f (t)  является орииналом. Например, при невыполнении словия (16.1)
нет арантии сходимости интерала (16.2). Если интерал (16.2) расходится, то
оворят, что фнция f (t) не является орииналом. Нетрдно поазать, напри
=

=

σ0 t( )
0 при  t
0,
<

1 при  t
0.
≥
⎩
⎨
⎧
=

Р и с. 16.2

L σ0 t( )
{
}
e–pt td

0

+∞
∫
–1
p--e–pt
0

+∞
1
p-=
=
=

e–pt

Re p
+∞
→
lim
0
=
L σ0 t( )
{
}
1
p-=
σ0 t( ) =

1
p-
L eαt
{
}
e–pt

0

+∞
∫
eαtdt
e– p
α
–
(
)t td

0

+∞
∫
–e– p
α
–
(
)t

p
α
–
-----------------------0

+∞
1
p
α
–
-----------=
=
=
=

=

1
p
α
–
-----------

мер, что фнции f (t) = 
, f (t) = 
,  f (t) = 
 не являются орииналами,

тааинтерал (16.2) для них расходится.
Перечислим основные свойства орииналов и изображений.
1 (с в о й с т в о  л и н е й н о с т и). Если Fk (p)
fk (t), k = 1, 2, ..., n, то

,
(16.4)

де ck – любые действительные или омплесные числа.

2 (т е о р е м а  с м е щ е н и я). Если f (t)
F (p), то для любоо омплесноо числа α  имеем:
eαtf (t)
F(p–α), Re p>s0 + Re α.
(16.5)
3 (т е о р е м а  п о д о б и я). Если f (t) 
F (p) и λ>0, то

f (λt)
.
(16.6)

 4  (т е о р е м а  о  д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и  и з о б р а ж е н и я). Если
f (t) 
F (p), то 

.
(16.7)

5 (т е о р е м а  о  д и ф ф е р е н ц и р о в а н и и  о р и и н а л а). Если f (t) 
F (p), то

,

 
, 
 ..............…………………….........……….

.

 Если 
, то 
.

6 (т е о р е м а  з а п а з д ы в а н и я). Если f (t) 
F (p), то для t0 > 0

. 
(16.9)

Свертой двх фнций f1 (t) и f2 (t), обозначаемой f1 (t) * f2 (t), называется
фнция, определяемая равенством 

f1 (t) * f2 (t) = 
.

Если f1 (t),  f2 (t)  – орииналы, т.е. 
 при τ > t, то их сверта пред
ставима в следющем виде:

f1 (t) * f2 (t) = 
.
(16.10)

1
t-et3

e1 t2
⁄

=

ckfk t( )

k
1
=

n
∑
=
ckFk p
( )

k
1
=

n
∑

=

=

=

=

1
λ---F p
λ--⎝ ⎠
⎛ ⎞

=

–1
(
)ndnF p
( )

dpn
------------------ = tnf t( )

=

=

f ′ t( ) = pF p
( )
f 0
( )
–

f ″ t( ) = p2F p
( )
pf 0
( )
–
f ′ 0
( )
–

f n
( ) t( ) = pnF p
( )
pn
1
– f 0
( )
–
pn
2
– f ′ 0
( )
–
...
–
f n
1
–
(
) 0
( )
–

f 0
( )
f ′ 0
( )
...
f n
1
–
(
) 0
( )
0
=
=
=
=
f n
( ) t( ) = pnF p
( )

=

f t
t0
–
(
) = e
–pt0F p
( )

f1 τ
( )f2 t
τ
–
(
) τ
d

–∞

+∞
∫

f1 τ
( )
0
≡

 f1 τ
( )f2 t
τ
–
(
) τ
d

0

t
∫
 f1 t
τ
–
(
)f2 τ
( ) τ
d

0

t
∫
=

(16.8)